本文關(guān)鍵詞：常微分方程在經(jīng)濟(jì)管理中的地位研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

畢業(yè)設(shè)計(論文) 開題報告
題 目: 二階常微分方程解的存在問題分析

院系名稱： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師：

專業(yè)班級： 學(xué) 號：

教師職稱：

2012 年

3 月

16 日

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開題報告填寫要求<

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1．開題報告（含“文獻(xiàn)綜述” ）作為畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯委 員會對學(xué)生答辯資格審查的依據(jù)材料之一。此報告應(yīng)在指導(dǎo)教師指 導(dǎo)下，由學(xué)生在畢業(yè)設(shè)計（論文）工作前期內(nèi)完成，經(jīng)指導(dǎo)教師簽 署意見及所在專業(yè)審查后生效。 2．開題報告內(nèi)容必須用黑墨水筆工整書寫或按教務(wù)處統(tǒng)一設(shè) 計的電子文檔標(biāo)準(zhǔn)格式（可從教務(wù)處網(wǎng)頁上下載）打印，禁止打印 在其它紙上后剪貼，完成后應(yīng)及時交給指導(dǎo)教師簽署意見。 3． “文獻(xiàn)綜述”應(yīng)按論文的格式成文，并直接書寫（或打�。� 在本開題報告第一欄目內(nèi)， 學(xué)生寫文獻(xiàn)綜述的參考文獻(xiàn)應(yīng)不少于 15 篇（不包括辭典、手冊） 。 4．有關(guān)年月日等日期的填寫，應(yīng)當(dāng)按照國標(biāo) GB/T 7408—94 《數(shù)據(jù)元和交換格式、 信息交換、 日期和時間表示法》 規(guī)定的要求， 一律用阿拉伯?dāng)?shù)字書寫。 “2006 年 11 月 20 日” “2006-11-30” 如 或 。

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畢業(yè)設(shè)計（論文）開題報告 文 獻(xiàn) 綜 述
一、問題的研究現(xiàn)狀與研究途徑 常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，主要原因是它的 根源深扎在各種實際問題之中。 牛頓最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運(yùn)動方程就是常微分方程。 他把兩個物體都理想化為質(zhì)點， 得到 3 個未知函數(shù)的 3 個二階方程組， 經(jīng)簡單計算證明， 可化為平面問題， 即兩個未知函數(shù)的兩個二階微分方程組。 用現(xiàn)在叫做“首次積分”的辦 法，完全解決了它的求解問題。17 世紀(jì)就提出了彈性問題，這類問題導(dǎo)致懸鏈線方程、 振動弦的方程等等。 20 世紀(jì) 30 年代直至現(xiàn)在，是常微分方程各個領(lǐng)城迅速發(fā)展、形成各自相對獨(dú)立的 而又緊密聯(lián)在一起的分支學(xué)科的時期。 1927－1945 年間定性理論的研究主要是跟無線電技術(shù)聯(lián)系在一起的。 第二次世界大 戰(zhàn)期間由于通訊等方面的要求越來越高，大大地激發(fā)了對無線電技術(shù)的研究，特別是非 線性振動理論的研究得到了迅速的發(fā)展。 40 年代后數(shù)學(xué)家們的注意力主要集中在抽象動力系統(tǒng)的拓?fù)涮卣? 如閉軌是否存 在、 結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定等, 對于二維系統(tǒng)已證明可以通過奇點及一些特殊的閉軌和集合來判 斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與否；而對于一般系統(tǒng)這個問題尚未解決。在動力系統(tǒng)理論方面, 我國著 名數(shù)學(xué)家廖山濤教授, 用從典范方程組到阻礙集一整套理論和方法, 解決了一系列主 要問題, 特別是 C’封閉引理的證明, 對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的充要條件等方面都作出了主要貢 獻(xiàn)。 在當(dāng)代由電力網(wǎng)、城市交通網(wǎng)、自動運(yùn)輸網(wǎng)、數(shù)字通訊網(wǎng)、靈活批量生產(chǎn)網(wǎng)、復(fù)雜 的工業(yè)系統(tǒng)、指令控制系統(tǒng)等提出大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程組描述的。對這些系 統(tǒng)的穩(wěn)定性研究, 引起了越來越多學(xué)者的興趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。 常微分方程的概念、解法和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解 的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點簡述一下，以了解 常微分方程的特點。 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中
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得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參 數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。 后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某 種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉(zhuǎn)移 到定解問題上來。 一個常微分方程是不是有特解呢？如果有， 又有幾個呢？這是微分方程論中一個基 本的問題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。 存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。 由于大部分的常微分方程求 不出十分精確的解，而只能得到近似解。當(dāng)然，這個近似解的精確程度是比較高的。微 分方程的近似解法（包括數(shù)值解法）具有十分重要的實際意義，而解的存在和唯一又是 進(jìn)行近似計算的前提。因為如果解根本不存在，卻要去近似地求它，問題本身是沒有意 義的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要確定是哪一個解，卻要去近似地確定它， 問題也是不明確的。解的存在唯一性定理保證了所要求的解的存在和唯一，因此它也是 近似求解的前提和理論基礎(chǔ)。此外，我們將看到在定理的證明中還具體地提出了求近似 解的途徑，這就更增添了存在唯一性定理的實用意義。 由于種種條件的限制，實際測出的初始數(shù)據(jù)往往是不精確的，它只能近似地反映初 始狀態(tài)。 因此我們以它作為初值條件所得到的解是否能用做真正的解呢？這就產(chǎn)生了解 對初值的連續(xù)依賴性問題，即當(dāng)初值微小變動時，方程的解的變化是否也是很小呢？如 果不然的話，這樣所求得的解就失去了實用的意義，因為它可能與實際情況產(chǎn)生很大的 誤差。 在科學(xué)研究、工程技術(shù)中，常常需要將某些實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題， 因此，研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一性問題，是十 分重要的。 我們很容易求出二階常系數(shù)齊次線性微分方程 y ' '? ay '? by ? 0 的通解 y ( x ) ，對于其 對應(yīng)的非齊次線性微分方程 y ' '? ay '? by ? f ( x ) ，只需求出它的一個特解 y 0 ( x ) ，就能得到 該方程的通解 y ( x ) ? y ( x ) ? y 0 ( x ) 。從而，如何求出特解 y 0 ( x ) ，也是我們要解決的一個 問題。 而對于二階變系數(shù)齊次微分方程， 如何將其常系數(shù)化或用某些特殊解法將其求出， 都是我們要討論的問題。當(dāng)方程的解存在時，解是否唯一？解的存在唯一性定理給我們
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提供了解決該問題的依據(jù)。 二、問題研究存在的不足與前景 現(xiàn)今對于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就， 尤其在二階常系數(shù)線性微 分方程的求解問題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。 二階微分方程的解的存在唯 一性定理不僅可判斷解的存在唯一性，而且還有著廣泛的應(yīng)用。而冪級數(shù)解法作為求解 二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算量偏大，且需 要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等。另外，，對于二階變系數(shù)非齊次微 分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的。應(yīng)該說，應(yīng)用 常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要， 還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。

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畢業(yè)設(shè)計（論文）開題報告
【參考文獻(xiàn) 】 [1]胡俊娟. 二階常系數(shù)非齊次微分方程求特解新方法的探討[J]. 長春師范學(xué)院學(xué)報, 2005,(07) . [2]馮錄祥. 二類二階非線性微分方程的通解[J]. 甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2007,(04). [3]陳新一,唐文玲. 一類二階常系數(shù)微分方程的特解[J]. 甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自然科 學(xué)版), 2006,(02) . [4]閻恩讓，李海紅. 關(guān)于二階變系數(shù)線性方程的求解[J]. 寶雞文理學(xué)院學(xué)報(自然科 學(xué)版), 1996,(04) . [5]黃贊,羅佩芳. 一類二階常微分方程的幾種解法[J]. 中國科技信息, 2009,(18) . [6]田俊改. 常微分方程在經(jīng)濟(jì)管理中的地位研究[J]. 高等數(shù)學(xué)研究, 2010,(01) . [7]秦麗珍. 常微分方程在企業(yè)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行模型中的應(yīng)用[J]. 大眾商務(wù), 2010,(04) . [8]王海菊. 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解簡易求法[J]. 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自 然科學(xué)版), 2011,(02). [9]杜增吉. 一類二階常微分方程組特解形式的探討[J]. 徐州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué) 版), 2008,(02) . [10]陳健,王其申. 關(guān)于二階常微分方程組特解的探討[J]. 阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科 學(xué)版), 2009,(04). [11]吳幼明,羅旗幟. 一類二階常系數(shù)微分方程組的通解[J]. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 (自然科學(xué)版), 2002,(02) . [12] 馬慧莉,馬如云. 二階常微分方程邊值問題解的存在性[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版), 2005,(01) . [13]黃東衛(wèi),林潔. 二階常微分方程邊值問題[J]. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1999,(01) . [14] 張春梅. 一類二階非線性微分方程邊值問題的有效解法[J]. 新疆大學(xué)學(xué)報(自然
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科學(xué)版), 2005,(04) . [15]陳誌敏. 非線性常微分方程邊值問題的數(shù)值近似[J]. 武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué) 報, 2007,(02) . [16]周和勛, 鄔玉鑫. 關(guān)于二階常微分方程邊值問題的正解[J]. 河南大學(xué)學(xué)報(自然 科學(xué)版), 1987,(04). [17] Slimane Benaicha. Periodic Boundary Value Problem for Second Order Ordinary Differential Equations. Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, 2009, no. 6, 267 – 276. [18] L. F. Shampine. Numerical Solution of Ordinary Equations. Chapman and Hall, 1994. [19] R.P. Agarwal. Boundary value problems for high order differential equations, World Scientic, Singapore, 1986. [20] H. B. Keller. Numerical methods for two-point boundary value problems, Ginn-Blaisbell, Boston,Massachusetts, 1968.

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２．本課題要研究或解決的問題和擬采用的研究手段（途徑） ：
一 論文預(yù)期成果的理論意義和應(yīng)用價值 在科學(xué)研究、工程技術(shù)中，常常需要將某些實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題， 因此，學(xué)會求解不同類型的二階常微分方程尤為重要。另外，解的存在唯一性定理是常 微分方程理論中最基本的定理。一個微分方程的初值問題在何種條件下有解？當(dāng)有解 時，它的解是否唯一？解的存在唯一性定理保證了所要求的解的存在唯一。 二 課題研究的主要內(nèi)容 1．二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法； 2．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法及其特解表達(dá)式； 3．二階變系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程的解法； 4．二階常微分方程解的存在唯一性； 5．二階常微分方程的應(yīng)用舉例。 三 課題研究的基本方法 通過收集查閱相關(guān)的文獻(xiàn)資料和圖書館資料，及上網(wǎng)查閱相關(guān)資料并整理，對教材 的相關(guān)知識認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究，適時請教導(dǎo)師，不斷對知識進(jìn)行歸納、總結(jié)，探索不同類 型的二階常微分方程的求解方法及解的存在問題分析。 四 開展研究已具備的條件、可能遇到的困難與問題及解決措施 開展研究已具備的條件：對相關(guān)文獻(xiàn)做了閱讀和研究，對論文的主旨有了一定的認(rèn) 識；有一定的數(shù)學(xué)理論知識基礎(chǔ)，為論文的寫作和材料組織提供了有利的條件。 可能遇到的困難：由于知識有限，對論文課題研究的還不夠充分，可能遇到很多問 題還不能夠獨(dú)立解決。 解決措施：多積累有關(guān)的東西，經(jīng)常跟指導(dǎo)老師交流，聽取導(dǎo)師的意見 五 論文研究的進(jìn)展計劃 2011 年 12 月 23 日~ 2012 年 3 月 16 日，完成實習(xí)報告，英文文獻(xiàn)翻譯，熟悉課題內(nèi) 容，查閱國內(nèi)外相關(guān)資料，撰寫開題報告和文獻(xiàn)綜述； 2012 年 3 月 19 日~ 5 月 4 日，完成論文初稿； 2012 年 5 月 7 日~ 5 月 25 日，完成畢業(yè)論文全稿及打印裝訂工作； 2012年5月26日~ 5月30日，準(zhǔn)備論文答辯事項及論文答辯。

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指導(dǎo)教師意見：
1．對“文獻(xiàn)綜述”的評語：

2．對本課題的深度、廣度及工作量的意見和對設(shè)計（論文）結(jié)果的預(yù)測：

指導(dǎo)教師： 2012 年 3 月 20 日

系（教研室）審核意見：

負(fù)責(zé)人： 2012 年 3 月 22 日

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