本文關(guān)鍵詞：Burgers方程的解析解和半解析數(shù)值方法

  更多相關(guān)文章： Burgers方程 激波 Hopf-Cole變換 半解析數(shù)值方法 解析解

【摘要】：Burgers方程是非常重要的一類非線性方程,是描述對(duì)流和擴(kuò)散之間相互作用的最原始模型。該方程綜合了一階波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的特性,具有遵循守恒定律、混合偏微分方程、非線性等數(shù)學(xué)特點(diǎn),這使得它具有很高的研究與應(yīng)用價(jià)值。但是由于大雷諾數(shù)下激波的出現(xiàn),要得到一個(gè)高精度、高效率、穩(wěn)定性好的數(shù)值方法非常困難。首先,本文給出了具有特殊初始條件的二維和三維Burgers方程的解析解。以正弦和余弦函數(shù)的特殊組合構(gòu)成初始條件時(shí),Burgers方程的解能夠表現(xiàn)激波的現(xiàn)象,而且目前沒有文獻(xiàn)給出針對(duì)此問題的解析解。本文基于Hopf-Cole變換和分離變量法得到了級(jí)數(shù)形式的解析解,其中每個(gè)級(jí)數(shù)項(xiàng)均需要數(shù)值計(jì)算二重積分和三重積分。這兩個(gè)積分的被積函數(shù)是由與雷諾數(shù)相關(guān)的指數(shù)函數(shù)以及與級(jí)數(shù)項(xiàng)相關(guān)的三角函數(shù)組成,隨著雷諾數(shù)的增加,計(jì)算效率非常低。因此,本文在原解析解的基礎(chǔ)上將這兩個(gè)特殊的積分進(jìn)行簡化,即二重積分或三重積分的值可以通過由貝塞爾函數(shù)、超幾何函數(shù)、冪函數(shù)以及階乘等構(gòu)成的特殊函數(shù)計(jì)算得到,從而大大提高了該解析解的計(jì)算效率和穩(wěn)定性。這兩個(gè)特殊問題的解析解可為驗(yàn)證數(shù)值方法的精確性提供參考。其次,本文提出了一種求解一維和二維Burgers方程的半解析數(shù)值方法。該方法基于Hopf-Cole變換和對(duì)稱變換,分別把有限域一維、二維Burgers方程轉(zhuǎn)變?yōu)闊o窮域的熱傳導(dǎo)方程。然后基于格林函數(shù)法,得到了熱傳導(dǎo)方程的解析解,從而得到了Burgers方程的解。但是在大雷諾數(shù)下直接計(jì)算該解會(huì)出現(xiàn)浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算精度問題和無窮域數(shù)值積分問題,從而導(dǎo)致該解不能給出正確的結(jié)果。因此,本文通過嚴(yán)格的誤差分析,將無窮域的數(shù)值積分轉(zhuǎn)換為有限域的數(shù)值積分,進(jìn)而解決了以上的兩個(gè)數(shù)值困難,使得即使在大雷諾數(shù)下也能夠得到非常精確的數(shù)值結(jié)果。數(shù)值算例表明,本文的半解析數(shù)值方法在精度、效率、穩(wěn)定性以及可靠性方面均表現(xiàn)優(yōu)秀,能夠很好地捕捉激波的特性。在雷諾數(shù)很大的情況下,當(dāng)其他數(shù)值方法完全失效時(shí),本文方法仍然能夠給出精確和穩(wěn)定的數(shù)值結(jié)果。
【關(guān)鍵詞】：Burgers方程 激波 Hopf-Cole變換 半解析數(shù)值方法 解析解
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-9
• 1 緒論9-15
• 1.1 研究背景9
• 1.2 解析解和數(shù)值求解方法綜述9-13
• 1.3 本文的主要工作13-15
• 2 二維和三維非線性Burgers方程的解析解15-35
• 2.1 二維Burgers方程和Hopf-Cole變換15-20
• 2.1.1 二維Burgers方程的解析解16-17
• 2.1.2 解析解中系數(shù)的簡化17-20
• 2.2 三維Burgers方程和Hopf-Cole變換20-27
• 2.2.1 三維Burgers方程的解析解21-22
• 2.2.2 解析解中系數(shù)的簡化22-27
• 2.3 數(shù)值結(jié)果27-34
• 2.3.1 二維Burgers方程解析解的數(shù)值結(jié)果27-30
• 2.3.2 三維Burgers方程解析解的數(shù)值結(jié)果30-34
• 2.4 本章小節(jié)34-35
• 3 一維Burgers方程的半解析數(shù)值方法35-59
• 3.1 基于Cole-Hopf變換的積分形式解析解35-37
• 3.2 大雷諾數(shù)下Burgers方程解析解的兩個(gè)問題37-38
• 3.3 一維Burgers方程的半解析數(shù)值方法38-44
• 3.3.1 大雷諾數(shù)下浮點(diǎn)精度問題的解決方法38
• 3.3.2 解析解分母的積分限選取38-41
• 3.3.3 解析解分子的積分限選取41-44
• 3.4 數(shù)值算例44-58
• 3.5 本章小結(jié)58-59
• 4 二維Burgers方程的半解析數(shù)值方法59-72
• 4.1 基于Cole-Hopf變換的積分形式解析解59-61
• 4.2 大雷諾數(shù)下 Burgers方程解的兩個(gè)問題61-62
• 4.3 二維Burgers方程的半解析數(shù)值方法62-63
• 4.3.1 大雷諾數(shù)下浮點(diǎn)精度問題的解決方法62-63
• 4.3.2 解析解的積分限選取63
• 4.4 數(shù)值算例63-71
• 4.5 本章小節(jié)71-72
• 結(jié)論72-73
• 參考文獻(xiàn)73-80
• 附錄A 計(jì)算S_(min)的值80-81
• 攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表學(xué)術(shù)論文情況81-82
• 致謝82-83

【相似文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：578573