【摘要】：當(dāng)今社會(huì)充斥著各種各樣的風(fēng)險(xiǎn).人們一方面呼吁需要零風(fēng)險(xiǎn)社會(huì),另一方面人類(lèi)活動(dòng)卻增加各種各樣的風(fēng)險(xiǎn).政府部門(mén)和私人企業(yè)如工業(yè)公司,保險(xiǎn)公司和銀行都必須考慮如何應(yīng)對(duì)這些風(fēng)險(xiǎn),確保他們可以承受這些風(fēng)險(xiǎn),不至于因?yàn)槌袚?dān)風(fēng)險(xiǎn)而危及到他們的機(jī)構(gòu)生存.然而,在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中,就像我們所看到的那樣,產(chǎn)生致命影響的是一些極端事件的發(fā)生：如全球金融危機(jī)、經(jīng)濟(jì)泡沫的破滅、萬(wàn)年一遇的洪水、地震、火災(zāi)、風(fēng)暴、颶風(fēng)、火山爆發(fā),等等.當(dāng)然,我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)知也在演變：災(zāi)難性事件已不再是過(guò)去所認(rèn)為的那種不可控的和無(wú)情命運(yùn)的結(jié)果.對(duì)這些事件的概率及風(fēng)險(xiǎn)度量的估計(jì)是預(yù)防、避免或至少是減少極端事件發(fā)生的不可回避且至關(guān)重要的問(wèn)題.因此,迫切需要找到指導(dǎo)、理解和管理風(fēng)險(xiǎn)的工具.全球銀行組織提出一系列的建議和規(guī)范,即著名的Basel協(xié)議Basel協(xié)會(huì)提出風(fēng)險(xiǎn)內(nèi)部管理模型和與所受到的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)應(yīng)的最小保證金的征收辦法,然而一些批評(píng)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這些提議的適用性并不是很好.爭(zhēng)論更加說(shuō)明了需要更好地理解極值風(fēng)險(xiǎn)及其后果,并找到阻止或至少是最小化這種風(fēng)險(xiǎn)的辦法. 基于上述所提到的問(wèn)題,我們首先需要的是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確的定量認(rèn)識(shí)——風(fēng)險(xiǎn)度量,其次是如何應(yīng)對(duì)管理風(fēng)險(xiǎn),如采用多樣化投資使得風(fēng)險(xiǎn)分散或者貯備保證金以應(yīng)對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn),等等. 風(fēng)險(xiǎn)度量在經(jīng)濟(jì)學(xué)、決策論、精算學(xué)、金融、保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)等中都是一個(gè)至關(guān)重要的概念.它給人們提供了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)認(rèn)識(shí)(不同的風(fēng)險(xiǎn)度量提供不同方面的信息),指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)主體行為.從1970年起,風(fēng)險(xiǎn)度量就以保費(fèi)的名義被廣泛地研究.風(fēng)險(xiǎn)度量往往是基于一個(gè)公理化的方法得到的,并不存在最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)度量,基于不同的公理就會(huì)得到不同的風(fēng)險(xiǎn)度量,進(jìn)而得到不同的風(fēng)險(xiǎn)模型.到目前為止,文獻(xiàn)中已出現(xiàn)很多不同的風(fēng)險(xiǎn)度量：如廣為使用的在險(xiǎn)價(jià)值(Value-at-Risk, VaR),條件尾期望(Conditional Tail Expectation, CTE),期望短缺(Expected Shortfall),零效用保費(fèi)(Zero-utility Premium), Esscher風(fēng)險(xiǎn)度量,Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量,等等.風(fēng)險(xiǎn)模型則有經(jīng)典的期望效用模型,Yaari(1987)的對(duì)偶理論模型,更有基于兩者提出的秩相依期望效用模型,等.在完全信息下,不同的行為主體對(duì)于同一風(fēng)險(xiǎn)會(huì)有不同的感知,進(jìn)而會(huì)有不同的行為.這是因?yàn)橛绊戯L(fēng)險(xiǎn)度量的因素還有行為主體對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度：風(fēng)險(xiǎn)厭惡,風(fēng)險(xiǎn)中性,風(fēng)險(xiǎn)喜好.因此,在研究風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí),我們有必要研究行為主體對(duì)待不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的刻畫(huà). 研究表明極端事件往往具有重尾的性質(zhì),即近似地可以用生存函數(shù)滿足正則變差性質(zhì)的隨機(jī)變量來(lái)刻畫(huà).這樣我們對(duì)于極端風(fēng)險(xiǎn)的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)那些生存函數(shù)具有正則變差性的隨機(jī)變量的研究.正則變差生存函數(shù)與極值分布吸引場(chǎng)的關(guān)系是眾所周知的且非常優(yōu)美的一個(gè)結(jié)果,這也是正則變差生存函數(shù)能刻畫(huà)極端事件的理論依據(jù). 正則變差函數(shù)的概念是Jovan Karamata于1930年提出的,指的是其尾部性狀類(lèi)似于冪函數(shù)形式.正則變差函數(shù)有大量的優(yōu)美的性質(zhì),它是人們研究極端事件的一個(gè)強(qiáng)有力工具.在正則變差的假設(shè)(這是合理的假設(shè))下,可以建立極端事件風(fēng)險(xiǎn)度量的漸近等價(jià)刻畫(huà).但是,兩個(gè)正則指數(shù)相同的生存函數(shù),其尾部性狀可能相差很大,此時(shí)上述的風(fēng)險(xiǎn)度量等價(jià)刻畫(huà)可能會(huì)導(dǎo)致比較大的偏差,有時(shí)這種差異甚至可以是趨于無(wú)窮的.這促使人們?nèi)ヒM(jìn)和研究二階正則變差函數(shù),并在此二階正則變差性的假設(shè)下,建立尾事件風(fēng)險(xiǎn)度量或基于風(fēng)險(xiǎn)度量的其它特征指標(biāo)(如風(fēng)險(xiǎn)濃度)的更精確的近似——二階逼近. 本篇學(xué)位論文旨在研究風(fēng)險(xiǎn)度量和基于風(fēng)險(xiǎn)度量的風(fēng)險(xiǎn)濃度在二階正則條件下的二階逼近,以及在秩相依期望效用模型下若干風(fēng)險(xiǎn)厭惡概念的刻畫(huà)。具體工作如下. 第二章：正則變差(RV)函數(shù)有非常多的優(yōu)美性質(zhì),其中廣泛應(yīng)用于極值理論中的結(jié)果有Karamata定理、Breiman定理、Drees型不等式等.文獻(xiàn)中在一般正則變差函數(shù)的基礎(chǔ)上,提出了延展正則變差函數(shù)(ERV),二階正則變差(2RV)函數(shù)和二階延展正則變差函數(shù)(2ERV)的概念.后面兩個(gè)概念統(tǒng)稱為二階正則條件.這些擴(kuò)展的正則變差函數(shù)在極值理論的研究中有著非常重要的作用,這在后面會(huì)詳細(xì)說(shuō)明.在正則指數(shù)非零時(shí),ERV和RV的關(guān)系是眾所周知的,故幾乎所有正則變差的性質(zhì)都可以平移到ERV函數(shù)上de HaanStadtmuller (1996)建立了2ERV和ERV兩者之間的聯(lián)系HuaJoe (2011)給出了2RV在一階指數(shù)大于0,二階指數(shù)小于0時(shí)可以轉(zhuǎn)化為ERV. Neves (2009)討論了在特定的幾種情形下2ERV和2RV之間的聯(lián)系.我們將在節(jié)2.3遍歷所有情形,建立2ERV和2RV之間的關(guān)系.另一方面,Drees型不等式在建立尾事件概率的界和某些估計(jì)的收斂速度中有非常重要的作用.由于ERV,2RV和2ERV這三種推廣的正則變差函數(shù)的定義依賴于輔助函數(shù),Drees型不等式亦如此,且該不等式僅對(duì)特定的輔助函數(shù)成立.這樣的Drees型不定式的適用范圍比較窄.在節(jié)2.4中,我們給出對(duì)任意輔助函數(shù)都成立的Drees型不等式.漸近光滑是另一個(gè)重要的概念,漸近光滑性等價(jià)于規(guī)范的正則變差性,蘊(yùn)含正則變差性.漸近光滑性給我們研究聚合風(fēng)險(xiǎn)的尾概率和一些風(fēng)險(xiǎn)度量的二階展開(kāi)帶來(lái)方便.我們?cè)诠?jié)2.5中進(jìn)一步研究漸近光滑函數(shù)的一些性質(zhì). 第三章：無(wú)論是保險(xiǎn)公司、銀行、期貨公司,它們都面臨很多獨(dú)立的且相似的風(fēng)險(xiǎn),為進(jìn)行有效的風(fēng)險(xiǎn)管理,我們有必要研究聚合風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)Bar beMcCormick (2005)給出在邊際風(fēng)險(xiǎn)生存函數(shù)漸近光滑的條件下,聚合風(fēng)險(xiǎn)的生存函數(shù)的二階逼近.在險(xiǎn)價(jià)值VaR和條件尾期望CTE是兩個(gè)最常用的風(fēng)險(xiǎn)度量,有關(guān)極值風(fēng)險(xiǎn)的這兩種風(fēng)險(xiǎn)度量的研究對(duì)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)有指導(dǎo)作用Degen et al.(2010)利用這一結(jié)果在漸近光滑和二階正則變差性同時(shí)滿足的假設(shè)下得到了聚合風(fēng)險(xiǎn)的VaR的二階逼近,進(jìn)而得到基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)濃度的二階逼近.節(jié)3.2利用二階正則變差隨機(jī)變量的CTE和VaR的漸近關(guān)系,建立了基于CTE的風(fēng)險(xiǎn)分散化效用的二階逼近.由于漸近光滑的定義形式的復(fù)雜性,難以驗(yàn)證,所以我們?cè)诠?jié)3.3去除漸近光滑性的假設(shè),僅僅在二階正則變差的條件下,給出聚合風(fēng)險(xiǎn)的生存函數(shù)的二階逼近、二階正則變差性以及基于VaR和基于CTE的風(fēng)險(xiǎn)濃度的二階逼近.這些對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理和控制起著很好的指導(dǎo)作用. 第四章：極值分布的極大吸引場(chǎng)有三類(lèi),分別是Frechet類(lèi),Weibull類(lèi),Gumbel類(lèi).這三類(lèi)吸引場(chǎng)是我們研究極端事件的具體對(duì)象,其中Frechet類(lèi)和Weibull類(lèi)可以用正則變差函數(shù)來(lái)刻畫(huà),Gumbel類(lèi)可以用Ⅱ類(lèi)來(lái)刻畫(huà).Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量是基于Orlicz范數(shù)而引入的保費(fèi)計(jì)算準(zhǔn)則,最初是由J.Haezendonck和M.Goovaerts于1982年提出的.Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量是通過(guò)一個(gè)遞增且凸的Young函數(shù)來(lái)定義的.當(dāng)Young函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),TangYang(2012)分別對(duì)屬于極值分布的三大極大吸引場(chǎng)的分布或風(fēng)險(xiǎn)變量,給出了Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量的一階逼近.考慮到極值分布的三大吸引場(chǎng)中分布可以用其尾分位點(diǎn)函數(shù)(即生存函數(shù)倒數(shù)的逆函數(shù))的ERV性質(zhì)來(lái)統(tǒng)一刻畫(huà),我們?cè)诠?jié)4.3給出TangYang關(guān)于Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量一階逼近結(jié)果的新證明.新的證明利用尾分位點(diǎn)函數(shù)的ERV性質(zhì)把三種吸引場(chǎng)情形統(tǒng)一在一起,這也有助于人們認(rèn)識(shí)Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量.另外,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于Gumbel類(lèi),在尾分位點(diǎn)函數(shù)具有ERV性質(zhì)的假設(shè)下,可以得到該風(fēng)險(xiǎn)度量的二階逼近；而在尾分位點(diǎn)函數(shù)具有2ERV性質(zhì)的假設(shè)下,節(jié)4.4分別對(duì)Frechet和Weibull吸引場(chǎng)中的分布建立了Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量的二階逼近.節(jié)4.5給出幾個(gè)具體例子說(shuō)明文中所導(dǎo)出的Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量的二階逼近的精確度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一階逼近. 第五章：風(fēng)險(xiǎn)度量的確定是依賴于決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度.風(fēng)險(xiǎn)厭惡在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念,它使得決策主體避免不確定性(即風(fēng)險(xiǎn)),免于受到不可預(yù)測(cè)的事件的危害.文獻(xiàn)中提出了很多風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念,其中最主要的是弱風(fēng)險(xiǎn)厭惡(Arrow,1974; Pratt,1964)、強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(DiamondStiglitz,1974; RothschildStigiltz,1970)、單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(Quiggin,1992; LandsbergerMeilijson,1994a)、左單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(Jewitt,1989)和右單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(Chateauneuf et al.,2004)在經(jīng)典的期望效用模型下,這五種風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念是等價(jià)的.由Allais悖論,我們知道期望效用模型并不能很好地解釋所有的經(jīng)濟(jì)行為,這是因?yàn)樵谄谕в媚Ｐ拖?每個(gè)決策者都是被一個(gè)效用函數(shù)所刻畫(huà),這個(gè)函數(shù)既刻畫(huà)決策者對(duì)財(cái)富的態(tài)度,也刻畫(huà)其對(duì)不確定性的態(tài)度,即每個(gè)決策者是邊際效應(yīng)遞減的同時(shí)一定是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的.然而,事實(shí)上大部分的人愿意購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的同時(shí)也愿意購(gòu)買(mǎi)彩票,這就說(shuō)明了某些決策者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)也可以是追逐巨額財(cái)富的.秩相依期望效用模型就是鑒于此提出的.在秩相依期望效用模型中,每個(gè)決策者被兩個(gè)函數(shù)所刻畫(huà)——效用函數(shù)u和概率感知函數(shù)f.用效用函數(shù)和概率感知函數(shù)來(lái)刻畫(huà)幾種風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念是一個(gè)非常有趣且有意義的工作.在限制我們所面臨的風(fēng)險(xiǎn)都是有界的條件下,Chew et al.(1987)和Ryan(2006)證明強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡是等價(jià)于u是凹函數(shù)且f是凸函數(shù)；Chateauneuf et al(2005)引入了兩種指數(shù)——貪婪指數(shù)(Q)和悲觀指數(shù)(P),這兩種指數(shù)分別是通過(guò)效用函數(shù)和概率感知函數(shù)來(lái)定義的,他們證明了單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡是等價(jià)于貪婪指數(shù)Q小于或等于悲觀指數(shù)P; Ryan (2006)對(duì)于左單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡通過(guò)定義新的悲觀指數(shù)給出了類(lèi)似的刻畫(huà)(雖然結(jié)果是對(duì)的,但是最主要定理的證明中存在明顯的錯(cuò)誤).另一方面,現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)界風(fēng)險(xiǎn)變量隨處可見(jiàn),一個(gè)自然的問(wèn)題是上述的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的刻畫(huà)對(duì)無(wú)界風(fēng)險(xiǎn)變量是否依然正確?這是一個(gè)非常有意義且富于挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.正如RothschildStigiltz (1970)中所說(shuō)的那樣,將某些問(wèn)題從有界隨機(jī)變量推廣到無(wú)界隨機(jī)變量不是一件簡(jiǎn)單的工作,這需要涉及一系列精細(xì)的收斂問(wèn)題.在這里,通常的弱收斂的概念已經(jīng)不夠了,需要引進(jìn)和使用新的收斂概念.在第五章中,我們首先給出有界風(fēng)險(xiǎn)變量的左單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的刻畫(huà),糾正Ryan(2006)中的證明錯(cuò)誤,然后通過(guò)截尾的方法(截尾的同時(shí)一定要保證風(fēng)險(xiǎn)變量之間特定的隨機(jī)序關(guān)系依然成立)將上述四種風(fēng)險(xiǎn)厭惡的刻畫(huà)都推廣到無(wú)界風(fēng)險(xiǎn)變量. 第六章：風(fēng)險(xiǎn)度量是基于一系列公理提出的,基于不同的公理可以得到不同風(fēng)險(xiǎn)度量.例如,von NeumannMorgenstern(1947)給出了期望效用模型基于一組公理的刻畫(huà)(或參考Fishburn,1982),若將其中的獨(dú)立性公理替換為同單調(diào)性公理,則我們可以得到Y(jié)aari對(duì)偶理論,亦即扭曲風(fēng)險(xiǎn)度量.同單調(diào)是經(jīng)濟(jì)學(xué)和精算學(xué)中一個(gè)非常重要的概念,指的是一組風(fēng)險(xiǎn)變量之間的關(guān)系是同增同減的.對(duì)于任意n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)變量X1,….,Xn,我們用X1c,….,Xnc表示相應(yīng)的同單調(diào)版本的風(fēng)險(xiǎn)變量,則其聚合風(fēng)險(xiǎn)∑in=1Xi在停止損失序(或凸序)意義下不大于同單調(diào)版本的聚合風(fēng)險(xiǎn)∑i=1n Xic(Kaas et al,2002)在所考慮的概率空間是無(wú)原子的假設(shè)下,Chueng (2008,2010)證明了上述結(jié)果的逆命題成立,即如果一組風(fēng)險(xiǎn)變量之和在停止損失序意義下不小于任意一組有相同邊際分布的風(fēng)險(xiǎn)變量之和,那么這組風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系是同單調(diào)的.他的證明非常繁瑣復(fù)雜.在第六章中,我們?nèi)∠怕士臻g無(wú)原子的假設(shè),用非常簡(jiǎn)單明了的方法證明了該結(jié)果成立. 本學(xué)位論文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下： 1.基于ERV、2RV和2ERV的經(jīng)典Drees型不等式,證明了對(duì)任意輔助函數(shù)都成立的更為一般的Drees型不等式,該不等式具有廣泛的適用性；同時(shí)深入探討2RV和2ERV之間的蘊(yùn)涵關(guān)系. 2.證明了Degen et al(2010)在漸近光滑和二階正則性的條件下得到的基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)濃度的二階逼近結(jié)果在僅有二階正則條件下依然成立 3.利用尾分位點(diǎn)函數(shù)的ERV性完全刻畫(huà)三大極值分布吸引場(chǎng),將TangYang (2012)分別針對(duì)三大極值分布吸引場(chǎng)建立的Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量的一階逼近納入到統(tǒng)一的模式中.更進(jìn)一步地,在條件不變的情況下,對(duì)Gumbel吸引場(chǎng)給出Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量的二階逼近,并在二階正則條件下給出Frechet, Weibull分布極大吸引場(chǎng)對(duì)應(yīng)的Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險(xiǎn)度量的二階逼近. 4.在秩相依的期望效用模型框架下,對(duì)無(wú)界風(fēng)險(xiǎn)變量建立了左單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和右單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的刻畫(huà),糾正了Ryan (2006)關(guān)于有界風(fēng)險(xiǎn)變量左單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡刻畫(huà)證明中的錯(cuò)誤,并將Chew et al(1987)關(guān)于強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡,Chateauneuf et al.(2005)關(guān)于單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的刻畫(huà)從有界風(fēng)險(xiǎn)拓展到到無(wú)界風(fēng)險(xiǎn)變量.這一研究富有挑戰(zhàn)性,有相當(dāng)?shù)碾y度.我們找到了解決問(wèn)題的有效方法,這就是從微觀層面去研究隨機(jī)序,揭示隨機(jī)序內(nèi)在的深層次的性質(zhì).從宏觀層面轉(zhuǎn)向從微觀層面研究隨機(jī)序也代表了未來(lái)隨機(jī)序理論研究的一個(gè)主流方法. 5.用簡(jiǎn)潔有趣的方法證明了Cheung(2010)關(guān)于同單調(diào)相依風(fēng)險(xiǎn)的等價(jià)刻畫(huà),并取消了底概率空間無(wú)原子的假設(shè).
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2012
【分類(lèi)號(hào)】：O211.67;F840

【引證文獻(xiàn)】

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 呂文華;聚合風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)濃度的二階展開(kāi)[D];中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué);2013年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前2條

1 劉雪靜;扭曲風(fēng)險(xiǎn)度量的聚合風(fēng)險(xiǎn)濃度[D];曲阜師范大學(xué);2016年

2 唐越越;風(fēng)險(xiǎn)厭惡與模糊厭惡淺析[D];曲阜師范大學(xué);2016年

本文編號(hào)：2734368