【摘要】：當(dāng)今社會充斥著各種各樣的風(fēng)險.人們一方面呼吁需要零風(fēng)險社會,另一方面人類活動卻增加各種各樣的風(fēng)險.政府部門和私人企業(yè)如工業(yè)公司,保險公司和銀行都必須考慮如何應(yīng)對這些風(fēng)險,確保他們可以承受這些風(fēng)險,不至于因為承擔(dān)風(fēng)險而危及到他們的機構(gòu)生存.然而,在現(xiàn)實社會中,就像我們所看到的那樣,產(chǎn)生致命影響的是一些極端事件的發(fā)生：如全球金融危機、經(jīng)濟(jì)泡沫的破滅、萬年一遇的洪水、地震、火災(zāi)、風(fēng)暴、颶風(fēng)、火山爆發(fā),等等.當(dāng)然,我們對于風(fēng)險的認(rèn)知也在演變：災(zāi)難性事件已不再是過去所認(rèn)為的那種不可控的和無情命運的結(jié)果.對這些事件的概率及風(fēng)險度量的估計是預(yù)防、避免或至少是減少極端事件發(fā)生的不可回避且至關(guān)重要的問題.因此,迫切需要找到指導(dǎo)、理解和管理風(fēng)險的工具.全球銀行組織提出一系列的建議和規(guī)范,即著名的Basel協(xié)議Basel協(xié)會提出風(fēng)險內(nèi)部管理模型和與所受到的風(fēng)險相對應(yīng)的最小保證金的征收辦法,然而一些批評家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這些提議的適用性并不是很好.爭論更加說明了需要更好地理解極值風(fēng)險及其后果,并找到阻止或至少是最小化這種風(fēng)險的辦法. 基于上述所提到的問題,我們首先需要的是對風(fēng)險的準(zhǔn)確的定量認(rèn)識——風(fēng)險度量,其次是如何應(yīng)對管理風(fēng)險,如采用多樣化投資使得風(fēng)險分散或者貯備保證金以應(yīng)對極端風(fēng)險,等等. 風(fēng)險度量在經(jīng)濟(jì)學(xué)、決策論、精算學(xué)、金融、保險和再保險等中都是一個至關(guān)重要的概念.它給人們提供了對風(fēng)險的一個認(rèn)識(不同的風(fēng)險度量提供不同方面的信息),指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)主體行為.從1970年起,風(fēng)險度量就以保費的名義被廣泛地研究.風(fēng)險度量往往是基于一個公理化的方法得到的,并不存在最優(yōu)的風(fēng)險度量,基于不同的公理就會得到不同的風(fēng)險度量,進(jìn)而得到不同的風(fēng)險模型.到目前為止,文獻(xiàn)中已出現(xiàn)很多不同的風(fēng)險度量：如廣為使用的在險價值(Value-at-Risk, VaR),條件尾期望(Conditional Tail Expectation, CTE),期望短缺(Expected Shortfall),零效用保費(Zero-utility Premium), Esscher風(fēng)險度量,Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量,等等.風(fēng)險模型則有經(jīng)典的期望效用模型,Yaari(1987)的對偶理論模型,更有基于兩者提出的秩相依期望效用模型,等.在完全信息下,不同的行為主體對于同一風(fēng)險會有不同的感知,進(jìn)而會有不同的行為.這是因為影響風(fēng)險度量的因素還有行為主體對待風(fēng)險的態(tài)度：風(fēng)險厭惡,風(fēng)險中性,風(fēng)險喜好.因此,在研究風(fēng)險度量時,我們有必要研究行為主體對待不同風(fēng)險態(tài)度的刻畫. 研究表明極端事件往往具有重尾的性質(zhì),即近似地可以用生存函數(shù)滿足正則變差性質(zhì)的隨機變量來刻畫.這樣我們對于極端風(fēng)險的研究就轉(zhuǎn)化為對那些生存函數(shù)具有正則變差性的隨機變量的研究.正則變差生存函數(shù)與極值分布吸引場的關(guān)系是眾所周知的且非常優(yōu)美的一個結(jié)果,這也是正則變差生存函數(shù)能刻畫極端事件的理論依據(jù). 正則變差函數(shù)的概念是Jovan Karamata于1930年提出的,指的是其尾部性狀類似于冪函數(shù)形式.正則變差函數(shù)有大量的優(yōu)美的性質(zhì),它是人們研究極端事件的一個強有力工具.在正則變差的假設(shè)(這是合理的假設(shè))下,可以建立極端事件風(fēng)險度量的漸近等價刻畫.但是,兩個正則指數(shù)相同的生存函數(shù),其尾部性狀可能相差很大,此時上述的風(fēng)險度量等價刻畫可能會導(dǎo)致比較大的偏差,有時這種差異甚至可以是趨于無窮的.這促使人們?nèi)ヒM(jìn)和研究二階正則變差函數(shù),并在此二階正則變差性的假設(shè)下,建立尾事件風(fēng)險度量或基于風(fēng)險度量的其它特征指標(biāo)(如風(fēng)險濃度)的更精確的近似——二階逼近. 本篇學(xué)位論文旨在研究風(fēng)險度量和基于風(fēng)險度量的風(fēng)險濃度在二階正則條件下的二階逼近,以及在秩相依期望效用模型下若干風(fēng)險厭惡概念的刻畫。具體工作如下. 第二章：正則變差(RV)函數(shù)有非常多的優(yōu)美性質(zhì),其中廣泛應(yīng)用于極值理論中的結(jié)果有Karamata定理、Breiman定理、Drees型不等式等.文獻(xiàn)中在一般正則變差函數(shù)的基礎(chǔ)上,提出了延展正則變差函數(shù)(ERV),二階正則變差(2RV)函數(shù)和二階延展正則變差函數(shù)(2ERV)的概念.后面兩個概念統(tǒng)稱為二階正則條件.這些擴(kuò)展的正則變差函數(shù)在極值理論的研究中有著非常重要的作用,這在后面會詳細(xì)說明.在正則指數(shù)非零時,ERV和RV的關(guān)系是眾所周知的,故幾乎所有正則變差的性質(zhì)都可以平移到ERV函數(shù)上de HaanStadtmuller (1996)建立了2ERV和ERV兩者之間的聯(lián)系HuaJoe (2011)給出了2RV在一階指數(shù)大于0,二階指數(shù)小于0時可以轉(zhuǎn)化為ERV. Neves (2009)討論了在特定的幾種情形下2ERV和2RV之間的聯(lián)系.我們將在節(jié)2.3遍歷所有情形,建立2ERV和2RV之間的關(guān)系.另一方面,Drees型不等式在建立尾事件概率的界和某些估計的收斂速度中有非常重要的作用.由于ERV,2RV和2ERV這三種推廣的正則變差函數(shù)的定義依賴于輔助函數(shù),Drees型不等式亦如此,且該不等式僅對特定的輔助函數(shù)成立.這樣的Drees型不定式的適用范圍比較窄.在節(jié)2.4中,我們給出對任意輔助函數(shù)都成立的Drees型不等式.漸近光滑是另一個重要的概念,漸近光滑性等價于規(guī)范的正則變差性,蘊含正則變差性.漸近光滑性給我們研究聚合風(fēng)險的尾概率和一些風(fēng)險度量的二階展開帶來方便.我們在節(jié)2.5中進(jìn)一步研究漸近光滑函數(shù)的一些性質(zhì). 第三章：無論是保險公司、銀行、期貨公司,它們都面臨很多獨立的且相似的風(fēng)險,為進(jìn)行有效的風(fēng)險管理,我們有必要研究聚合風(fēng)險的性質(zhì)Bar beMcCormick (2005)給出在邊際風(fēng)險生存函數(shù)漸近光滑的條件下,聚合風(fēng)險的生存函數(shù)的二階逼近.在險價值VaR和條件尾期望CTE是兩個最常用的風(fēng)險度量,有關(guān)極值風(fēng)險的這兩種風(fēng)險度量的研究對規(guī)避風(fēng)險有指導(dǎo)作用Degen et al.(2010)利用這一結(jié)果在漸近光滑和二階正則變差性同時滿足的假設(shè)下得到了聚合風(fēng)險的VaR的二階逼近,進(jìn)而得到基于VaR的風(fēng)險濃度的二階逼近.節(jié)3.2利用二階正則變差隨機變量的CTE和VaR的漸近關(guān)系,建立了基于CTE的風(fēng)險分散化效用的二階逼近.由于漸近光滑的定義形式的復(fù)雜性,難以驗證,所以我們在節(jié)3.3去除漸近光滑性的假設(shè),僅僅在二階正則變差的條件下,給出聚合風(fēng)險的生存函數(shù)的二階逼近、二階正則變差性以及基于VaR和基于CTE的風(fēng)險濃度的二階逼近.這些對于風(fēng)險管理和控制起著很好的指導(dǎo)作用. 第四章：極值分布的極大吸引場有三類,分別是Frechet類,Weibull類,Gumbel類.這三類吸引場是我們研究極端事件的具體對象,其中Frechet類和Weibull類可以用正則變差函數(shù)來刻畫,Gumbel類可以用Ⅱ類來刻畫.Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量是基于Orlicz范數(shù)而引入的保費計算準(zhǔn)則,最初是由J.Haezendonck和M.Goovaerts于1982年提出的.Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量是通過一個遞增且凸的Young函數(shù)來定義的.當(dāng)Young函數(shù)為冪函數(shù)時,TangYang(2012)分別對屬于極值分布的三大極大吸引場的分布或風(fēng)險變量,給出了Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量的一階逼近.考慮到極值分布的三大吸引場中分布可以用其尾分位點函數(shù)(即生存函數(shù)倒數(shù)的逆函數(shù))的ERV性質(zhì)來統(tǒng)一刻畫,我們在節(jié)4.3給出TangYang關(guān)于Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量一階逼近結(jié)果的新證明.新的證明利用尾分位點函數(shù)的ERV性質(zhì)把三種吸引場情形統(tǒng)一在一起,這也有助于人們認(rèn)識Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量.另外,我們發(fā)現(xiàn)對于Gumbel類,在尾分位點函數(shù)具有ERV性質(zhì)的假設(shè)下,可以得到該風(fēng)險度量的二階逼近；而在尾分位點函數(shù)具有2ERV性質(zhì)的假設(shè)下,節(jié)4.4分別對Frechet和Weibull吸引場中的分布建立了Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量的二階逼近.節(jié)4.5給出幾個具體例子說明文中所導(dǎo)出的Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量的二階逼近的精確度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一階逼近. 第五章：風(fēng)險度量的確定是依賴于決策者對于風(fēng)險的態(tài)度.風(fēng)險厭惡在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是一個非常重要的概念,它使得決策主體避免不確定性(即風(fēng)險),免于受到不可預(yù)測的事件的危害.文獻(xiàn)中提出了很多風(fēng)險厭惡的概念,其中最主要的是弱風(fēng)險厭惡(Arrow,1974; Pratt,1964)、強風(fēng)險厭惡(DiamondStiglitz,1974; RothschildStigiltz,1970)、單調(diào)風(fēng)險厭惡(Quiggin,1992; LandsbergerMeilijson,1994a)、左單調(diào)風(fēng)險厭惡(Jewitt,1989)和右單調(diào)風(fēng)險厭惡(Chateauneuf et al.,2004)在經(jīng)典的期望效用模型下,這五種風(fēng)險厭惡的概念是等價的.由Allais悖論,我們知道期望效用模型并不能很好地解釋所有的經(jīng)濟(jì)行為,這是因為在期望效用模型下,每個決策者都是被一個效用函數(shù)所刻畫,這個函數(shù)既刻畫決策者對財富的態(tài)度,也刻畫其對不確定性的態(tài)度,即每個決策者是邊際效應(yīng)遞減的同時一定是厭惡風(fēng)險的.然而,事實上大部分的人愿意購買保險的同時也愿意購買彩票,這就說明了某些決策者厭惡風(fēng)險的同時也可以是追逐巨額財富的.秩相依期望效用模型就是鑒于此提出的.在秩相依期望效用模型中,每個決策者被兩個函數(shù)所刻畫——效用函數(shù)u和概率感知函數(shù)f.用效用函數(shù)和概率感知函數(shù)來刻畫幾種風(fēng)險厭惡的概念是一個非常有趣且有意義的工作.在限制我們所面臨的風(fēng)險都是有界的條件下,Chew et al.(1987)和Ryan(2006)證明強風(fēng)險厭惡是等價于u是凹函數(shù)且f是凸函數(shù)；Chateauneuf et al(2005)引入了兩種指數(shù)——貪婪指數(shù)(Q)和悲觀指數(shù)(P),這兩種指數(shù)分別是通過效用函數(shù)和概率感知函數(shù)來定義的,他們證明了單調(diào)風(fēng)險厭惡是等價于貪婪指數(shù)Q小于或等于悲觀指數(shù)P; Ryan (2006)對于左單調(diào)風(fēng)險厭惡通過定義新的悲觀指數(shù)給出了類似的刻畫(雖然結(jié)果是對的,但是最主要定理的證明中存在明顯的錯誤).另一方面,現(xiàn)實生活中無界風(fēng)險變量隨處可見,一個自然的問題是上述的風(fēng)險厭惡的刻畫對無界風(fēng)險變量是否依然正確?這是一個非常有意義且富于挑戰(zhàn)性的問題.正如RothschildStigiltz (1970)中所說的那樣,將某些問題從有界隨機變量推廣到無界隨機變量不是一件簡單的工作,這需要涉及一系列精細(xì)的收斂問題.在這里,通常的弱收斂的概念已經(jīng)不夠了,需要引進(jìn)和使用新的收斂概念.在第五章中,我們首先給出有界風(fēng)險變量的左單調(diào)風(fēng)險厭惡的刻畫,糾正Ryan(2006)中的證明錯誤,然后通過截尾的方法(截尾的同時一定要保證風(fēng)險變量之間特定的隨機序關(guān)系依然成立)將上述四種風(fēng)險厭惡的刻畫都推廣到無界風(fēng)險變量. 第六章：風(fēng)險度量是基于一系列公理提出的,基于不同的公理可以得到不同風(fēng)險度量.例如,von NeumannMorgenstern(1947)給出了期望效用模型基于一組公理的刻畫(或參考Fishburn,1982),若將其中的獨立性公理替換為同單調(diào)性公理,則我們可以得到Y(jié)aari對偶理論,亦即扭曲風(fēng)險度量.同單調(diào)是經(jīng)濟(jì)學(xué)和精算學(xué)中一個非常重要的概念,指的是一組風(fēng)險變量之間的關(guān)系是同增同減的.對于任意n個風(fēng)險變量X1,….,Xn,我們用X1c,….,Xnc表示相應(yīng)的同單調(diào)版本的風(fēng)險變量,則其聚合風(fēng)險∑in=1Xi在停止損失序(或凸序)意義下不大于同單調(diào)版本的聚合風(fēng)險∑i=1n Xic(Kaas et al,2002)在所考慮的概率空間是無原子的假設(shè)下,Chueng (2008,2010)證明了上述結(jié)果的逆命題成立,即如果一組風(fēng)險變量之和在停止損失序意義下不小于任意一組有相同邊際分布的風(fēng)險變量之和,那么這組風(fēng)險之間的關(guān)系是同單調(diào)的.他的證明非常繁瑣復(fù)雜.在第六章中,我們?nèi)∠怕士臻g無原子的假設(shè),用非常簡單明了的方法證明了該結(jié)果成立. 本學(xué)位論文的主要創(chuàng)新點如下： 1.基于ERV、2RV和2ERV的經(jīng)典Drees型不等式,證明了對任意輔助函數(shù)都成立的更為一般的Drees型不等式,該不等式具有廣泛的適用性；同時深入探討2RV和2ERV之間的蘊涵關(guān)系. 2.證明了Degen et al(2010)在漸近光滑和二階正則性的條件下得到的基于VaR的風(fēng)險濃度的二階逼近結(jié)果在僅有二階正則條件下依然成立 3.利用尾分位點函數(shù)的ERV性完全刻畫三大極值分布吸引場,將TangYang (2012)分別針對三大極值分布吸引場建立的Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量的一階逼近納入到統(tǒng)一的模式中.更進(jìn)一步地,在條件不變的情況下,對Gumbel吸引場給出Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量的二階逼近,并在二階正則條件下給出Frechet, Weibull分布極大吸引場對應(yīng)的Haezendonck-Goovaerts風(fēng)險度量的二階逼近. 4.在秩相依的期望效用模型框架下,對無界風(fēng)險變量建立了左單調(diào)風(fēng)險厭惡和右單調(diào)風(fēng)險厭惡的刻畫,糾正了Ryan (2006)關(guān)于有界風(fēng)險變量左單調(diào)風(fēng)險厭惡刻畫證明中的錯誤,并將Chew et al(1987)關(guān)于強風(fēng)險厭惡,Chateauneuf et al.(2005)關(guān)于單調(diào)風(fēng)險厭惡的刻畫從有界風(fēng)險拓展到到無界風(fēng)險變量.這一研究富有挑戰(zhàn)性,有相當(dāng)?shù)碾y度.我們找到了解決問題的有效方法,這就是從微觀層面去研究隨機序,揭示隨機序內(nèi)在的深層次的性質(zhì).從宏觀層面轉(zhuǎn)向從微觀層面研究隨機序也代表了未來隨機序理論研究的一個主流方法. 5.用簡潔有趣的方法證明了Cheung(2010)關(guān)于同單調(diào)相依風(fēng)險的等價刻畫,并取消了底概率空間無原子的假設(shè).
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2012
【分類號】：O211.67;F840

【引證文獻(xiàn)】

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1 呂文華;聚合風(fēng)險風(fēng)險濃度的二階展開[D];中國科學(xué)技術(shù)大學(xué);2013年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前2條

1 劉雪靜;扭曲風(fēng)險度量的聚合風(fēng)險濃度[D];曲阜師范大學(xué);2016年

2 唐越越;風(fēng)險厭惡與模糊厭惡淺析[D];曲阜師范大學(xué);2016年

本文編號：2734368