本文關鍵詞：常微分方程在經(jīng)濟管理中的地位研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

Vol. 13, No. 1 Jan. , 2010

高等數(shù)學研究 STUDIES IN COLLEGE M AT HEMATI CS

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常微分方程在經(jīng)濟管理中的地位研究
田俊改
( 中國民航大學理學院, 天津, 300300)

摘

要

隨著社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展, 高等數(shù)學在經(jīng)濟管理中的應用越來越廣泛 . 常微 分方程作 為高等數(shù)學 的

一個重要組成部分, 本文將對它在經(jīng)濟管理中的 重要應用作初步探索, 主要包括市場 均衡價格 分析、 新產(chǎn)品的銷 售 速度分析、 廣告的效果分析三個方面. 關鍵詞 常微分方程; 經(jīng)濟管理; 市場均衡價格; 銷售速度; 廣 告. 中圖分類號 O13

隨著社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展, 數(shù)學在我們的生活中 可以說無處不在, 尤其是在經(jīng)濟管理中的應用越來越 廣泛. 經(jīng)濟學必須進行定量研究. 而高等數(shù)學是對經(jīng) 濟管理問題進行定量研究的最重要、 最基本的數(shù)學工 具之一. 為了研究經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系及其內在規(guī)律, 常 常需要建立某一經(jīng)濟函數(shù)及其導數(shù)所滿足的關系式, 并由此確定所研究函數(shù)的形式, 從而根據(jù)一些已知條 件來確定該函數(shù)的表達式. 從數(shù)學上講, 就是建立微 分方程并求解微分方程. 用微分方程解決問題時總有 三個主要過程: 第一步是建模, 即根據(jù)實際問題建立起適當?shù)奈?分方程, 給出其定解條件. 這需要對問題有深刻的理 解, 并進行必要的假設, 忽略一些 次要因素, 選取變 量, 從這些變量之間的關系建立起 所滿足的微分方 程, 給出定解條件. 這就是將實際 問題數(shù)學化. 第二 步, 求解所建立的微分方程, 這包括求出它的解析解 或者數(shù)值解, 或者從微分方程分析變量的變化規(guī)律. 第三步是對所得的數(shù)學結果進行翻譯, 用來解釋一些 現(xiàn)象, 或對問題的解決提出建議或方法. 本文將通過具體模型來研究和介紹微分方程在 經(jīng)濟管理中的重要應用. 主要包括 市場均衡價格分 析、 新產(chǎn)品的銷售速度分析、 廣告的效果分析等三個 方面. 1 市場均衡價格分析 設有某種商品, 其價格主要由 市場供求關系決 定, 或者說, 該商品的供給量 Qs 與需求量 Q d 只與該 商品的價格 P 有關. 為簡單起見, 設供給函數(shù)與需求
收稿日期: 2007 - 04 - 04. 基金項目: 中國民航大學校內科研項目( 04 - CAUC - 21S) . 作者簡介: 田俊改( 19732) , 女, 河北保定人, 碩士, 中國 民航大學講師, 研究方向為應用數(shù)學. E _ mail: t sweet @ 163. com

函數(shù)分別為 Qd = A B ( A B> 0) , - p , Qs = - C+ D ( C, D> 0) . P 求得供需相等時的價格為 P e = A+ C . B+ D 稱 1e 為該種商品的均衡價格. 一般地說, 當市場上該商品供過于求( Qs > Qd ) 時, 價格將下跌; 供不應求 ( Qs < Q d ) 時, 價格將上 漲. 因此, 該商品在市場上的價格將隨著時間的變化 而圍繞著均衡價格 P e 上下波動, 價格 P 是時間 t 的 函數(shù) P ( t ) . 根據(jù)上述供求關系變化影響價格變化的 分析, 可以假設 t 時刻價格P ( t) 的變化率 dP 與t 時刻 dt 的超額需求量 Q d - Q s 成正比, 即設 dP = K ( Qd - Qs ) , dt 其中 K 為正常數(shù), 它反映價格的調整速度. 將( 1) 式代入( 2) 式可得 dP = K [ A+ C- ( B+ D P ] = ) dt K ( B+ D ) A C + - P = B+ D ( 2) ( 1)

當供給量與需求量相等時, 即 Q s = Qd , 由( 1) 式

K ( B+ D ( P e - P ) . ) 令 K= K ( B+ D , 則 ) dP = K P e - P ) . ( dt 上式是一階可分離變量的微分方程, 其通解為
t P ( t) = P e + ce- K .

假設初始價格 P ( 0) = P 0 , 代入上式得 c = P 0 - P e. 于是, 上述市場動態(tài)均衡價格模型的解為

50 P ( t) = P e + ( P 0 - P e ) e- Kt . 由 K> 0 知 limP ( t) = P e . ty ]

高等數(shù)學研究

2010 年 1 月

根據(jù)( 5) 式可求出它的一階、 二階導數(shù): Xc( t ) = cK re - Kr t , 1 + ce Xd( t) = cK r ( ce - K rt - 2 1) . ( 1+ ce ) 不難看出, 當 Xc( t ) > 0 時, X( t ) 單調增加, 由 Xd( t) = 0 得出 ce- K rt 0 = 1, 此時 X( t 0 ) = K . 2 當 t < t0 時, Xd( t) > 0 , 即Xc( t) 單調增加, 這表示在銷 售量小于最大需求量的一半時, 銷售速度 Xc( t) 不斷增 大; 當 t > t0 時, Xd( t) < 0 , 即 Xc( t) 單調減小, 這表示 在銷售量達到最大需求量的一半時( t = t0 ) , 產(chǎn)品最暢 銷, 其后( 即 t > t0 ) , 銷售速度 Xc( t) 開始下降. ( 4) 基于對 Logist ic 曲線的 分析, 國外研究 普遍認 為: 從 20% 用戶到 80% 用戶采用某一新產(chǎn)品的這段 時期, 應是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適的時期, 初期應采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳, 后期則應適 時轉產(chǎn), 這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效益. 3 廣告效果的分析 信息社會使廣告成為調整商品銷售的強有力手 段, 廣告與銷售之間有什么內在聯(lián)系? 如何評價不同 時期的廣告效果?這也需要借助數(shù)學模型進行研究. 首先認為廣告對產(chǎn)品的銷售速度又直接的促進 作用, 以銷售速度為研究對象, 設 s( t) 為時刻 t 的產(chǎn) 品銷售速度, 并作以下假設: ( ?) 不考慮廣告作用時, 銷售速度具有自然衰 減的性質, 即產(chǎn)品銷售速度隨著時間而減少, 滿足這 一性質的銷售速度 ds = - K t) , s( dt 其中 K為衰減因子. ( 5) ( ?) 產(chǎn)品的銷售速度會因廣告而增加, 但增加 是有一定限度的, 當產(chǎn)品在市場上趨于飽和時, 銷售 速度將趨于極限值, 這時無論采取哪種形式做廣告 ( 不包括其他的促銷手段) , 都不能使銷售速度增加. 假設 M 為銷售飽和水平, 即市場對產(chǎn)品的最大容 納能力, 它對應著銷售速度的上限. 當銷售速度達到飽 和水平之后, 廣告已不起作用, 銷售速度隨時間增加而 自然衰減, 同樣 K為衰減因子, K> 0 且為常數(shù). ( ?) 產(chǎn)品的銷售速度與廣 告的投入水平有關, 設 A( t) 為時刻 t 單位時間的廣告投入水平( 以費用表
3 2 - Kr t 2 - K rt

這表明, 實際價格 P ( t) 最終趨向于均衡價格 P e . 2 新產(chǎn)品的銷售速度分析 對于開發(fā)的某種新產(chǎn)品, 生產(chǎn)者非常關心它的銷 售速度. 那么, 怎樣建立一個數(shù)學模型來描述它, 并由 此分析出一些有用的結果以指導生產(chǎn)呢? 記時刻 t 時已售出的新產(chǎn)品數(shù)為X ( t) , 假設該產(chǎn) 品使用方便, 這些正在使用的新產(chǎn)品實際上起著宣傳 的作用, 吸引著尚未購買的顧客, 設每一個新產(chǎn)品在 單位時間內平均吸引 K 個顧客, 由此可知, X ( t) 滿足 微分方程: dX = KX , dt X ( 0) = 0. 其解為: X ( t) = X 0e .
Kt

( 3)

若取 t = 0 表示新產(chǎn)品誕生的時刻, 則 X( 0) = 0, 由( 4) 式得 X ( t) = 0, 這一結果與事實不符. 模型( 3) 只考慮了實物廣告的 作用, 而忽略了廠家可以通過其他方式宣傳新產(chǎn)品, 從而打開銷路的可能性. 若通過努力已有 X 0 的產(chǎn)品 投入使用, 這時 X( t) 在開始階段的增長情況 與( 4) 式的結果擬合較好. 在( 4) 式中, X( t ) y ] ( t y ] ) , 這也與事實不符. 事實上, X( t) 應當有一個上界, 設 需求 量 的 上 界 為 K, 則 尚 未 使 用 新 產(chǎn) 品 的 戶 數(shù) 為 K - X ( t ) , 由統(tǒng)計規(guī)律可知, dX 與 X ( K - X) 成 dt 正比, 比例系數(shù)為 r, 則 dX = rX ( K - X ) , dt 它的解為 X( t ) = K . 1 + ce- Kr t

曲線 X ( t) 稱為增長曲線, 或稱為 Logist ic 曲線, 如圖 1 所示.

圖 1 產(chǎn)品銷售的 Logistic 曲線

示) , p 為投入的響應系數(shù), 即投入 A( t) 對銷售速度

第 13 卷第 1 期

田俊改: 常微分方程在經(jīng)濟管理中的 地位研究
s( t ) = s( S) eK( S 1) , t\ S

51 . ( 9)

的影響力, p 為常數(shù). 根據(jù)上述假設, 有: ds = pA ( t ) 1 - s( t) - K t) . s( ( 6) M dt 上式右端的第一項反映出廣告投入對銷售速度 的影 響, 1 - s( t ) 相 當 于 一 個 開 關 函 數(shù), 顯 然 M

綜合( 8) 式( 9) 式, 在( 7) 式的條件下, 產(chǎn)品銷售速度 廣告模型的解可以寫為: c - bt - bt ( 1- e ) + s0 e , 0 < t < S, s( t) = b
( s( S) e K S- 1) , t \ S.

銷售速度隨時間的變化情況如圖 2 所示.

當 A( t) = 0 或 s = M 時, 都有 ds = - K t) . s( dt 式( 6) 右端第二項表明銷售速度自然衰減的特征. 為確定 A( t) 的形式, 假設選擇如下廣告策略: ( 7) 0, t \ S . 即在時間 S內平均投入常數(shù) A 的資金來做廣告, 在此 條件下求解( 6) 式. 在時間段( 0, S) 內, 假設已知用于廣告的總投入 為 a, 那么單位時間投入 A = A S, / 代入( 6) 式, 整理有: ds + ( K+ p a ) s = p a . dt M S S 令 K+ p a = b, pa = c, M S S 則有 ds + bs = c. dt 其通解為: s( t) = C1 e- bt + c , b 其中, C1 為積分常數(shù). 若初始時刻銷售速度 s( 0) = s0 , 那么: s( t ) = c ( 1- e- bt + s0 e- bt ) , 0 < t < S. ( 8) b 當 t \ S時, 根據(jù)( 7) 式, A = 0, 則( 6) 式退化為: ds = - K t) , s( dt 其解為: 簡訊
[ 1] 周義倉, 靳禎, 秦軍林 . 常微分方程及其應用[ M] . 北京: 科 學出版社, 2005, 92- 97. [ 2] 同 濟大學應用數(shù)學系. 高等數(shù)學[ M] . 北京: 高等教育出 版 社, 2003, 第五版, 259- 269. [ 3] 厲 以寧. 西方 經(jīng)濟 學[ M] . 北 京: 高 等教 育 出版 社, 2004, 125 - 129. [ 4] 張 從軍, 李輝, 鮑遠圣, 劉玉 華. 常 見經(jīng)濟 問題的 數(shù)學解 析 [ M] . 南京: 東南大 學出版社 2005, 140 - 143. [ 5] 郎 艷懷. 經(jīng)濟數(shù)學方法與模型教程[ M] . 上海: 上海財經(jīng) 大 學出版社, 2004, 25- 36.

A( t ) =

A, 0 < t < S,

圖2

銷售速度隨時間的變化情況

4

結語

綜上所述, 微分方程在經(jīng)濟管理中有著重要的應 用, 通過建立數(shù)學模型能夠解決很多復雜的實際經(jīng)濟問 題. 本文所述只是微分方程在經(jīng)濟管理中應用的一小部 分, 有待于進一步的探討. 需要指出的是, 使用微分方程 解決問題時, 要根據(jù)實際問題適當?shù)厥褂梦⒎址匠? 隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展, 高等數(shù)學將不僅在經(jīng)濟管 理方面是一個有效的解決問題的工具, 而且在其它領 域, 諸如環(huán)境治理、 人口預測、 傳染病的傳播、 藥物在 人體內的分布等方面也會得到越來越多的應用, 為人 們解決越來越多的實際問題.
參考文獻

2009 年國家精品課程公布

國家教育部、 財政部, 年前聯(lián)合公布了經(jīng)評審批準的 2009 年高等教育精品課程, 其中本科類 400 門, 高職高專類 200 門, 網(wǎng) 絡教育課程 50 門. 本 科/ 數(shù)學類0 精品課程在 公示的 11 門( 見本刊 2009 年第 5 期 第 64 頁) 中 , 除/ 概率 論與數(shù)理統(tǒng)計0 ( 國防科 大) 外, 10 門都獲得通過;/ 統(tǒng)計學類0 公示的 1 門也獲通過. 又, 高職高專的/ 文化教育大類0 中一門/ 經(jīng) 管數(shù)學0 ( 深圳職業(yè)技術 學院, 雷田禮) 獲批準. 網(wǎng)絡教育精品課程 ,/ 數(shù)學類0 中有一門/ 高等數(shù)學0( 北航, 李心燦) . 此前, 網(wǎng)絡教育 課程, 2007 年, 有 一 門/ 高等數(shù)學0( 北郵, 牛少彰) ; 2008 年有:/ 經(jīng)濟數(shù)學基礎0 ( 中央廣播電 視大學, 李 林曙) ,/ 離散 數(shù)學0 ( 中 央廣播 電視大 學, 李 偉生) ,/ 線性代數(shù)0( 北大, 馬榮權) 共 3 門課程獲批準.



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