學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)無限的認(rèn)識(shí)探究

發(fā)布時(shí)間：2020-10-31 20:04

　　數(shù)學(xué)是無限的科學(xué)，數(shù)學(xué)無限是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿�，但無限隱藏在相關(guān)數(shù)學(xué)概念中，中學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)無限一般避而不談。中學(xué)數(shù)學(xué)大綱沒有明確提出學(xué)生對(duì)“無限”的認(rèn)識(shí)目標(biāo)。特別是學(xué)生對(duì)極限概念理解困難，極限概念成為學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的“攔路虎”。鑒于此，筆者分層次考察學(xué)生對(duì)無限的認(rèn)識(shí)，主要從以下兩方面著手：線索一：學(xué)生對(duì)無限諸層次的認(rèn)識(shí)狀況。 (1)初三、高三和大二學(xué)生實(shí)際達(dá)到的無限水平如何?影響學(xué)生諸層次無限認(rèn)識(shí)的本質(zhì)因素是什么? (2)在給出的每一層次的標(biāo)準(zhǔn)尺度的基礎(chǔ)上，學(xué)生表現(xiàn)出怎樣的較穩(wěn)定的認(rèn)知方式?容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤的心理模式? 線索二：學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)無限概念的理解 (1)學(xué)生如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念中的無限?表現(xiàn)出哪些比較穩(wěn)定的認(rèn)知方式? (2)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念中的無限過程中容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤心理模式? 首先，筆者界定了本文研究的無限。學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)中沒有直接給出無限的定義，也不可能直接給出定義。無限包含于具體的數(shù)學(xué)概念中。有的以顯性方式呈現(xiàn)，如自然數(shù)、平行線；有的隱含于數(shù)學(xué)概念中，如函數(shù)單調(diào)性、交換律。有的存在于某一特定對(duì)象的無限過程中，比如函數(shù)極限、從集合出發(fā)的超限數(shù)理論。本文研究的無限是具體數(shù)學(xué)概念中包含的無限。接著，從數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)發(fā)展史、認(rèn)識(shí)論三個(gè)角度出發(fā)，筆者將學(xué)生對(duì)無限的認(rèn)識(shí)劃分為5大層級(jí)，八大層次的金字塔結(jié)構(gòu)。筆者界定了每一層次的涵義，并分析了各個(gè)層次之間的關(guān)系，并根據(jù)文獻(xiàn)資料，精心編制了無限認(rèn)識(shí)量表，在此基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生的無限認(rèn)識(shí)展開了研究。筆者以Spiro(1991)提出的個(gè)體學(xué)習(xí)的認(rèn)知彈性理論，美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家Ed Dubinsky的APOS理論為依據(jù)，運(yùn)用潛、實(shí)無限辯證分析法、無限—有限辯證分析等方法，對(duì)學(xué)生的無限認(rèn)識(shí)進(jìn)行分析。筆者選取了小學(xué)、初中、高中、大學(xué)二年級(jí)共計(jì)500多學(xué)生作為實(shí)證研究的樣本，作了問卷測(cè)試，并分別從每一年級(jí)各選出8名學(xué)生共計(jì)24名學(xué)生作為個(gè)案研究對(duì)象，對(duì)學(xué)生的個(gè)別訪談作了全程錄像或錄音。還對(duì)初三年級(jí)、高中、大二年級(jí)的部分教師作了訪談。獲取了第一手?jǐn)?shù)據(jù)資料后，用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。橫向比較了同一年齡的不同學(xué)生的理解層次。通過個(gè)案訪談，筆者從數(shù)學(xué)無限的理解、數(shù)學(xué)思維、學(xué)生心理方面，分析了學(xué)生的無限認(rèn)識(shí)狀況，縱向比較了不同年齡學(xué)生的無限認(rèn)識(shí)狀況，分析了學(xué)生無限認(rèn)識(shí)的心理傾向，得到了以下結(jié)論： 1．從初三到高三學(xué)生無限認(rèn)識(shí)的總體發(fā)展趨勢(shì) 高中階段是學(xué)生無限水平蓬勃發(fā)展的階段，具體表現(xiàn)為從初三到高三，學(xué)生的無限直覺水平、無限思辯能力顯著提高，但到大二，這兩方面并無顯著差異。高三學(xué)生的無限直覺水平、無限思辯能力具有一定的穩(wěn)定性。 2．學(xué)生對(duì)無限本質(zhì)的認(rèn)識(shí) (1)“無窮大”的抽象化認(rèn)識(shí)是具備初步直覺認(rèn)識(shí)的重要標(biāo)志； (2)“整體認(rèn)知”是影響高級(jí)直覺認(rèn)知的重要因素； (3)“動(dòng)態(tài)分析”是演繹層次的重要標(biāo)志； (4)理解極限的ε-δ定義中的“有分界”的無限是關(guān)鍵。 3．學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)無限概念的認(rèn)識(shí) (1)大二學(xué)生對(duì)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分中的“無限逼近”思想認(rèn)識(shí)不足 (2)影響學(xué)生理解ε-δ定義的原因分析 4．學(xué)生無限認(rèn)識(shí)的心理傾向 (1)生活經(jīng)驗(yàn)在一定程度上阻礙學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)無窮大的認(rèn)識(shí) (2)高三學(xué)生的無限思辯的心理傾向性特點(diǎn) (3)大二學(xué)生對(duì)“一一對(duì)應(yīng)”和超限數(shù)的認(rèn)識(shí)傾向在以上結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了建設(shè)性意見和建議： 1．在教學(xué)中注重學(xué)生無限觀的培養(yǎng) (1)在教學(xué)中抓住無限認(rèn)識(shí)的開端 (2)啟發(fā)學(xué)生整體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念 (3)教學(xué)中有意識(shí)采取有利于學(xué)生無限思辯的教學(xué)方法 (4)注重對(duì)極限概念的動(dòng)態(tài)分析 (5)教學(xué)中注重對(duì)ε-δ定義中的“有分界”的無限的詮釋 (6)關(guān)于超限數(shù)理論的教學(xué) 2注重提高中學(xué)教師的數(shù)學(xué)無限素養(yǎng) 3對(duì)教材體系安排的一點(diǎn)建議 4建議在數(shù)學(xué)課標(biāo)中體現(xiàn)無限觀培養(yǎng)的具體要求 (1)明確提出無限觀培養(yǎng)目標(biāo) (2)建議在中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中增加無限觀培養(yǎng)的一個(gè)實(shí)例 5對(duì)教學(xué)評(píng)價(jià)的建議
【學(xué)位單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2007
【中圖分類】：G633.6
【部分圖文】：

圖像,語言,時(shí)段,組圖

幼帕83陽4雌4，曰33曰怪22福福_贏__、藏二癡贏贏贏……片……妙砂坷二二圖5一12T:說出圖像在哪些時(shí)段內(nèi)是升高的，怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫“隨時(shí)間的推移圖像逐步升高”這一特征?(2)授課過程投影展示問題1:觀察下列函數(shù)的圖像(三組)指出各組圖像有什么共同的特征?第一組:y，fl(x)川了一.~代圖1第二組:

學(xué)生,高三學(xué)生,辯證法,思維習(xí)慣

口潛、實(shí)無限辯證法圖6一8從圖6一8看出，學(xué)生較多運(yùn)用潛無限法，而實(shí)無限法和潛、實(shí)無限辯證法運(yùn)用較少。潛無限法符合學(xué)生的思維習(xí)慣，自然是學(xué)生使用更多的方法。事實(shí)上，筆者對(duì)樣本分析得出兩種思辯方式的平均得分比較如下:表6一2高三學(xué)生潛無限標(biāo)準(zhǔn)和實(shí)無限標(biāo)準(zhǔn)平均得分比較潛潛潛無限標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)實(shí)無限標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)答答對(duì)人數(shù)數(shù) 1933319333缺缺失值值 000000平平均值值 21.144417.3666由表6一2看出，高三學(xué)生在潛無限標(biāo)準(zhǔn)下的平均得分高于實(shí)無限標(biāo)準(zhǔn)下平均得分。這個(gè)差異是否顯著?筆者進(jìn)一步討論如下:

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)無限的認(rèn)識(shí)探究