本文關(guān)鍵詞：射影幾何，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

射影幾何學(xué)

射影幾何學(xué) - 內(nèi)容

在射影幾何學(xué)中，把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”。通常的直線再加上一個(gè)無窮點(diǎn)就是無窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過同一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（圖）在愛爾朗根大學(xué)提出著名的《愛爾朗根計(jì)劃書》中提出用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類

在引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線后，原來普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。

由于經(jīng)過同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。

射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對(duì)應(yīng)。

在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對(duì)偶元素，把“過一點(diǎn)作一直線”和“在一直線上取一點(diǎn)”叫做對(duì)偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。這兩個(gè)圖形叫做對(duì)偶圖形。在一個(gè)命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算的時(shí)候，結(jié)果就得到另一個(gè)命題。這兩個(gè)命題叫做對(duì)偶命題。

這就是射影幾何學(xué)所特有的對(duì)偶原則。在射影平面上，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，這叫做平面對(duì)偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，叫做空間對(duì)偶原則。研究在射影變換下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影幾何學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。如果就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來說，射影幾何學(xué)；仿射幾何學(xué)；歐氏幾何學(xué)，這就是說歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對(duì)象(如簡(jiǎn)比、平行性等)和射影幾何學(xué)的對(duì)象(如四點(diǎn)的交比等)，反過來，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。

1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在愛爾朗根大學(xué)提出著名的《愛爾朗根計(jì)劃書》中提出用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。

射影幾何學(xué) - 理論

相關(guān)書籍

擴(kuò)大空間和射影空間，在一個(gè)歐氏（或仿射）平面上，兩條直線一般相交于一點(diǎn)，但有例外，平行線不相交。這種例外，使某些定理顯得復(fù)雜。為了排除這種例外，在每條直線上添上一個(gè)理想點(diǎn)，叫做無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并假定平行直線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。添上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線叫做擴(kuò)大直線，它是閉的，象圓周那樣，去掉它上面一點(diǎn)，不會(huì)使它分成兩截。再假定不平行的直線有不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這樣，平面上一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合就叫做無窮遠(yuǎn)（直）線，而添上無窮遠(yuǎn)線之后的平面就叫做擴(kuò)大平面。擴(kuò)大平面也是閉的，去掉它上面一條直線，不會(huì)使它分成兩塊。

同樣，（或仿射）空間中一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合叫做無窮遠(yuǎn)（平）面。添上無窮遠(yuǎn)面后的空間叫做擴(kuò)d大空間，它也是閉的。在擴(kuò)大空間，不但平行直線交于一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而且平行平面交于一條無窮遠(yuǎn)直線，一條非無窮遠(yuǎn)直線和一個(gè)與它平行的平面交于一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 如果再進(jìn)一步，把無窮遠(yuǎn)元素（點(diǎn)、線、面）和非無窮遠(yuǎn)元素平等看待，不加區(qū)別，擴(kuò)大空間就叫做射影空間。同樣，從擴(kuò)大直線和擴(kuò)大平面可以得到射影直線和射影平面。在射影空間里，平行的概念消失了：兩條共面直線或一個(gè)平面和一條直線總相交于一點(diǎn)，兩個(gè)平面總相交于一條直線；此外，每?jī)牲c(diǎn)總決定一條直線，每三個(gè)不共線點(diǎn)總決定一個(gè)平面，等等。

射影幾何學(xué) - 齊次坐標(biāo)

為了能用代數(shù)方法來處理射影(或擴(kuò)大)空間的幾何問題，需要引進(jìn)齊次坐標(biāo)（有時(shí)還引進(jìn)射影坐標(biāo)）。 仍從歐氏（或仿射）平面開始。設(shè)在平面上已經(jīng)建立了以O(shè)為原點(diǎn)的直角（或仿射）坐標(biāo)系，(x，y)為一點(diǎn)p 的坐標(biāo)。令則比值x0:x1:x2完全確定p 的位置，(x0，x1，x2)就叫做p的齊次（笛氏）坐標(biāo)。原點(diǎn)的齊次坐標(biāo)顯然可以寫成(1，0，0)。設(shè)p不是原點(diǎn)O，則x1，x2不同時(shí)等于零；再令x1，x2固定，而令x0向0接近，則p點(diǎn)沿一條經(jīng)過O而斜率為x2:x1的直線l向遠(yuǎn)方移動(dòng)。設(shè)表示擴(kuò)大直線l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則可以認(rèn)為，當(dāng)x0趨于O 時(shí)，p趨于。因此，可以把(0，x1，x2)作為的齊次坐標(biāo)，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x軸和y 軸上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。這樣，每一組不同時(shí)為零的三個(gè)數(shù)x0，x1，x2 都是擴(kuò)大平面上一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，而若ρ 為不等于零的數(shù)，則(ρx0，ρx1，ρx2)和(x0，x1，x2)代表同一點(diǎn)，下面引進(jìn)記號(hào)(x)=(x0，x1，x2)，ρ(x)=(ρx0，ρx1，ρx2)。

設(shè) (u1，u2不都是0)是歐氏（或仿射）平面上一條直線的方程。在用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，它可以寫成

， (1)

這也就是擴(kuò)大直線的齊次方程，這直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是(0，u2，-u1)。擴(kuò)大平面上的無窮遠(yuǎn)直線方程顯然可以寫成x0=0。這樣，每一個(gè)齊次線性方程都代表擴(kuò)大平面上一條直線。由于比值u0:u1:u2完全確定直線，(u)=(u0，u1，u2)就叫做（齊次）線坐標(biāo)。為了區(qū)別兩種齊次坐標(biāo)，上面引進(jìn)的(x)＝(x0，x1，x2)就叫做（齊次）點(diǎn)坐標(biāo)。方程(1)叫做點(diǎn)(x)和線(u)的關(guān)聯(lián)條件或接合（即(x)在(u)上，或(u)經(jīng)過(x)）條件。 當(dāng)不區(qū)別無窮遠(yuǎn)元素和非無窮遠(yuǎn)元素，使擴(kuò)大平面成為射影平面時(shí)，(x)和(u)就依次成為射影平面上的齊次點(diǎn)坐標(biāo)和線坐標(biāo)，它們都可以看作射影坐標(biāo)的特款。與此類似，可以得到擴(kuò)大或射影直線上的點(diǎn)坐標(biāo)(x)=(x0，x1)以及擴(kuò)大或射影空間的點(diǎn)坐標(biāo)(x)=(x0，x1，x2，x3)和面坐標(biāo)(u)＝(u0，u1，u2，u3)。在擴(kuò)大或射影空間中，點(diǎn)(x)和面(u)的關(guān)聯(lián)條件是 下面，除非特別指明，所討論的空間，就是三維射影空間，所討論的點(diǎn)、線、面都是射影空間里的點(diǎn)，射影直線和射影平面。在射影空間，指定一個(gè)平面x0=0作為無窮遠(yuǎn)面，就得到擴(kuò)大空間（見射影坐標(biāo)）。

射影幾何學(xué) - 對(duì)偶原理

關(guān)聯(lián)關(guān)系是射影平面和射影空間的基本關(guān)系。在關(guān)聯(lián)條件(1)中，(x)和(u)有完全的對(duì)稱性，這就使得直線和點(diǎn)可以在邏輯上取得平等的地位。它們叫做平面上的對(duì)偶元素。 設(shè)方程(1)里的uj是固定的，它就代表一條直線；令滿足(1)的xj變動(dòng)，就可以得到在該線上的一切點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合叫做以(u)為底的點(diǎn)列，而(1)也就是點(diǎn)列的方程。根據(jù)線性方程理論，可以看出，點(diǎn)列中每三點(diǎn)線性相關(guān)。即：若(y)，(z)是點(diǎn)列中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則它的每一點(diǎn)(x)都可以寫成(y)和(z)的線性組合(x)=λ(y)+μ(z，)，其中λ，μ是。在一定意義上，λ，μ也可以作為點(diǎn)列中的射影坐標(biāo)。另一方面，若令(1)中的xj固定，而令uj變動(dòng)，就得到一切經(jīng)過點(diǎn)(x)的直線(u)，它們的集合叫做以(x)為中心的線束，而(1)就是線束的方程，同時(shí)也是點(diǎn)(x)的方程。若(υ)，(ω)是線束中任意兩條直線，則線束的每一條直線(u)都可以寫成

。

由于點(diǎn)列和線束中的元素都只依賴于兩個(gè)齊次參數(shù)的比值，即依賴于一個(gè)獨(dú)立參數(shù)，它們就都叫做一維基本形。 已給平面上一個(gè)以點(diǎn)和直線構(gòu)成的圖形，把其中的點(diǎn)和直線對(duì)換，就得到另一個(gè)圖形，叫做所給圖形的對(duì)偶。例如，點(diǎn)列（和一條直線關(guān)聯(lián)的點(diǎn)的集合）和線束（和一點(diǎn)關(guān)聯(lián)的直線的集合）是對(duì)偶形。三角形是自對(duì)偶形。

圖1

對(duì)于平面上一個(gè)只涉及點(diǎn)與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系的定理，如果把其中的點(diǎn)和直線及其關(guān)聯(lián)關(guān)系對(duì)換，就得到一個(gè)新定理，叫做原定理的對(duì)偶�！叭绻ɡ沓闪ⅲ瑒t它的對(duì)偶定理也成立�！狈Q它為對(duì)偶定理。這是因?yàn)�，從代�?shù)觀點(diǎn)看，這兩個(gè)定理的證明步驟是完全相同的。射影幾何中，一個(gè)最早而又重要的定理是德扎格定理（圖1）：兩個(gè)三角形ABC和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的聯(lián)線經(jīng)過同一點(diǎn)的充要條件是它們的對(duì)應(yīng)邊BC和；CA和；AB和的交點(diǎn)共線。這是個(gè)自對(duì)偶定理。如果不是在射影（或擴(kuò)大）平面上而是在歐氏（或仿射）平面上，證明這個(gè)定理就需要區(qū)別并分別處理其中有某些直線平行的各種特款。

三維空間也有對(duì)偶定理。在空間，點(diǎn)和面是對(duì)偶元素，直線是自對(duì)偶元素。線束是自對(duì)偶形。空間還有一個(gè)一維基本形是面束，這是經(jīng)過同一條直線的平面的集合。面束是點(diǎn)列的對(duì)偶。在同一個(gè)平面上的點(diǎn)的集合叫做點(diǎn)場(chǎng)，經(jīng)過同一點(diǎn)的平面的集合叫做面把；點(diǎn)場(chǎng)和面把互為對(duì)偶。在同一個(gè)平面上的直線的集合叫做線場(chǎng)，經(jīng)過同一點(diǎn)的直線的集合叫做線把；線場(chǎng)和線把互為對(duì)偶。點(diǎn)場(chǎng)，線場(chǎng)，面把，線把都是二維基本形。空間的點(diǎn)的集合和空間的平面的集合依次叫做點(diǎn)空間和面空間，它們是互為對(duì)偶的三維基本形。在空間，三角形的對(duì)偶是三棱形。三棱形由經(jīng)過同一點(diǎn)的三條不共面的直線所構(gòu)成，這三條直線兩兩確定三個(gè)不共線的平面。對(duì)于不共面的兩個(gè)三角形，德扎格定理仍然成立，但在空間，它不是自對(duì)偶定理。

通過代數(shù)來說明對(duì)偶原理是簡(jiǎn)捷了當(dāng)?shù)模皇潜仨毜摹?空間的直線構(gòu)成一個(gè)四維集合（見直線幾何）。

射影對(duì)應(yīng)與射影變換 ； 在一維基本形之間，可以通過投影和截影互相轉(zhuǎn)化。 用{p}表示直線l上的點(diǎn)列，其中p表示點(diǎn)列中的任意點(diǎn)。設(shè)S為不在l上的一點(diǎn)，作直線p=SP，則當(dāng)p在l上變動(dòng)時(shí)，就得到以S為中心的線束{p}，叫做點(diǎn)列{p}的投影，而{p}就叫做線束{p}的截影，p和 p叫做對(duì)應(yīng)元素（圖2）。

圖片3

圖片2

再設(shè)S1為空間不在{p}的平面上的點(diǎn)，作經(jīng)過S1和p的平面π，就得到以SS1為軸的面束{π}，它是{p}的投影，{p}是{π}的截影，p和π 是對(duì)應(yīng)元素（圖3）。若經(jīng)過一系列的投影和截影，從一個(gè)一維基本形到另一個(gè)，這兩個(gè)基本形就叫做射影相關(guān)，它們?cè)亻g的對(duì)應(yīng)關(guān)系就叫做射影對(duì)應(yīng)。一個(gè)射影對(duì)應(yīng)所包含的兩個(gè)變換叫做射影變換，它們互為逆變換。

在空間，通過投影和截影，點(diǎn)場(chǎng)和線把之間，線場(chǎng)和面把之間都可以互相轉(zhuǎn)化，因而點(diǎn)場(chǎng)之間，線把之間，線場(chǎng)之間，面把之間也可以互相轉(zhuǎn)化。至于二維基本形之間的其他轉(zhuǎn)化，例如點(diǎn)場(chǎng)和線場(chǎng)之間的轉(zhuǎn)化，則可以通過下面將要敘述的代數(shù)方法來確定。同樣，三維基本形之間的轉(zhuǎn)化也要通過代數(shù)方法�？傊�，兩個(gè)二維基本形之間或兩個(gè)三維基本形之間，也都可以有射影對(duì)應(yīng)和射影變換。

)為兩個(gè)點(diǎn)場(chǎng)的齊次坐標(biāo)，則射影變換(x)→()可以用三個(gè)變數(shù)的齊次線性變換

　 (2)

表示，式中det表示行列式；ρ是非零比例常數(shù)。解這個(gè)方程組，就得到逆變換()→(x)的方程。

射影變換的一個(gè)基本性質(zhì)是保持關(guān)聯(lián)關(guān)系，這等于說，它把線性相關(guān)的元素變成線性相關(guān)的元素。例如，點(diǎn)場(chǎng)之間的變換(2)就把點(diǎn)列變成點(diǎn)列，即直線變成直線，因而，它還把線束變成線束。由此又可以看出，只涉及關(guān)聯(lián)關(guān)系的每個(gè)定理（如德扎格定理）一定代表一種射影性質(zhì)，即經(jīng)過射影變換不變的性質(zhì)。換句話說，這種定理是一個(gè)射影定理。

關(guān)于射影對(duì)應(yīng)，有一個(gè)基本定理。如果把一、二、三維的情況概括在一起，那就是：若在兩個(gè)n維 (n=1，2，3)基本形中，分別指定一組n+2個(gè)元素，式中各組里的每n+1個(gè)元素線性無關(guān)，則兩個(gè)基本形間，有惟一的射影對(duì)應(yīng)，使兩組元素按給定次序相對(duì)應(yīng)。事實(shí)上，對(duì)于任意維射影對(duì)應(yīng)，這個(gè)定理都成立。所謂“線性無關(guān)”，可以舉例來說明：兩個(gè)線性無關(guān)的點(diǎn)不重合，三個(gè)線性無關(guān)的點(diǎn)不共線，四個(gè)線性無關(guān)的點(diǎn)不共面。 射影變換也可以作用于擴(kuò)大空間，但經(jīng)過射影變換，無窮遠(yuǎn)元素可以變?yōu)榉菬o窮遠(yuǎn)，非無窮遠(yuǎn)元素可以變?yōu)闊o窮遠(yuǎn)（例如平行平面可以變得不平行，不平行平面可以變得平行），因此，在未經(jīng)擴(kuò)大的歐氏或仿射空間里，射影變換不完全是一對(duì)一的。交比 ； 交比是一項(xiàng)基本的射影不變量。

根據(jù)關(guān)于射影對(duì)應(yīng)的基本定理，一維基本形（例如，點(diǎn)列）間的一個(gè)射影對(duì)應(yīng)是由三對(duì)對(duì)應(yīng)元素惟一地確定的。由此可以推知，若在一個(gè)射影對(duì)應(yīng)中，一個(gè)一維基本形中的四個(gè)元素E1，E2，E3，E4依次對(duì)應(yīng)于另一個(gè)一維基本形中的 則四元素組E1，E2，E3，E4和必有某種共性。交比就是這樣的共性。

設(shè)在一個(gè)一維基本形中，元素Ej(i=1，2，3，4)的齊次坐標(biāo)是，而用(Ej，Ej)表示行列式

則交比 (3)

交比經(jīng)過射影變換（例如投影或截影）不變。
若在一個(gè)一維基本形中，隨意選取三個(gè)不同的固定元素E1，E2，E3，而對(duì)于任意元素p，設(shè)

則p 的位置和x 的一切值（包括∞）一一對(duì)應(yīng)。特殊地，當(dāng)p=E1時(shí)，x=∞；p=E2時(shí)，x=0；p=E3時(shí)，x=1。因此， x可以作為基本形中的非齊次坐標(biāo)。若再令 x=x1/x0，則(x0，x1)是基本形中的齊次坐標(biāo)，稱為射影坐標(biāo)。特殊地， E1，E2，E3的坐標(biāo)依次是(0，1)，(1，0)和(1，1)。這三個(gè)元素叫做射影坐標(biāo)系的基元素。

在歐氏空間，若p1，p2，p3，p4是四個(gè)共線點(diǎn)，而用pjpj表示由pj到pj的有向線段長(zhǎng)，則

　

在歐氏平面，若p1，p2，p3，p4是經(jīng)過同一點(diǎn)的四條直線，而用(pjpj)表示由pj到pj的有向角，則

四個(gè)元素有24種排列法，但對(duì)于一般位置的四個(gè)元素只有 6個(gè)不同的交比值，對(duì)于某種特殊位置的四個(gè)元素，則六個(gè)交比值中至少有兩個(gè)相等。例如，當(dāng)交比(E1，E2，E3，E4)=-1時(shí)，這四個(gè)元素稱為構(gòu)成調(diào)和組。這時(shí)E1和E2，E3和E4都可以對(duì)調(diào)，元素偶E1，E2和E3，E4也可以對(duì)調(diào)，而交比不變；而且元素的其他次序所對(duì)應(yīng)的交比值都是2或1/2。這表明，對(duì)于構(gòu)成調(diào)和組的四個(gè)元素，變動(dòng)其排列次序，只有3個(gè)不同的交比值，即－1， 2， 1/2。當(dāng)然，在射影相關(guān)的基本形中，調(diào)和組對(duì)應(yīng)于調(diào)和組。

圖4

在調(diào)和組E1，E2，E3，E4里，E4也叫做E3對(duì)于E1，E2的共軛；已給E1，E2和E3，可以用直尺作圖求E4。圖4表示，已給點(diǎn)列中任意三點(diǎn)p1，p2和p3，求p3對(duì)于p1，p2的調(diào)和共軛p4的作圖法。注意K，L可以是經(jīng)過p3的任意直線上的任意兩點(diǎn)。還可以看出， 當(dāng)p3趨于p2（或p1）時(shí)，p4也趨于p2（或p1）。因此，中可以有三點(diǎn)重合。

直射變換與對(duì)射變換，射影群 ；　考慮一個(gè)平面上的二維射影變換。平面既是點(diǎn)場(chǎng)的底，又是線場(chǎng)的底，因此，它上面的一個(gè)射影變換可以把點(diǎn)變成點(diǎn)（或線變成線），也可以把點(diǎn)變成線（或線變成點(diǎn)），前一種叫做直射變換，后一種叫做對(duì)射變換。

直射變換的逆變換和它們的積（即兩個(gè)直射變換接連作用所形成的變換）都是直射變換。因此，平面上一切直射變換構(gòu)成群，叫做平面直射群。直射變換的特征是，它把共線的點(diǎn)變成共線的點(diǎn)，因而可以說，也把直線變成直線。一個(gè)直射變換可以用關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的線性變換(2)代表。如果它把直線(u)變成()，則通過關(guān)聯(lián)條件可得

(4)

式中Cij是сij在方陣(сij)中的余因子，σ是比例常數(shù)�？梢哉J(rèn)為，(2)和(4)代表著同一個(gè)直射變換，它們的區(qū)別只是在于：一個(gè)用了點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)用了線坐標(biāo)。

與此類似，對(duì)射變換把共點(diǎn)的直線變成共線的點(diǎn)，把共線的點(diǎn)變成共點(diǎn)的直線，即把線變成點(diǎn)，把點(diǎn)變成線。兩個(gè)對(duì)射變換之積是一個(gè)直射變換。對(duì)射變換不構(gòu)成群，但是平面上一切直射變換和對(duì)射變換在一起構(gòu)成群，叫做射影群。直射群是射影群的子群。但有時(shí)射影群這個(gè)名詞也用來指直射群。 由于平面對(duì)射變換把點(diǎn)變成線，把線變成點(diǎn)，而又保持關(guān)聯(lián)關(guān)系，它就體現(xiàn)了平面上的對(duì)偶原理。同樣，空間也有直射變換和對(duì)射變換，前者把點(diǎn)變成點(diǎn)，面變成面，后者把點(diǎn)變成面，面變成點(diǎn)；它們都把直線變成直線。空間一切直射變換構(gòu)成直射群，一切直射變換和對(duì)射變換構(gòu)成射影群�？臻g對(duì)射變換體現(xiàn)空間對(duì)偶原理。

直線上的一切點(diǎn)變點(diǎn)的射影變換構(gòu)成直線上的射影群。 其他基本形里都有各自的射影群。
二次曲線與二次曲面 ；　擴(kuò)大平面上的二次曲線

的齊次方程是 (5)

式中αij=αjj表明(αij)是對(duì)稱方陣。

在射影平面上，方程(5)所確定的點(diǎn)的軌跡就叫做一條二次曲線。與此相對(duì)偶，含線坐標(biāo)的齊二次方程

(6)

代表一個(gè)直線的集合，也叫做二次曲線。為了區(qū)別(5)和(6)，它們所代表的點(diǎn)集和線集依次就叫做點(diǎn)（素）二次曲線和線（素）二次曲線。

用Г表示點(diǎn)二次曲線（5），并假定它是滿秩的， 即det(αij)≠0。在它上面的一點(diǎn)(y)，Г的切線方程是

這些切線構(gòu)成線二次曲線，式中Aij是αij在方陣(αij)里的余因子。按照對(duì)偶原理，點(diǎn)曲線的切線的對(duì)偶是線曲線的切點(diǎn)（兩條“相鄰”直線交點(diǎn)的極限位置），因而滿秩線二次曲線的切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)二次曲線。

設(shè)p為不在滿秩點(diǎn)二次曲線Γ上的任意點(diǎn)，經(jīng)過p作直線l交Г于p1， p2兩點(diǎn)（圖5

圖5

）。設(shè)在l上，p點(diǎn)對(duì)于p1，p2的調(diào)和共軛是，即(p1，p2；p，)=-1。這樣的兩點(diǎn)p，叫做對(duì)于Г的共軛點(diǎn)。當(dāng)p固定而令l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，p的共軛總是在一條直線p上，叫做p點(diǎn)對(duì)于Г的極線，而p就叫做直線p對(duì)于Г的極點(diǎn)。特殊地，若p為Г上的點(diǎn)，它的極線p就是Г在p的切線。顯然，若p的極線經(jīng)過，則的極線經(jīng)過p。若p和p的齊次坐標(biāo)依次為(x)和(u)，則 (7)

這是一種特殊的對(duì)射對(duì)應(yīng)，其特殊性在于(αij)是對(duì)稱方陣，它叫做對(duì)于Γ的配極對(duì)應(yīng)。配極變換的平方，即它和自己的乘積是幺變換（或叫恒等變換）。配極對(duì)應(yīng)也可以體現(xiàn)對(duì)偶原理。

二次曲線可以通過射影產(chǎn)生法產(chǎn)生。若在平面上有兩個(gè)射影相關(guān)的線束（即線束間建立了一宗射影對(duì)應(yīng)），它們有不同的中心，而且它們的公共直線不對(duì)應(yīng)于自己，則兩線束中對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)的軌跡是一條滿秩點(diǎn)二次曲線。用對(duì)偶方法可以產(chǎn)生線二次曲線。

圖6

射影幾何中，關(guān)于二次曲線一個(gè)最早的著名定理是帕斯卡定理（圖6）滿秩二次曲線的一個(gè)內(nèi)接六邊形ABCDEF的三對(duì)對(duì)邊AB和DE，BC和EF，CD和FA交于一條直線上。倒轉(zhuǎn)來，若一個(gè)六邊形的三對(duì)對(duì)邊交點(diǎn)在一條直線上，則六邊形頂點(diǎn)在一個(gè)二次曲線上，但這個(gè)二次曲線可能退化成直線偶。帕斯卡定理在平面上的對(duì)偶叫做布里昂雄定理。

帕斯卡定理的一個(gè)特款是帕普斯定理：若A，B，C 和A┡，B┡，C┡分別是兩條直線上的三點(diǎn)，它們都不重合，則BC┡和B┡C，CA┡和C┡A，AB┡和A┡B交于共線的三點(diǎn)。 在三維射影空間，設(shè)(x)，(u)依次為齊次點(diǎn)坐標(biāo)和面坐標(biāo)，則含xj的一個(gè)齊二次方程代表一個(gè)點(diǎn)（素）二次曲面，而含uj的一個(gè)齊二次方程代表一個(gè)面（素）二次曲面。滿秩點(diǎn)二次曲面的切面構(gòu)成一個(gè)滿秩面二次曲面，而滿秩面二次曲面的切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)滿秩點(diǎn)二次曲面。

關(guān)于滿秩二次曲面也有配極對(duì)應(yīng)，它使極點(diǎn)和極面互相對(duì)應(yīng)，是空間的特殊對(duì)射對(duì)應(yīng)。 直紋二次曲面也可以通過射影產(chǎn)生法產(chǎn)生。若兩個(gè)射影相關(guān)的面束的軸是相錯(cuò)（即不共面）直線，則它們對(duì)應(yīng)平面的交線構(gòu)成一個(gè)直紋二次曲面的一族母線。 射影幾何的子幾何 ；　射影群中有許多重要子群，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)這樣的子群有一種幾何，叫做射影幾何的子幾何。 為了簡(jiǎn)單明確起見，下面所說的射影群就是直射群，所說的射影變換是指直射變換，而且主要分析平面上的情況。 在擴(kuò)大仿射平面上，令無窮遠(yuǎn)線x0=0不變的射影變換是仿射變換，用非齊次坐標(biāo)表示，仿射變換的方程可以寫成

(8)

一切仿射變換所構(gòu)成的仿射群，是射影群的一個(gè)子群。仿射變換保持平行性。 在擴(kuò)大仿射平面的無窮遠(yuǎn)線x0=0上，取兩個(gè)共軛虛點(diǎn)I1(0，1，i)，I2(0，1，-i)，式中i2=-1。令點(diǎn)偶I1，I2（即，x0＝0）不變的仿射變換叫做相似變換；它們的方程可以寫成 (8)的形狀，但其中(сij)是正交方陣乘以一個(gè)常數(shù):一切相似變換構(gòu)成相似群（也叫歐氏群或度量群），它是仿射群的子群，也是射影群的子群。有了I1，I2兩點(diǎn)后，就可以通過射影方法在平面上引進(jìn)距離和角的概念（見絕對(duì)形），相似變換把每個(gè)圖形變成一個(gè)和它相似的圖形，即一切長(zhǎng)度按比例變化而角不變。這時(shí)擴(kuò)大平面就可以叫做擴(kuò)大歐氏平面，它上面的一切圓都經(jīng)過I1，I2。這兩點(diǎn)就叫做無窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)。

在相似變換中，系數(shù)сij構(gòu)成正交方陣 (即λ＝±1)的，叫做全等變換（或運(yùn)動(dòng)）；式中det(сij)＝1的叫做正常運(yùn)動(dòng)，det(сij)=-1的叫做反常運(yùn)動(dòng)。后者是一個(gè)正常運(yùn)動(dòng)和一個(gè)對(duì)直線反射之積。全等變換把每個(gè)圖形變成一個(gè)和原圖全等的圖形。全等變換群（或運(yùn)動(dòng)群）是射影群、仿射群和相似群的子群。

已給一個(gè)空間S 以及作用于它上面的變換所構(gòu)成的一個(gè)群G，就可以判斷，在S里，哪些圖形性質(zhì)經(jīng)過G中的變換不變，研究這些性質(zhì)的幾何就叫做屬于G的幾何。若G1是G的子群，屬于G1的幾何就叫做屬于G的幾何的子幾何。射影幾何和仿射幾何依次屬于射影群和仿射群，而歐氏幾何則可以認(rèn)為屬于相似群，但又部分地屬于全等群；因?yàn)樗妊芯肯嗨茍D形，又研究全等圖形。歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，它和仿射幾何又都是射影幾何的子幾何；由于它研究圖形的度量性質(zhì)(長(zhǎng)度、角度、面積、……)，它也叫做度量幾何。

群越大，不變性質(zhì)越少而越帶普遍性；群越小，不變性質(zhì)越多而越豐富具體。這樣，就可以通過不同的群之間的關(guān)系來理解不同的幾何之間的關(guān)系。

空間S的圖形還可以通過變換群G分類：把一切可以經(jīng)過G的變換互相轉(zhuǎn)化的圖形歸入同一個(gè)等價(jià)類。例如，一切滿秩實(shí)跡（即有實(shí)點(diǎn)的）二次曲線都互相射影等價(jià)，即屬于同一個(gè)射影類，它們卻分為三個(gè)仿射類：和無窮遠(yuǎn)線不相交（于實(shí)點(diǎn)）的是橢圓，相切的是拋物線，相交于兩（個(gè)實(shí)）點(diǎn)的是雙曲線。每一個(gè)仿射類里的二次曲線又可以分為無數(shù)度量類；例如同是橢圓，兩個(gè)半軸長(zhǎng)比值不同的就不相似，半軸長(zhǎng)不分別相等的就不全等。

兩種非歐幾何，即橢圓幾何和雙曲幾何都是射影幾何的子幾何。在射影平面上，把虛跡二次曲線變?yōu)樽约旱囊磺猩溆白儞Q構(gòu)成射影群的一個(gè)子群，叫做橢圓（運(yùn)動(dòng)）群；屬于它的幾何就是橢圓幾何，附有那個(gè)不變二次曲線的射影平面叫做橢圓平面。另一方面，把實(shí)跡二次曲線變?yōu)樽约�，并把它的�?nèi)部（即的點(diǎn)的集合）變?yōu)閮?nèi)部的射影變換也構(gòu)成射影群的一個(gè)子群，叫做雙曲（運(yùn)動(dòng)）群；屬于它的幾何就是雙曲幾何；那個(gè)二次曲線內(nèi)部就是雙曲平面。非歐平面上的長(zhǎng)度和角度概念也可以通過射影方法來引進(jìn)。

射影幾何另外一個(gè)重要子幾何是閔科夫斯基幾何。把點(diǎn)偶(0，1，1)和(0，1，-1)（即）變?yōu)樽约旱囊磺猩溆白儞Q構(gòu)成洛倫茲群，屬于它的幾何就是閔科夫斯基幾何。閔科夫斯基幾何為狹義相對(duì)論提供了天然的幾何說明；四維閔科夫斯基幾何就是四維時(shí)空(見閔科夫斯基空間)。 上面所論的射影群的每個(gè)子群都有一個(gè)不變的圖形（其中有些是虛跡圖形），如對(duì)于仿射群的x0=0，對(duì)于相似群的，對(duì)于橢圓群的等。這種不變圖形就叫做相應(yīng)子幾何的絕對(duì)形。

以上理論都可以推廣到三維以至任意維空間。在三維空間，歐氏幾何的絕對(duì)形是，它叫做無窮遠(yuǎn)虛圓；因?yàn)閿U(kuò)大歐氏平面的一切球面都經(jīng)過它。空間橢圓幾何，雙曲幾何和閔科夫斯基幾何的絕對(duì)形依次是。

射影幾何學(xué) - 公理系統(tǒng)

射影幾何建立在歐氏空間的基礎(chǔ)上，這不是必要的。它可以建立在不涉及度量概念的公理系統(tǒng)上。 以三維射影幾何為例，在那里，基本元素是點(diǎn)，直線和平面。射影幾何公理的表達(dá)形式是多種多樣的，一般可以分為三組。第一組叫做關(guān)聯(lián)公理：例如，兩點(diǎn)確定一條經(jīng)過它們的直線，三個(gè)不共線點(diǎn)確定一個(gè)經(jīng)過它們的平面，兩個(gè)平面交于一條直線等等。第二組叫做次序公理：例如，已給直線上三點(diǎn)A，B，C，直線上必有一點(diǎn)D，使A，B和C，D互相隔離等等。第三組只含一個(gè)公理，即連續(xù)公理。射影直線上的連續(xù)公理實(shí)質(zhì)上就是規(guī)定：去掉直線上一點(diǎn)以后，直線上剩下來的部分滿足實(shí)數(shù)軸上的戴德金連續(xù)公理。

根據(jù)這些公理，便可以通過純演繹方法建立起一個(gè)完整的實(shí)射影幾何體系，包括射影坐標(biāo)。所謂實(shí)射影幾何，就是上面所討論的射影幾何，其中點(diǎn)的坐標(biāo)是實(shí)數(shù)。 不同維的射影空間，可以在關(guān)聯(lián)公理里加以區(qū)別。 只滿足關(guān)聯(lián)公理的空間可以稱為一般射影空間；在那里面，仍然有射影變換，其相應(yīng)的幾何可以稱為一般射影幾何。如果把關(guān)聯(lián)公理要求降低，也可以得到更一般的射影空間和射影幾何。當(dāng)然，在一個(gè)一般射影空間里，實(shí)射影幾何的定理不完全成立。 也可以一開始就通過代數(shù)方法來建立射影幾何。仍以實(shí)三維空間為例，設(shè)想每一個(gè)非零四實(shí)數(shù)組(x0，x1，x2，x3)為一點(diǎn)，成比例的四數(shù)組代表同一點(diǎn)；再假定線性相關(guān)的三點(diǎn)屬于同一條直線，線性相關(guān)的四點(diǎn)屬于同一個(gè)平面。這樣就把實(shí)射影幾何完全建立在實(shí)數(shù)域的基礎(chǔ)上了。

用n+1數(shù)組代替四數(shù)組來表示點(diǎn)，就得到n維射影空間及其射影幾何。 若令n+1數(shù)組(x0，x1，…，xn)里的xj屬于某一個(gè)數(shù)域F，所得到的是一個(gè)一般射影幾何。例如當(dāng)F是復(fù)數(shù)域時(shí)，，次序公理和連續(xù)公理都不能滿足，得到的是很重要的復(fù)射影幾何。上面從（實(shí)）仿射空間得到（實(shí)）歐氏空間時(shí)，就曾經(jīng)利用了虛點(diǎn)I1，I2。 若F是一個(gè)有限域，所得到的一般射影空間只有有盡多個(gè)點(diǎn)，叫做有盡射影空間。例如，若F是特征等于3的模域，則射影平面上有13個(gè)點(diǎn)和13條線，每條線上有4個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過每點(diǎn)有4條線。如果要通過公理系統(tǒng)來建立這個(gè)空間，就要在關(guān)聯(lián)公理中規(guī)定：每條線上不能有多于4個(gè)點(diǎn)。

射影幾何學(xué) - 簡(jiǎn)史

畫法幾何的創(chuàng)始人G.蒙日

射影幾何的某些內(nèi)容，公元前就發(fā)現(xiàn)了，但到19世紀(jì)上半葉才有短暫的突破。到19世紀(jì)，它才形成獨(dú)立體系，最后臻于完備。 基于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。

在17世紀(jì)初期，J.開普勒最早引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念(1604)。稍后，G.德扎格引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，除證明了上面提到的他的著名定理(1639)外，還引進(jìn)了交比，調(diào)和比，以及對(duì)于二次曲線的極點(diǎn)和極線等概念，證明了交比經(jīng)過透視不變。在他的影響下，B.帕斯卡也研究了有關(guān)射影幾何的問題，并發(fā)表了他的著名定理（1640）。這些定理的特點(diǎn)是概括性強(qiáng)，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì)（長(zhǎng)度、角度、面積）。但他們?cè)谧C明中卻用到了長(zhǎng)度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒有意識(shí)到，自己的研究方向會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。

射影幾何的主要奠基人是 19世紀(jì)的J.-V.彭賽列。他是畫法幾何的創(chuàng)始人G.蒙日的學(xué)生。蒙日帶動(dòng)了他的許多學(xué)生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用綜合法研究幾何。由于德扎格和帕斯卡等的工作被長(zhǎng)期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識(shí)到射影幾何是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他通過幾何方法引進(jìn)無窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對(duì)應(yīng)并用它來確立對(duì)偶原理。稍后，J.施泰納研究了利用簡(jiǎn)單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形（例如二次曲線和二次曲面）的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的(1832)。為了擺脫坐標(biāo)系對(duì)度量概念的依賴，K.G.C.von施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系(1847)，進(jìn)而使交比也不依賴于長(zhǎng)度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。

另一方面，運(yùn)用解析法來研究射影幾何也有長(zhǎng)足進(jìn)展。首先是A.F.麥比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等(1827)。接著，J.普呂克引進(jìn)了另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無窮遠(yuǎn)線的方程，無窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就自然得到了對(duì)偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。

在19世紀(jì)前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭(zhēng)論異常激烈；有些數(shù)學(xué)家完全否定綜合法，認(rèn)為它沒有前途，而一些幾何學(xué)家，如M.沙勒，E.施圖迪和施泰納等，則堅(jiān)持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個(gè)優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問題論證直接而簡(jiǎn)潔。1882年，M.帕施建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。

把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是F.克萊因，他在埃爾朗根綱領(lǐng)(1872)中提出了這個(gè)觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十分明朗。這個(gè)綱領(lǐng)產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個(gè)分類法。后來é嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類的方法中作出了新的貢獻(xiàn)。

射影幾何學(xué) - 分支學(xué)科

算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)。

射影幾何學(xué) - 參考資料

[1] 大科普網(wǎng)
[2] 澤澤網(wǎng) ?doc-view-7890

  本文關(guān)鍵詞：射影幾何，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：62824