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信號的頻譜、幅度譜、相位譜及能量譜密度、功率譜密度

    該文章講述了信號的頻譜、幅度譜、相位譜及能量譜密度、功率譜密度.

這篇文章的標題起得如此長,實在是為了區(qū)分“譜”與“譜密度”。譜的英文原詞為spectrum,私以為是函數(shù)圖象,卻又不夠準確。信號就是時間的函數(shù),那怎么不把信號稱為譜?可知譜是函數(shù)圖像中的某一類而已。每每提及譜,都和頻率脫不了干系,而此文的來由,也正是我對Parseval恒等式突發(fā)的好奇心。Parseval恒等式是傅里葉變換的一個重要性質(zhì)。說到此,學(xué)識淵博的讀者,您自然很熟悉,傅里葉變換將信號從時域或者空域變換到頻域上,產(chǎn)生頻譜。這譜,自然和頻率,有著天然的不可分割性。

罷了,再往下說就變成考證了。即使本文意為一篇科普,也須得有理科文章的簡潔。

且說上文提到的Parseval恒等式,老師有提到該等式的intuitive sense是:傅里葉變換的原信號和頻譜之間是能量守恒的。這當然是不錯的解釋,但卻不夠shocking,一個shocking的解釋是,傅里葉變換之后的頻譜保留了原信號的所有信息。我當時就震驚了。當然,只要想到傅里葉變換是可逆的(即一一對應(yīng)),也就不那么震驚了。傅里葉變換的另一個令人震驚的事實是:Gaussian分布的密度函數(shù) $e^{-x^2/2}$ 是唯一的一個傅里葉變換不變函數(shù)。

Gaussian密度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與哺乳動物視覺感知系統(tǒng)主視皮層簡單細胞的感受野(cortical receptive field)具有相似的結(jié)構(gòu)。

泛函分析中,Gaussian密度函數(shù)的極限($\sigma\to\infty$)是delta-dirac函數(shù) $\delta(x)$,即脈沖函數(shù)。

更簡單地,在大學(xué)一年級的數(shù)學(xué)分析課程中,Gaussian密度函數(shù)的積分是 $\sqrt{\pi}$。

總而言之,Gassian分布具有許多異常完美的性質(zhì),被它震驚也不是一回兩回了。

言歸正傳,信號經(jīng)過傅里葉變換之后產(chǎn)生頻譜,頻譜是一個以頻率為自變量的函數(shù)。頻譜在每一個頻率點的取值是一個復(fù)數(shù)。一個復(fù)數(shù)由模和輻角唯一地確定,所以可將頻譜分解為幅度譜(即復(fù)數(shù)的模關(guān)于頻率的函數(shù))和相位譜(即復(fù)數(shù)的輻角關(guān)于頻率的函數(shù))。到此,三種譜已經(jīng)講完了,果然學(xué)問就像窗戶紙,一捅破就覺得聊勝于無。

那什么是能量譜密度(energy spectral density)和功率譜密度(power spectral density)?在英語只有韓梅梅水平的我看來,energy和power不都是能量么,殊不知power原來是功率的意思。

既然說到了英語,在對兩個譜密度進行闡述之前,我們要再跳戲一下,說說幅度的概念。在英語中,幅度有兩個詞:amplitude和magnitude,在大多數(shù)情況下(包括本文),它們是沒有區(qū)別的,除了在某個特定的領(lǐng)域(如物理領(lǐng)域),amplitude代表整個信號偏離x軸的最大絕對值,magnitude代表信號上某一點偏離x軸的絕對值。更清晰的闡述如下:

peak amplitude, often shortened to amplitude, is the nonnegative value of the waveform's peak (either positive or negative).

instantaneous amplitude of x is the value of x(t) (either positive or negative) at time t.

instantaneous magnitude, or simply magnitude, of x is nonnegative and is given by |x(t)|.

可見,amplitude是一個全局概念,而magnitude是一個瞬時概念。

在談及FFT和wavelets的大多數(shù)情況下,將amplitude和magnitude認為是同一概念,即瞬時幅度。

信號$f(t)$在$t$處的瞬時幅度是$f(t)$的模,即$|f(t)|$;

信號$f(t)$在$t$處的瞬時相位是$f(t)$的輻角,即$Arg f(t)$ 或者 $\angle f(t)$;

信號$f(t)$在$t$處的瞬時功率是$f(t)$的模的平方,即$|f(t)|^2$。

信號的能量是一個全局概念,是瞬時功率的積分值,即$||f(t)||^2=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 dt$。注意$|f(t)|$和$||f(t)||$的區(qū)別,前者是瞬時概念,即信號在某一點的瞬時幅度,后者是全局概念,即整個信號的能量的開方。

需要注意的是,通常所指的能量譜和能量譜密度是一個概念;功率譜和功率譜密度是一個概念,而且功率是指平均功率。

時域上的能量公式:$$ E(f)=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 dt $$

其中絕對值號代表取模,當信號是實信號時,顯然絕對值號可以去掉,變成$$ E(f)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)^2 dt $$

根據(jù)Parseval能量恒等式(Parseval’s Identity),能量也可認為是$f(t)$的傅里葉變換的模的平方在頻域上的積分。

頻域上的能量公式:$$ E(f)=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2 d\omega$$

從上述積分可以看出,信號的能量譜密度在某個頻率點上的取值就是信號在某個頻率上的瞬時功率$|\hat{f}(\omega)|^2$。

從上面的公式可以看出,信號的能量可能是無窮。當信號的能量無限時,只能通過平均功率來了解該信號。因為能量$E(f)$和時間長度$\triangle T$之比就是平均功率$P(f)$,即:$$P(f)=\frac{E(f)}{\triangle T}$$

易知:當信號在$t \in (-\infty,\infty)$的平均功率有限時,能量是無限的;當信號在$t \in (-\infty,\infty)$的能量有限時,其平均功率為0。能量有限的信號稱為能量信號;平均功率有限的信號稱為功率信號。

為方便敘述,記$$f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{lll} f(t)& , & |t|\leq T\\ 0&,&|t|>T\end{array}\right.$$從而平均功率的公式為:$$P(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}|f_{T}(t)|^2 dt}{2T}=\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}|\hat{f_{T}}(\omega)|^2d\omega}{2T}$$

從上述的積分可以看出,信號的功率譜密度為:$$ PSD(f) = \lim_{T\to\infty}\frac{|\hat{f_{T}}(\omega)|^2}{2T}$$

對于比信號更復(fù)雜的隨機過程$X(t)$來說,$P(f)$是一個隨機變量,所以其平均功率$P$必須取加權(quán)平均$E$(注意這里的$E$不是能量):$$P=E[P(f)]=E[\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}|\hat{f_{T}}(\omega)|^2d\omega}{2T}]=\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}E[|\hat{f_{T}}(\omega)|^2]d\omega}{2T}$$

其功率譜密度為:$$PSD = \lim_{T\to\infty}\frac{E[|\hat{f_{T}}(\omega)|^2]}{2T}$$

參考文獻:

[1] Wikipedia. “Spectral Density”.

[2] Scott Miller & Donald Childers. “probability and random processes with applications to signal processing and communications”. section 10.1 Power Spectral Density.

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時間:2014年06月23日 01:31:55 來源:高校自動化網(wǎng) 作者:匿名 上一篇：能量譜與功率譜（轉(zhuǎn)載） 下一篇：硅擴頻振蕩器在汽車電子產(chǎn)品中的應(yīng)用詳解  (電腦版  手機版)

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