本文關(guān)鍵詞：劉維爾定理，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

整函數(shù)
integral function
在整個復(fù)平面上處處解析的函數(shù)。整函數(shù)總可以在原點(diǎn)
展開成泰勒級數(shù)：，它在全平面收斂，整函數(shù)以∞點(diǎn)為唯一的孤立奇點(diǎn)，它在∞點(diǎn)的羅朗展式與它在原點(diǎn)的泰勒展式有一樣的形式。當(dāng)∞點(diǎn)是整函數(shù)的可去奇點(diǎn)時，這個整函數(shù)只能是常數(shù)，這就是著名的劉維爾定理，通常表述為“有界整函數(shù)必為常數(shù)”。利用這一定理可以得到代數(shù)基本定理的簡單證明。當(dāng)∞點(diǎn)是整函數(shù)的n階極點(diǎn)時，這個整函數(shù)是一個n次多項式 ，也就是它的泰勒展式（或羅朗展式）只有有限多項。當(dāng)∞點(diǎn)是整函數(shù)的本性奇點(diǎn)時，這個整函數(shù)的泰勒展式一定有無限多項，這類整函數(shù)稱為超越整函數(shù)。由代數(shù)基本定理知道n次多項式一定有n個零點(diǎn)(也就是根)，它總可以分解為n個一次因式的積，對于超越整函數(shù)，它可能有無限多個零點(diǎn) ，比如sinπz就以全體整數(shù)為其零點(diǎn)集，也有的超越整函數(shù)沒有零點(diǎn)，如ez就處處不為零，一般來說，沒有零點(diǎn)的超越整函數(shù)總可以表成eg(z)的形式，此處g（z）也是一個整函數(shù)，，而有無限多個零點(diǎn)的超越整函數(shù)f（z）也有一個因子分解式 ；形如 ，其中g(shù)（z）是整函數(shù)，0是m階零點(diǎn)，zk是非零零點(diǎn)集，gk()是的多項式，這是魏爾斯托拉斯因子分解定理。超越整函數(shù)還有一個重要性質(zhì)：若f（z）是超越整函數(shù)，則對任意復(fù)數(shù)A（包括A＝∞），存在點(diǎn)列｛zk ｝，使zk ∞（k∞）而有f（zk）A。這一結(jié)果有一個更精確的發(fā)展：對超越整函數(shù)f(z)，最多除去一個值（稱為例外值）外，對所有其他的復(fù)數(shù)v值（v≠∞），f（z）－v都有無窮多個零點(diǎn)（畢卡定理）。

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