本文關(guān)鍵詞：永磁電機(jī)中永磁體數(shù)學(xué)模型的分析，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

永磁電機(jī)中永磁體數(shù)學(xué)模型的分析

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劉瑞芳，胡敏強(qiáng)，嚴(yán)登俊

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(東南大學(xué)，江蘇南京210096)

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摘要：永磁體的數(shù)學(xué)模型的確定是永磁電機(jī)磁場(chǎng)計(jì)算中的關(guān)鍵。文中從電磁場(chǎng)基本理論出發(fā)，導(dǎo)出了永磁體在任意復(fù)雜形狀下，不同磁化方向(平行磁化、徑向磁化、圓周方向磁化)時(shí)永磁體邊界上等效電流的計(jì)算方法，為永磁電機(jī)電磁場(chǎng)分析計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：永磁電機(jī)；永磁體；數(shù)學(xué)模型

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1 引言

近年，隨著高性能永磁材料的發(fā)展，永磁電機(jī)得到了迅猛的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。合理的確定永磁體結(jié)構(gòu)尺寸和準(zhǔn)確計(jì)算電機(jī)的參數(shù)是設(shè)計(jì)高性能永磁電機(jī)的關(guān)鍵，傳統(tǒng)的基于磁路模型的電機(jī)設(shè)計(jì)技術(shù)已經(jīng)不能完全滿足這一需要，采用電磁場(chǎng)的數(shù)值分析顯得更為重要。

永磁電機(jī)電磁場(chǎng)計(jì)算首先要建立永磁體的數(shù)學(xué)模型。以往的文獻(xiàn)中針對(duì)特定形狀的永磁體在平行磁化和徑向磁化的情況建立了數(shù)學(xué)模型分析［1，2］。但是由于永磁電機(jī)中永磁體的形狀復(fù)雜多樣，永磁體與其它媒質(zhì)交界面曲直交錯(cuò)，并且隨著永磁材料和電機(jī)技術(shù)的發(fā)展，會(huì)不斷出現(xiàn)新的結(jié)構(gòu)，不規(guī)則形狀的永磁體，在永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中也需要對(duì)磁鋼的形狀進(jìn)行不斷的修正，以達(dá)到最佳的性能指標(biāo)，這樣在永磁電機(jī)有限元計(jì)算程序中需要能夠處理任意形狀的永磁體，這也是永磁電機(jī)計(jì)算軟件實(shí)現(xiàn)通用性所必須解決的問題。實(shí)際中永磁體除徑向磁化和平行磁化外，還有圓周方向磁化。在文獻(xiàn)［3］中討論了徑向磁化和平行磁化下任意永磁體邊界的數(shù)學(xué)模型，但是沒有論及圓周方向磁化。本文將從電磁場(chǎng)基本理論出發(fā)，討論永磁體在任意形狀下，不同磁化方向(平行磁化、徑向磁化以及圓周方向磁化)時(shí)等效電流的計(jì)算，并且改進(jìn)和完善文獻(xiàn)［3］中徑向磁化永磁體在任意邊界下的數(shù)學(xué)模型。

2 永磁電機(jī)中永磁體的數(shù)學(xué)模型

2.1 永磁體的電流等效

經(jīng)預(yù)先磁化的永磁體，其特性滿足：

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B=μ0μrH+μ0Mr    (1)

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式中H——永磁體工作點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度

B——永磁體工作點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

μr——相對(duì)回復(fù)磁導(dǎo)率

Mr——剩余磁化強(qiáng)度

由式(1)可知，在去磁曲線上，當(dāng)B=Br時(shí)，H=0，可得剩余磁化強(qiáng)度Mr的大小為Mr=Br/μ0。

對(duì)式(1)兩端取旋度，并考慮永磁體內(nèi)無宏觀電流，rotH=0，則有rot(B/μ0μr)=rot Mr/μr。

上式右端具有電流密度的量綱，它體現(xiàn)了永磁體的勵(lì)磁作用。如果永磁體被均勻磁化，磁體內(nèi)部各點(diǎn)上Mr的大小和方向都相同，永磁體內(nèi)的等效電流密度都為零，而在平行于Mr的永磁體側(cè)面上有一層等效面電流Js。二維場(chǎng)中，Js只有Z軸分量，圖1永磁體邊界法線方向等效面電流密度為：

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式中n——永磁體邊界外法向單位矢量

在有限元計(jì)算中，對(duì)任意形狀永磁體，只要求出相應(yīng)邊界處的法線方向和磁化強(qiáng)度方向，就可以求出等效電流的大小。下面先來計(jì)算邊界的法線方向。

在剖分產(chǎn)生的永磁體邊界信息中，要按逆時(shí)針方向記錄每一條永磁體邊界，從而保證每邊界的法向指向永磁體的外部。設(shè)有一屬于永磁體的單元，其中邊P1P2為永磁體與其他媒質(zhì)的交界邊，如圖1所示，方向由P1指向P2，P1點(diǎn)坐標(biāo)為(X1，Y1)，P2點(diǎn)坐標(biāo)為(X2，Y2)，則P1P2的單位法向矢量為：

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對(duì)于不同的永磁體磁化方式，磁化強(qiáng)度方向的計(jì)算是不同的。

2.2 不同磁化方式下磁化強(qiáng)度和等效電流的計(jì)算

永磁體的磁化方向有平行磁化、徑向磁化和圓周方向磁化，如圖2所示。圖2a為永磁直流電機(jī)凸極徑向式磁極結(jié)構(gòu)，永磁體為平行磁化；圖2b為永磁直流電動(dòng)機(jī)瓦片形磁極結(jié)構(gòu)，永磁體為徑向磁化或平行磁化；圖2c為2極永磁直流電機(jī)弧形磁極結(jié)構(gòu)，永磁體為圓周方向磁化。

(1)對(duì)于平行磁化的永磁體，磁化方向?yàn)橐阎ＴO(shè)磁化方向?yàn)閄軸正方向的夾角β，則磁化強(qiáng)度為：

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(2)對(duì)于徑向磁化的永磁體，在邊界P1P2上各點(diǎn)的磁化方向?yàn)閺较�，即各點(diǎn)處磁化方向都是變化的。在文獻(xiàn)［3］中，考慮了這種各點(diǎn)處磁化方向的變化，這時(shí)等效電流密度在一個(gè)單元內(nèi)的邊界上也是變化的。采用這樣的處理在組成方程組進(jìn)行總體合成時(shí)，所對(duì)應(yīng)的內(nèi)部交界條件的處理非常復(fù)雜。實(shí)際上由于區(qū)域剖分離散后每一條單元的邊界的尺寸都很小，可以認(rèn)為在每一單元的等效電流密度為常量，磁化強(qiáng)度為常量。我們用P1P2邊界中點(diǎn)處的磁化強(qiáng)度方向表示這個(gè)單元的平均磁化強(qiáng)度方向。對(duì)于瓦片形磁極的圓弧邊界部分，徑向磁化時(shí)磁化方向和邊界的法向在同一條直線上，由式(2)可知，曲線邊界上的等效電流為0。由于剖分離散后用直線來代替了原來的曲線，采用邊界平均磁化方向進(jìn)行計(jì)算時(shí)，磁化方向和邊界法向都是徑向方向，在一條直線上，得到的等效電流為0。但是如果按照文獻(xiàn)［3］中考慮邊界上各點(diǎn)處磁化方向的變化時(shí)，各點(diǎn)的磁化方向和邊界法向不總在一條直線上，得到的邊界上的等效電流反而不為0，與實(shí)際情況不符。同樣對(duì)于瓦片形永磁的直線部分，采用平均磁化強(qiáng)度方向進(jìn)行計(jì)算時(shí)，得到的等效電流密度情況也是與實(shí)際相符的。

在徑向磁化中，應(yīng)當(dāng)分兩種情況來考慮。圖3a為兩極瓦片形永磁電機(jī)的徑向磁化模型。上面的瓦片形磁體的磁化方向是由圓心指向瓦片，下面的瓦片磁體的磁化方向是由瓦片指向圓心。對(duì)于多對(duì)極電機(jī)而言，相鄰磁極的磁化方向總是一個(gè)指向磁化圓心，另一個(gè)背離磁化圓心。這兩種情況下磁化強(qiáng)度方向的計(jì)算是不同的，但是文獻(xiàn)［3］中沒有指出這一點(diǎn)。下面就分兩種情況進(jìn)行分析。

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設(shè)磁化的圓心P0的坐標(biāo)為(X0，Y0)，通常是電機(jī)的圓心，P1P2邊界中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Xc，Yc)，其中Xc=(X1+X2)/2，Yc=(Y1+Y2)/2。設(shè)l0為P0P

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b.當(dāng)磁化方向是由P點(diǎn)指向磁化圓心時(shí)，P點(diǎn)處磁化強(qiáng)度方向?yàn)镻P0方向，如圖3c所示，磁化強(qiáng)度為：

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(3)對(duì)于沿著圓周方向磁化的弧形永磁體，由圖2c可以看出，相鄰磁極的磁化方向是相反的。若左側(cè)磁體的磁化方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則右側(cè)磁體磁化方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。方向不同磁化方向的計(jì)算也有所不同。已知磁化圓心P0的坐標(biāo)為(X0，Y0)，單元邊界的中點(diǎn)為Pc，該點(diǎn)處的磁化方向?yàn)橐源呕瘓A心為圓心，P0P為半徑的圓上P點(diǎn)處的切線的方向。可以用這個(gè)磁化方向表示單元的平均磁化方向。

<![if !supportLists]>a.    <![endif]>對(duì)于逆時(shí)針方向磁化的永磁體，磁化強(qiáng)度為：

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這樣就可以求出永磁體在平行磁化、徑向磁化和圓周方向磁化下任意邊界形狀的等效電流。

2.3 永磁勵(lì)磁的內(nèi)部交界條件的處理

在均勻磁化的永磁體模型下，永磁體和其他媒質(zhì)的分界線上有面電流，當(dāng)磁場(chǎng)用矢量磁位求解時(shí)，媒質(zhì)交界條件體現(xiàn)為泛函的一項(xiàng)線積分，如同第二類非齊次邊界條件一樣［4］。從電磁場(chǎng)基本理論出發(fā)，可以導(dǎo)出，在單元分析時(shí)，對(duì)于屬于永磁材料的永磁邊界單元，在總體合成的節(jié)點(diǎn)方程組右端項(xiàng)對(duì)應(yīng)交界節(jié)點(diǎn)P1、P2的位置需加入下述分量：

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將所求出的單元平均等效電流密度值代入，就可以求出Q1、Q2。只要對(duì)永磁邊界處理一次。永磁的處理就得以自動(dòng)實(shí)現(xiàn)。

3 計(jì)算實(shí)例

實(shí)際應(yīng)用中，在前處理進(jìn)行單元剖分時(shí)對(duì)永磁和其他媒質(zhì)的交界邊界作記錄。輸入永磁體媒質(zhì)材料特性數(shù)據(jù)時(shí)，除了輸入計(jì)算剩磁密度、回復(fù)磁導(dǎo)率外，還要對(duì)每一塊永磁體按不同的磁化方式給出相應(yīng)的參數(shù)。對(duì)平行磁化，給出磁化方向與坐標(biāo)軸的夾角；對(duì)徑向磁化，給出磁化圓心點(diǎn)的坐標(biāo)并指出磁化是指向圓心或背離圓心；對(duì)圓周方向磁化的弧形磁極，要指出磁化方向是順時(shí)針，還是逆時(shí)針。在有限元計(jì)算程序中，對(duì)屬于永磁體的且處于永磁交界的單元進(jìn)行內(nèi)部交界條件的處理。程序根據(jù)永磁體材料所給出的信息進(jìn)行判斷，然后按照前面給出的方法進(jìn)入相應(yīng)的計(jì)算。得到單元邊界相應(yīng)的面電流密度和Q1、Q2，然后疊加到矩陣相應(yīng)的位置上。這樣程序可以對(duì)不同磁化方式、任意復(fù)雜形狀的永磁體進(jìn)行處理，使得程序有很強(qiáng)的通用性。

根據(jù)上述方法采用自行編制的有限元計(jì)算程序?qū)追N不同結(jié)構(gòu)的永磁電機(jī)進(jìn)行計(jì)算。圖4～7為4種永磁直流電動(dòng)機(jī)的空載磁場(chǎng)分布圖。圖4為矩形磁極的永磁直流電動(dòng)機(jī)，永磁體為平行磁化，磁化方向?yàn)槠叫杏谟来朋w的側(cè)面。從空載磁場(chǎng)的分布來看永磁體內(nèi)的磁力線平行與兩個(gè)側(cè)面，與實(shí)際情況相符。圖5為瓦片形磁極永磁直流電動(dòng)機(jī)，永磁體平行磁化，空載磁場(chǎng)圖中永磁體內(nèi)磁力線都是平行的。圖6也是瓦片形磁極的永磁直流電動(dòng)機(jī)，永磁體被徑向磁化。從磁力線分布可以看到，永磁體內(nèi)磁力線都是沿著徑向輻射的。圖7為2極弧形磁極的永磁直流電動(dòng)機(jī)，永磁體為圓周方向磁化。從磁力線分布可看到，在永磁體中磁力線的走向是圓周方向的。從以上分析可以看出，，所采用的永磁體的計(jì)算模型是合理的。

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4 結(jié)論

本文從電磁場(chǎng)基本理論出發(fā)，導(dǎo)出永磁體平行充磁、徑向充磁、圓周方向充磁時(shí)等效面電流的計(jì)算模型。對(duì)于任意復(fù)雜的永磁邊界，都可以方便有效的處理。解決了永磁電機(jī)電磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)的關(guān)鍵，為永磁電機(jī)磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算軟件實(shí)現(xiàn)通用性奠定了基礎(chǔ)。

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參考文獻(xiàn)：

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［1］姜秀梅，顧其善，周長(zhǎng)進(jìn).用有限元法計(jì)算永磁電機(jī)磁場(chǎng)［J］.微特電機(jī)，1982，10(2)，21-25.

［2］唐任遠(yuǎn).現(xiàn)代永磁電機(jī)理論與設(shè)計(jì)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

［3］尹華杰，金振榮.有限元方法中永磁勵(lì)磁的自動(dòng)處理［J］.微特電機(jī)，1993，21(4)，9—10.

［4］胡之光.電機(jī)電磁場(chǎng)的分析與計(jì)算［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1989.

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作者簡(jiǎn)介：

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劉瑞芳(1971—)，女，博士研究生，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)電磁場(chǎng)分析。

  本文關(guān)鍵詞：永磁電機(jī)中永磁體數(shù)學(xué)模型的分析，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：98723