本文關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程求解算法研究

  更多相關(guān)文章： 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 Grünwald公式 Toeplitz矩陣 快速傅里葉變換

【摘要】：分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用,尤其是分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程能夠更加準(zhǔn)確貼切的描述一些反常擴(kuò)散現(xiàn)象,比如模擬滲透結(jié)構(gòu),湍流,地下水污染物的運(yùn)動(dòng)過(guò)程以及物理學(xué)中的混沌動(dòng)力系統(tǒng)等,因此對(duì)于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。但是由于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程微分算子的非局部性質(zhì),有限差分和有限元等數(shù)值方法產(chǎn)生的都是稠密的系數(shù)矩陣,用一般的高斯消元法來(lái)解,計(jì)算量是O(N3) ,存儲(chǔ)量是O(N2) ,N是網(wǎng)格點(diǎn),這大大地增加了計(jì)算的復(fù)雜度和存儲(chǔ)空間,因此,尋找快速高效的數(shù)值算法成為研究者關(guān)注的焦點(diǎn)。為了進(jìn)一步改進(jìn)Krylov子空間方法的可執(zhí)行性和穩(wěn)定性,便引進(jìn)了預(yù)處理技術(shù),并且預(yù)處理技術(shù)已經(jīng)慢慢地成為解決大規(guī)模計(jì)算問題的有效方法。在分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解方面,研究者也針對(duì)離散后的的矩陣較好的Toeplitz結(jié)構(gòu),構(gòu)造了很多經(jīng)典的預(yù)處理子。本文重點(diǎn)分析了三種預(yù)條件子,孫海衛(wèi)等人提出的PCGNR算法是在CGNR的基礎(chǔ)上加上了循環(huán)預(yù)條件子,大大地加快了運(yùn)算速度。PGMRES算法是基于矩陣分裂的思想,提出了帶狀預(yù)條件子,與Krylov子空間中的重啟的GMRES算法相結(jié)合,快速求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的一種方法。還有一種是顧先明基于CSCS算法構(gòu)建的k-步多項(xiàng)式預(yù)處理子,它可以高效的求解非Hermintian Toeplitz系統(tǒng)。這些帶有預(yù)處理子的數(shù)值算法將計(jì)算量控制在O(Nlog N),提高了運(yùn)算效率,還將存儲(chǔ)空間降低為O(N2)。為了進(jìn)一步加快求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的速度,提高數(shù)值逼近的精度,節(jié)省計(jì)算量和存儲(chǔ)空間,本文對(duì)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的快速數(shù)值算法進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。引入了一個(gè)置換矩陣,將原來(lái)的非對(duì)稱線性系統(tǒng)等價(jià)轉(zhuǎn)化成對(duì)稱的線性系統(tǒng),提出了一種置換預(yù)處理子來(lái)加速分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的求解。本文提出的預(yù)條件子避免了傳統(tǒng)的矩陣-向量乘法的冗雜計(jì)算,并且充分利用了快速傅里葉變換來(lái)計(jì)算Toeplitz矩陣與向量的乘法,從而大大地降低了運(yùn)算量和存儲(chǔ)空間。從數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看,本文提出的方法的實(shí)驗(yàn)效果總體上比沒有預(yù)條件子的的方法要好很多,本文提出的方法收斂速度更快,花費(fèi)的計(jì)算量更少,較之本文提及的CGNR方法在節(jié)約運(yùn)行時(shí)間上有明顯的提高,提高了計(jì)算效率。
【關(guān)鍵詞】：分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 Grünwald公式 Toeplitz矩陣 快速傅里葉變換
【學(xué)位授予單位】：電子科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-10
• 主要符號(hào)對(duì)照表及縮略詞表10-11
• 第一章 緒論11-17
• 1.1 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的研究背景和意義11-12
• 1.2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的國(guó)內(nèi)外研究狀況12-14
• 1.3 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)14-15
• 1.3.1 Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義14-15
• 1.3.2 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義15
• 1.3.3 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義15
• 1.4 論文的主要內(nèi)容、方法及創(chuàng)新點(diǎn)15-16
• 1.5 論文的結(jié)構(gòu)安排16-17
• 第二章 預(yù)備知識(shí)17-28
• 2.1 Toeplitz矩陣的定義及基本性質(zhì)17-19
• 2.2 經(jīng)典的預(yù)處理技術(shù)19-21
• 2.3 Toeplitz系統(tǒng)的求解與預(yù)條件處理21
• 2.4 循環(huán)預(yù)處理矩陣21-23
• 2.4.1 Strang’s循環(huán)預(yù)條件21-22
• 2.4.2 T. Chan’s循環(huán)預(yù)條件22-23
• 2.5 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的離散23-27
• 2.5.1 隱式有限差分格式23-26
• 2.5.2 Crank-Nicolson有限差分格式26-27
• 2.6 本章小結(jié)27-28
• 第三章 經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的預(yù)條件處理算法28-38
• 3.1 帶有循環(huán)預(yù)條件的PCGNR算法28-31
• 3.2 帶有預(yù)條件的GMRES算法31-34
• 3.3 基于多項(xiàng)式預(yù)條件的CSCS算法34-37
• 3.4 本章小結(jié)37-38
• 第四章 基于置換預(yù)條件的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的求解算法38-55
• 4.1 矩陣向量乘的FFT快速算法38-40
• 4.2 基于置換預(yù)條件的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的求解算法40-43
• 4.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)43-53
• 4.3.1 數(shù)值算例 144-48
• 4.3.2 數(shù)值算例 248-53
• 4.4 本章小結(jié)53-55
• 第五章 全文總結(jié)與展望55-58
• 5.1 全文總結(jié)55
• 5.2 工作展望55-58
• 致謝58-59
• 參考文獻(xiàn)59-64
• 攻讀碩士學(xué)位期間的研究成果64-65

【相似文獻(xiàn)】

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