本文關(guān)鍵詞：活動(dòng)標(biāo)架理論及基于活動(dòng)標(biāo)架的微分不變量的構(gòu)造算法，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：活動(dòng)標(biāo)架起源于物理力學(xué),是Caston Darboux在研究物體剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)引入的,后來(lái)法國(guó)數(shù)學(xué)家E.Cartan提出了被廣泛用以研究某些特定群作用下子流形的幾何屬性的活動(dòng)標(biāo)架理論。近年來(lái),隨著非線性科學(xué)的不斷發(fā)展,Peter Olver建立了等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架理論,解決了之前提出的活動(dòng)標(biāo)架理論的局限性并使其可用以研究更一般的李變換群作用下子流形的等價(jià)、對(duì)稱等屬性,該理論更一般化、完全化,同時(shí)促使人們逐漸地將活動(dòng)標(biāo)架理論用于微分方程的求解、基本對(duì)稱問(wèn)題、多項(xiàng)式等價(jià)問(wèn)題和不變理論及其相關(guān)應(yīng)用的研究中。相較于E.Carten的活動(dòng)標(biāo)架理論,等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架理論最大的改進(jìn)在于遞推關(guān)系,通過(guò)遞推關(guān)系和不變量的微分可以完全的導(dǎo)出微分代數(shù)的結(jié)構(gòu),從而減少了很多復(fù)雜計(jì)算,簡(jiǎn)化問(wèn)題求解的難度。Klein關(guān)于幾何的觀點(diǎn)是要把所有不同的幾何學(xué)性質(zhì)看做在某種群作用下不變的東西一一不變量。特別是歐幾里得群、仿射群以及射影(變換)群作用下的不變量能高效地應(yīng)用于許多數(shù)學(xué)物理問(wèn)題,故而我們可以從不變量的角度出發(fā)來(lái)研究解決這些問(wèn)題,并且基于活動(dòng)標(biāo)架理論來(lái)構(gòu)造微分不變量較容易且能較好的應(yīng)用到具體的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中去,分析對(duì)象的等價(jià)和對(duì)稱屬性等。因此本文的核心內(nèi)容就是詳述利用活動(dòng)標(biāo)架理論來(lái)求解微分不變量。文章從微分幾何的基本概念出發(fā),結(jié)合李變換群和李代數(shù)以及在誘導(dǎo)微分不變量時(shí)涉及到的延拓概念,并借助等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架理論,來(lái)研究經(jīng)典的等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架的基本構(gòu)造方法及改進(jìn)的遞推方法與微分不變量的完備系統(tǒng),最后給出微分不變量在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的一些應(yīng)用。本文內(nèi)容主要包括以下的五個(gè)部分：第一章簡(jiǎn)要介紹了活動(dòng)標(biāo)架與微分不變量的發(fā)展歷程,以及Peter Olver關(guān)于等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架的探索與最新的進(jìn)展,同時(shí)列舉活動(dòng)標(biāo)架理論在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的應(yīng)用場(chǎng)合。第二章主要闡述了兩部分內(nèi)容：首先是微分幾何中流形、向量場(chǎng)、微分形式的相關(guān)理論及概念；其次是李群、李變換群、群作用及建立在群上的不變量函數(shù)與Maurer-Carten形式的基本概念,為第三章的活動(dòng)標(biāo)架理論提供理論支持。第三章包括三個(gè)方面的內(nèi)容：首先,詳細(xì)闡述了等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架的基本定義與經(jīng)典的構(gòu)造算法；其次,借助全導(dǎo)數(shù)、延拓與無(wú)窮小生成子的概念,利用規(guī)范化的不變量過(guò)程與延拓的無(wú)窮小生成子,在基于等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架的經(jīng)典構(gòu)造法基礎(chǔ)上誘導(dǎo)群作用下的微分不變量、不變的微分算子及syzygies；最后,借助切觸形式的概念并基于改進(jìn)的遞推活動(dòng)標(biāo)架構(gòu)造法求解微分不變量、不變的微分算子及syzygies。第四章簡(jiǎn)要介紹兩種活動(dòng)標(biāo)架與微分不變量的應(yīng)用：第一個(gè)是以平面上的變換旋轉(zhuǎn)群與等價(jià)放射群為例并借助符號(hào)軟件Maple對(duì)簽名曲線的特性進(jìn)行介紹；第二個(gè)以KdV方程為例演示對(duì)微分方程的對(duì)稱分析的具體思路。第五章總結(jié)全文的內(nèi)容并對(duì)活動(dòng)標(biāo)架與微分不變量中相關(guān)內(nèi)容的研究及以后可能的方向進(jìn)行展望。
【關(guān)鍵詞】：等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架 變換群 微分不變量 微分不變算子 Syzygies
【學(xué)位授予單位】：陜西師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O186.12
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-9
• 第1章 緒論9-13
• 1.1 活動(dòng)標(biāo)架理論概述9-11
• 1.2 微分不變量理論的概述11
• 1.3 論文主要工作11-13
• 第2章 微分幾何基礎(chǔ)和李群13-25
• 2.1 微分幾何基礎(chǔ)13-18
• 2.1.1 流形與子流形13-14
• 2.1.2 向量場(chǎng)14-15
• 2.1.3 微分及微分形式15-18
• 2.2 李群和李代數(shù)基本概念18-25
• 2.2.1 李群與李變換群18-20
• 2.2.2 李群下的不變函數(shù)20-22
• 2.2.3 李代數(shù)22-23
• 2.2.4 群作用23-24
• 2.2.5 Maurer-Cartan形式24-25
• 第3章 活動(dòng)標(biāo)架理論與微分不變量25-45
• 3.1 等價(jià)活動(dòng)標(biāo)架25-26
• 3.2 活動(dòng)標(biāo)架的經(jīng)典構(gòu)造法26-28
• 3.3 群作用的延拓28-30
• 3.3.1 Jet空間與延拓28-29
• 3.3.2 全導(dǎo)數(shù)29-30
• 3.4 基于活動(dòng)標(biāo)架的經(jīng)典構(gòu)造法求解微分不變量30-39
• 3.4.1 規(guī)范不變化過(guò)程求解微分不變量30-34
• 3.4.2 無(wú)窮小生成子求解微分不變量34-39
• 3.5 基于改進(jìn)的遞推活動(dòng)標(biāo)架構(gòu)造法求解微分不變量39-45
• 3.5.1 切觸形式40-41
• 3.5.2 遞推活動(dòng)標(biāo)架構(gòu)造法求解微分不變量41-45
• 第4章 活動(dòng)標(biāo)架與微分不變量的相關(guān)擴(kuò)展45-53
• 4.1 基于活動(dòng)標(biāo)架的微分不變簽名曲線45-49
• 4.1.1 歐幾里得簽名曲線47
• 4.1.2 等價(jià)仿射簽名曲線47-49
• 4.2 基于活動(dòng)標(biāo)架的微分不變量的分類分析49-53
• 第5章 總結(jié)與展望53-55
• 參考文獻(xiàn)55-61
• 致謝61-63
• 攻讀碩士學(xué)位期間的研究成果63

【相似文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前7條

1 劉健恒;;從活動(dòng)標(biāo)架觀點(diǎn)出發(fā)看推廣超引力[J];鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1979年02期

2 焦敏;曲面上活動(dòng)標(biāo)架的幾個(gè)應(yīng)用[J];四川師院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1983年01期

3 李艷艷;;相似幾何中的活動(dòng)標(biāo)架[J];河南科學(xué);2013年12期

4 張光輝,王朝晉;活動(dòng)標(biāo)架的應(yīng)用及對(duì)Baxter誘導(dǎo)法曲率公式的改進(jìn)[J];重慶大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1983年02期

5 姚若俠;袁偉;成麗美;;活動(dòng)標(biāo)架在對(duì)象識(shí)別中的應(yīng)用[J];浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2012年04期

6 占臘民,邵常貴;法坐標(biāo)系的性質(zhì)及應(yīng)用一例[J];湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2000年01期

7 ;[J];;年期

中國(guó)碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前6條

1 王苗苗;活動(dòng)標(biāo)架理論及基于活動(dòng)標(biāo)架的微分不變量的構(gòu)造算法[D];陜西師范大學(xué);2015年

2 李曉燕;活動(dòng)標(biāo)架新算法及其在偏微分方程中的應(yīng)用研究[D];陜西師范大學(xué);2013年

3 袁偉;活動(dòng)標(biāo)架理論及其在對(duì)象識(shí)別中的應(yīng)用研究[D];陜西師范大學(xué);2012年

4 汪偉;基于活動(dòng)標(biāo)架的圓紋面性質(zhì)及應(yīng)用研究[D];大連理工大學(xué);2008年

5 成麗美;活動(dòng)標(biāo)架和微分不變量的構(gòu)造算法及其在微分方程中的應(yīng)用研究[D];陜西師范大學(xué);2012年

6 周雙舟;基于Olver活動(dòng)標(biāo)架理論的目標(biāo)識(shí)別的方法及應(yīng)用[D];陜西師范大學(xué);2012年

  本文關(guān)鍵詞：活動(dòng)標(biāo)架理論及基于活動(dòng)標(biāo)架的微分不變量的構(gòu)造算法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：471527