在過去幾十年中,經(jīng)典的Laplace方程理論得到了充分的發(fā)展。這一類偏微分方程在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、工程、材料等許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。Laplace方程能夠很好地解釋很多實(shí)際問題中的擴(kuò)散現(xiàn)象,然而卻不能解釋許多反常擴(kuò)散現(xiàn)象,為此發(fā)展出了分?jǐn)?shù)階Laplace方程。分?jǐn)?shù)階Laplace算子是Laplace算子的一種推廣,繼承了Laplace算子的一些重要的性質(zhì),例如有界線性性、自共軛性等,這為分?jǐn)?shù)階Laplace方程的研究提供了方便。然而,與Laplace算子不同,分?jǐn)?shù)階Laplace算子是一種非局部擬微分算子,這為相關(guān)問題的研究造成了實(shí)質(zhì)性的困難。在本文中,以分?jǐn)?shù)階Sobolev空間為背景,利用分?jǐn)?shù)階Laplace算子的性質(zhì),研究幾類非線性分?jǐn)?shù)階Laplace方程解的存在性、多重性及分歧性。首先,對一類帶有不定非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Laplace方程進(jìn)行研究。通過應(yīng)用一個(gè)基本不等式,得到相應(yīng)的弱極值原理;利用弱極值原理,得到該方程的上下解方法;通過復(fù)雜的分析技巧,建立該方程對應(yīng)的Hopf引理;利用分?jǐn)?shù)階Laplace算子的譜理論,得到參數(shù)應(yīng)滿足的條件;運(yùn)用方程的上下解方法,證明使得方程...

【文章頁數(shù)】：94 頁

【學(xué)位級別】：博士

【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第1章 緒論
    1.1 課題背景
    1.2 分?jǐn)?shù)階Laplace方程的研究現(xiàn)狀及分析
    1.3 本文的主要研究內(nèi)容
第2章 預(yù)備知識(shí)
    2.1 分?jǐn)?shù)階Laplace算子的定義
    2.2 分?jǐn)?shù)階Laplace方程的泛函框架
    2.3 分?jǐn)?shù)階Sobolev嵌入定理
    2.4 分?jǐn)?shù)階Laplace算子的基本性質(zhì)
    2.5 本章小結(jié)
第3章 帶有不定非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Laplace方程
    3.1 引言
    3.2 極值原理、上下解方法及Hopf引理
    3.3 正解的存在性
    3.4 本章小結(jié)
第4章 非齊次半線性分?jǐn)?shù)階Laplace方程解的存在性
    4.1 引言
    4.2 極值原理、先驗(yàn)估計(jì)和集中緊致原理
    4.3 第一個(gè)正解的存在性
    4.4 本章小結(jié)
第5章 非齊次半線性分?jǐn)?shù)階Laplace方程正解的多重性和分歧性
    5.1 引言
    5.2 第二個(gè)正解對應(yīng)泛函的Aubin型估計(jì)
    5.3 第二個(gè)正解的存在性
    5.4 正解的多重性及分歧性
    5.5 本章小結(jié)
結(jié)論
參考文獻(xiàn)
攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的論文及其他成果
致謝
個(gè)人簡歷



本文編號(hào)：3763946