本文主要探討了兩類偏微分方程解的奇異極限問題,即研究當(dāng)參數(shù)趨于零時(shí)拋物型Allen-Cahn方程和橢圓型Sinh-Poisson方程的解的收斂性.我們利用幾何測(cè)度論的相關(guān)理論建立了 Allen-Cahn方程解的收斂性,運(yùn)用Lyapunov-Schmit有限維約化方法研究了 Sinh-Poisson方程集中解的存在性.本文共分三章:在第一章,我們概述了本文所討論問題的研究背景及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀,并簡(jiǎn)要介紹了本文所做的工作.在第二章,我們研究了下列帶有Dirichlet邊界條件的拋物型Allen-Cahn方程其中Ω（?）Rn（n≥2）是一個(gè)嚴(yán)格凸的有界光滑區(qū)域,ε＞0是一個(gè)小的正參數(shù),初始值v0ε滿足一些適當(dāng)?shù)臈l件,F是一個(gè)雙穩(wěn)位勢(shì)函數(shù).我們定義對(duì)應(yīng)方程（0.0.1）解的能量測(cè)度成為dμtε=（ε/2|▽vε|2+F（vε）/ε）dx,殘差測(cè)度ξtε為dξtε=（ε/2|▽vε|2+F（vε）/ε）dx.當(dāng)考慮vε滿足Dirichlet邊界條件或動(dòng)態(tài)邊界條件時(shí),Y.Giga,F.Onoue和K.Takasao（arXiv:1810.09107）在假設(shè):a.極限殘差測(cè)度|ξ|直到區(qū)域邊界消失為... 

【文章頁(yè)數(shù)】：123 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：博士

【文章目錄】：
內(nèi)容摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 Allen-Cahn方程的研究背景及本文的主要結(jié)果
        1.1.1 背景知識(shí)與相關(guān)問題
        1.1.2 一些記號(hào)
        1.1.3 幾何測(cè)度論中的定義,記號(hào)以及兩個(gè)重要的引理
        1.1.4 主要結(jié)論
    1.2 Sinh-Poisson方程的背景及本文的主要結(jié)果
        1.2.1 背景知識(shí)與相關(guān)問題
        1.2.2 一些記號(hào)
        1.2.3 一些定義及引理
        1.2.4 主要結(jié)論
    1.3 全文布局
第二章 一類帶有Dirichlet邊界條件的拋物型Allen-Cahn方程解的收斂性
    2.1 問題的陳述及主要結(jié)果
    2.2 預(yù)備工作
        2.2.1 輔助函數(shù)z~ε(x,t)的構(gòu)造
        2.2.2 與解相關(guān)的性質(zhì)
    2.3 邊界梯度估計(jì)
    2.4 涉及殘差測(cè)度的單調(diào)公式
    2.5 關(guān)于殘差的估計(jì)
    2.6 能量測(cè)度的收斂性
    2.7 殘差測(cè)度消失
    2.8 主要結(jié)論的證明
第三章 關(guān)于帶有Henon項(xiàng)的Sinh-Poisson方程解的集中現(xiàn)象的研究
    3.1 問題的陳述及主要結(jié)果
    3.2 近似解的構(gòu)造
    3.3 關(guān)于線性化方程的分析
    3.4 一個(gè)非線性問題的可解性
    3.5 有限維變分約化過程
    3.6 能量泛函的漸近展開式
    3.7 主要結(jié)論的證明
參考文獻(xiàn)
攻讀博士學(xué)位期間已發(fā)表和待發(fā)表的論文
致謝



本文編號(hào)：3687577