帶偏微分方程（PDE）約束優(yōu)化問題的數(shù)值求解是應用數(shù)學領域中重要而具有挑戰(zhàn)性的問題之一,其在現(xiàn)代工業(yè)、醫(yī)學、經(jīng)濟學等應用領域都具有很重要的應用.對傳統(tǒng)的帶L2-控制成本的PDE約束優(yōu)化問題,理論和數(shù)值解法都取得了豐富的研究成果.而對于帶L1-控制成本的PDE約束優(yōu)化問題,研究成果還不多.與有限維l1-正則化一樣,L1-控制成本具有誘導稀疏的特性,因此該類問題在控制裝置的布放問題以及材料和機械裝置的拓撲優(yōu)化等領域有重要應用.鑒于有限維稀疏優(yōu)化在交替方向類算法上和應用上的成功,我們嘗試研究了帶L1-控制成本的PDE約束優(yōu)化問題的交替方向類算法,并取得如下研究成果:1.帶L1-控制成本的稀疏最優(yōu)控制問題的FE-ihADMM算法.若用常規(guī)的分片線性有限元對連續(xù)問題進行離散,不同于有限維的l1-范數(shù),離散的L1-范數(shù)不具有可分結(jié)構(gòu),甚至不能通過引進人工變量轉(zhuǎn)化成具有可分結(jié)構(gòu)的問題,因此不適合用有限維交替方向乘子法（ADMM）求解.我們提出了一種具有可分結(jié)構(gòu)的有限元離散格式,盡管該離散格式會帶來額外的離散誤差,但我們給出的誤差估計表明該離散格式仍具有與常規(guī)離散格式一樣的誤差階O（h）.進一步,我們... 

【文章來源】：大連理工大學遼寧省 211工程院校 985工程院校 教育部直屬院校

【文章頁數(shù)】：217 頁

【學位級別】：博士

【部分圖文】：

圖２．３例２．２：最優(yōu)控制叫在／７?＝?２＿７的三維圖和平面圖．（ａ）三維圖．（ｂ）平面圖．深紅色和深藍色區(qū)??域?qū)鳎?＝?±３０，綠色區(qū)域?qū)�；�?＝?０??

帶控制約束的最優(yōu)控制問題的精確解是未知的．作為精確解的代替，我們采用網(wǎng)格大小??為／ｆ?＝?２＿１（）上的數(shù)值解作為一個參考解．??圖３．１給出了網(wǎng)格大小為Ａ?＝?２＿６時離散最優(yōu)控制叫的三維圖．表３．１給出了在Ｌ２模意??義下控制《的離散誤差的數(shù)值結(jié)果．數(shù)值結(jié)果證實了定理３．］給出的理論誤差結(jié)果？??表３．１中給出了ｉｈＡＤＭＭ、經(jīng)典ＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法求解例３．１的計算精度、??迭代步數(shù)和ＣＰＵ時間的數(shù)值結(jié)果．實驗結(jié)果表明ｉｈＡＤＭＭ算法在計算時間上要明顯優(yōu)??于經(jīng)典ＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法，尤其是當網(wǎng)格大小Ａ非常小時．進一步，隨著網(wǎng)格??大�。璧募蛹�，考慮ｉｈＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法的迭代步數(shù)，可以看出ｉｈＡＤＭＭ算法??和ＬＡＤＭＭ算法具有網(wǎng)格獨立性．相反，經(jīng)典ＡＤＭＭ算法卻不具有網(wǎng)格獨立性．此外，??為了得到更高精度的解，我們采用了兩階段策略．在表３．２中我們給出了相應的數(shù)值結(jié)??果．作為對比，表３．２中我們同樣給出了帶Ａｒｍｉｊｏ線搜索的全局化ＰＤＡＳ算法的數(shù)值結(jié)??果．從數(shù)值結(jié)果可以看出，兩階段的算法在ＣＰＵ計算時間以及迭代步數(shù)上要表現(xiàn)地比??帶Ａｒｍｉｊｏ線搜索的全局化ＰＤＡＳ算更有優(yōu)勢．這些數(shù)值結(jié)果都說明了我們的ｉｈＡＤＭＭ算??法在求解例３．１到中等精度的解的高效性．??

根據(jù)（４．１４），很容易看到這樣的一個事實：當｜／？丨＜／？時意味著ｈ?＝?０，這也就解釋了Ｌ１－??范數(shù)為什么可以誘導控制ｗ的稀疏性質(zhì)？此外，由于（４．１４）同時也暗不??了ｗｅ妒㈦）．這樣根據(jù)非光滑方程（４．１４），我們在圖４．１中展示了ｗ和ｐ的關系．??ｗ個??ｂ——ＪＴ??ａａ－?ｆ３?／?ｊ???￣?ｊ?￣?＾?Ｐ?ａｂ?＋?ｐ?Ｐ???ｉ?ａ??圖４．１控制變量Ｗ和伴隨狀態(tài)變量／７的關系??Ｆｉｇ．?４．１?Ｔｈｅ?ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ?ｂｅｔｗｅｅｎ?ｕ?ａｎｄ?ｐ??因此，從圖４．１我們可以看出，當ｆ充分大時，最優(yōu)控制《將恒等于０，即％?＝?０．具體??地，我們有如下引理．??引理４．２若正則參＿３滿足條件ｙＳ?２灼：＝－?Ａ－％，．）丨Ｌ，）時，那么問題（Ｐ）的唯一??最優(yōu)解為（＞￥，￥）?＝?（Ａ＿１Ｓｙ，．，?０）．??－９９－??

【參考文獻】：
期刊論文
[1]SUPERCONVERGENCE ANALYSIS OF FINITE ELEMENT METHODS FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS OF THE STATIONARY B（?）NARD TYPE[J]. Yanzhen Chang School of Mathematics and System Science,Shandong University,Jinan 250100,China Danping Yang Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200062,China.  Journal of Computational Mathematics. 2008(05)



本文編號：3594950