本文關(guān)鍵詞：論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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第 22 卷第 6 期 2013 年 12 月

數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報(bào)
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Vol.22, No.6 Dec., 2013

論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)
徐章韜，梅全雄
（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ，湖北 武漢 430

079）

動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 ，在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ，在比較中聯(lián)想 ，通過(guò)猜想和驗(yàn)證來(lái)解決問(wèn)題是實(shí)施探究性學(xué)習(xí)的先決條件之一．在 命題課中大力開(kāi)展發(fā)現(xiàn)式問(wèn)題探究 ，在習(xí)題課中大力開(kāi)展 3 個(gè)層次的探究，是探究性學(xué)習(xí)在課堂教學(xué)中的工程化實(shí)施策 略． 關(guān)鍵詞：探究性學(xué)習(xí)；課堂教學(xué) ；教學(xué)工程化 中圖分類(lèi)號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004–9894（2013）06–0001–04 數(shù)學(xué)學(xué)科 上，探究性學(xué)習(xí)就是要像數(shù)學(xué)家 一樣做“課 題 ”，探究性學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)建模等 ，需要在課外活動(dòng) 之中進(jìn)行．這不單擠占了課外活動(dòng)時(shí)間 ，對(duì)課堂教學(xué)也

摘要：探究性學(xué)習(xí)是 一種由科學(xué)研究的方式推演而成的學(xué)習(xí)方式 ．聚焦課堂教學(xué)是探究性學(xué)習(xí)的著力點(diǎn) ．在操作活

1

引

言

究性學(xué)習(xí)以其獨(dú)特的 、 用類(lèi)似科學(xué)研究的方式去探

自 2001 年中國(guó)開(kāi)始實(shí)施基礎(chǔ)教育課程改革以來(lái)，探

究 、獲 取和 應(yīng)用 知識(shí) 而成為 新 一輪改 革的 一大 亮

沒(méi)有產(chǎn)生應(yīng)有的影響 ．課堂教學(xué)是教學(xué)變革的主戰(zhàn)場(chǎng) ， 探究性學(xué)習(xí)只有變成課堂教學(xué)中的 一種常見(jiàn)方式 ，才能 由一種開(kāi)放的教育思想 [3]變成可行的教學(xué)實(shí)踐．

點(diǎn) ．然而，就教學(xué)實(shí)踐的反饋來(lái)看 ，探究性學(xué)習(xí)并沒(méi)有 既有理念 層面的 ，也有實(shí)施層面的問(wèn)題 ．“探究性學(xué)

發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值 ，往往流于形式 ．原因是多方面的 ， 習(xí) ”既是 一種學(xué)習(xí)觀 ，也是 一種學(xué)習(xí)方式 [1]．作為學(xué) 習(xí)觀 ，探究性學(xué)習(xí)主要指學(xué)生在教師的指引下 ，自主地 理解 、應(yīng)用 、探索、創(chuàng)新知識(shí) 、解決問(wèn)題 ．它 主題為主的“課題”型學(xué)習(xí) ．作為學(xué)習(xí)方式 ，主要 指在課堂教學(xué)中 ，師生通過(guò)共同探究來(lái)促進(jìn)學(xué)生掌握知 學(xué)習(xí)并不神秘 ， 沒(méi)有必要把它與常規(guī)教學(xué)割裂對(duì)立起 可以是 一般的課堂內(nèi)外的學(xué)習(xí)，也可以是以 一定的研究

般意義 上的探究性模式具有普適性 ，可以直接套用于包 括數(shù)學(xué)在內(nèi)的所有學(xué)科 ，從而忽視了數(shù)學(xué)等學(xué)科的內(nèi)在 特性 ．這種理解下的探究性學(xué)習(xí)由于只具有普適性而缺

之所以出現(xiàn) 上述現(xiàn)象 ，原因主要有二 ．一是認(rèn)為 一

乏針對(duì)性，很難對(duì)實(shí)踐進(jìn)行具體有效的指導(dǎo) ．二是把探 究性學(xué)習(xí)等同于科學(xué)家的課題研究 ，混淆了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò) 程中的創(chuàng)造性與科學(xué)家進(jìn)行科研活動(dòng)的創(chuàng)造性 ，忽視了 學(xué)生的思維能力和知識(shí)水平的局限性 ．其結(jié)果必然導(dǎo)致 探究性學(xué)習(xí)程式與教學(xué)旨趣相沖突 ．因?yàn)檎n堂教學(xué)中的 于科學(xué)研究的 目標(biāo) ，學(xué)校的環(huán)境也不同于科學(xué)家的實(shí)驗(yàn) 研究的模式 ， 可能會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力卻無(wú)法促進(jìn)學(xué)生有效參 堂教學(xué)的獨(dú)特性．

識(shí) ，培養(yǎng)學(xué)生探究能力和科學(xué)素養(yǎng)的學(xué)習(xí)方式 ．探究性 來(lái) ．不立足于課堂教學(xué) ，另起爐灶 ，把探究性學(xué)習(xí)當(dāng)作 是難得 一次的“美味佳肴”，在普通高中還存在巨 大升學(xué)壓力的情況下 ，必然會(huì)出現(xiàn)家長(zhǎng)不理解不支持 ， 學(xué)生的主體性不突出 ，主動(dòng)性不強(qiáng)的情況 ：其行之不遠(yuǎn) 也 ． 因此 ， 立足課堂教學(xué) ， 把握數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn) ， 在 性 學(xué) 習(xí) 方 式 非 常 有 “問(wèn)題提出—問(wèn)題解決”的完整過(guò)程中探討探究 意義．

探究主體是學(xué)生 ，不是真正的科學(xué)家 ，教學(xué) 目標(biāo)也不同 基地 ．凡此種種與真正的研究相去甚遠(yuǎn) ，硬性套用科學(xué) 與 ．總之，前者忽視了數(shù)學(xué)的獨(dú)特性 ，而后者忽略了課 作為 一種學(xué)習(xí)方式 ，探究性學(xué)習(xí)只有切實(shí)運(yùn)用于學(xué)

科 ，實(shí)實(shí)在在地根植于課堂 ，才能真正發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià) 數(shù)學(xué)中的大量習(xí)題本身就是開(kāi)發(fā)思維和發(fā)展主動(dòng)探究意 中去尋找 ． 從課堂教學(xué)來(lái)看 ， 課堂的特點(diǎn)在于其簡(jiǎn)捷

值 ．從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)來(lái)看 ，數(shù)學(xué)的思辨特征非常明顯 ，

2
2.1

主

張

性較強(qiáng)的學(xué)科為平臺(tái)加以展開(kāi)的 ，旨在使學(xué)生像科學(xué)家 學(xué)研究聯(lián)系在 一起 ，其基本的程式也就類(lèi)似于科學(xué)研究

探究性學(xué)習(xí)最初是以物理、化學(xué) 、生物等實(shí)驗(yàn)

聚焦課堂教學(xué)——探究性學(xué)習(xí)的著力點(diǎn)

識(shí)及能力的非常好的資源 ，因而不 一定非要到校外實(shí)踐 性 ，即能夠在較短的時(shí)間內(nèi)取得日常生活中需要很長(zhǎng)時(shí)

做研究那樣從事這些科 目的學(xué)習(xí) ，因此，常常將其與科 的 一般范式 ：提出問(wèn)題 —建立假設(shè) —實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 — 解釋評(píng)估 [2] ．流行的做法是把這種模式嫁接 、移植到

間才能達(dá)到的學(xué)習(xí) 目的．從這種意義 上來(lái)講 ，探究性學(xué)

習(xí)可以也應(yīng)該運(yùn)用于課堂教學(xué)之中 ．只要運(yùn)用得法 ，就 一定能夠發(fā)揮探究性教學(xué)促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)展之功效 ，同 時(shí)也能達(dá)到講授式教學(xué)保障學(xué)生高效掌握知識(shí)之目 的 ．探究與傳統(tǒng)的以雙基為特點(diǎn)的教學(xué)并不沖突 ，正如

收稿日期：2013–07–21 基金項(xiàng)目：中國(guó)博士后科學(xué)第五批特別資助——信息技術(shù)推動(dòng)數(shù)學(xué)歷史文化進(jìn)入課堂教學(xué)之研究（2012T50656） 作者簡(jiǎn)介：徐章韜（1976—），男，湖北京山人 ，博士，副教授，國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心博士后 ，主要從事信息技術(shù)支持下的 學(xué)科教學(xué)知識(shí)研究．梅全雄為本文通訊作者．

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育

學(xué)

報(bào)

第 22 卷

丘成桐所言 ，基礎(chǔ)不是體現(xiàn)在背多少公式和法則 ，而是 學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的方法 ． 只要基礎(chǔ)真的打牢 了 ，數(shù)學(xué)研究能力自然就 上來(lái)了 ．可見(jiàn)，探究能力也是 —聚焦課堂教學(xué)是探究性學(xué)習(xí)的著力點(diǎn) ． 2.2 關(guān)注方法——探究性學(xué)習(xí)的基本方式

時(shí)代的進(jìn)步使得數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)不再局限于 “一 只 筆 ，一張紙 ，一個(gè)腦袋”，像幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板 等深入學(xué)科的信息技術(shù)工具就是實(shí)施探究性學(xué)習(xí)的極好 手段 ． 以超級(jí)畫(huà)板為例 ， 這個(gè)智能教育平臺(tái)將動(dòng)態(tài)幾 何 、符號(hào)演算、自動(dòng)推理、編程環(huán)境以及課件制 作等進(jìn)行了有機(jī)地集成 ，發(fā)展成集動(dòng)態(tài)圖形與動(dòng)態(tài)計(jì)算 于 一體的邏輯動(dòng)漫平臺(tái) ．能畫(huà)、能算 、能動(dòng) 、能 變 、能測(cè)，是實(shí)驗(yàn)探索得心應(yīng)手的環(huán)境 ．研究者曾和 級(jí)畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)的垂足曲線(xiàn) [6] ，用超級(jí)畫(huà)板探究圓 錐曲線(xiàn)的斜足曲線(xiàn) [7] ， 用超級(jí)畫(huà)板探究正多邊的性質(zhì)
[8]

雙基的 一 部分 ， 也應(yīng)在課堂教學(xué)中滲透 、 穿插 —

何人都能成為數(shù)學(xué)家 ．大凡世界著名的科學(xué)家 、數(shù)學(xué) 來(lái)指導(dǎo)其研究和教學(xué) ．要在課堂教學(xué)中順利推進(jìn)探究性 基本方式歸納如下 ．

數(shù)學(xué)知識(shí)是人們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)驗(yàn)的精致化 ，但并非任

家都是方法論大師 ，他們無(wú) 一不重視和善于運(yùn)用方法論 學(xué)習(xí) ，就要熟知探究性學(xué)習(xí)的基本方式 ．探究性學(xué)習(xí)的 （ 1 ）在操作活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 ． 如 ， 在 一 張紙 上 畫(huà)

本科生以超級(jí)畫(huà)板為開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)的手段 ，如 ，用超

半徑為 R 的圓 O 和圓內(nèi) 一 定點(diǎn) A ， 且 OA ? a ， 折疊紙

圓錐曲線(xiàn)的 一 個(gè)充要條件 [10] ． 通過(guò)這些探究性學(xué)習(xí)活 動(dòng)，使師范生獲取了做數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn) ． 數(shù)學(xué)不單是 一 門(mén)演繹學(xué)科 ， 還具有實(shí)驗(yàn)科學(xué)的特

，用超級(jí)畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì) [9] ，動(dòng)態(tài)探究

片 ， 使 圓 周 上 某 點(diǎn) A' 正 好 與 A 點(diǎn) 重 合 ． 這 樣 如 此 下 模擬 上述操作 ，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 ．動(dòng)作性 表征 、形象性
[4]

去 ，折痕形成的圖形是什么 ？也可以在動(dòng)態(tài)幾何環(huán)境中 表 征和符號(hào)性 表征是頭腦對(duì)事物經(jīng)驗(yàn) 表征的 3 種方式 ，在操作活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性特征的體現(xiàn) ． （ 2 ）在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ， 并進(jìn)行歸納總結(jié) ．觀察

征 ．深入學(xué)科的信息技術(shù)使得探究性學(xué)習(xí)的開(kāi)展在抽象

思維與形象思維 、動(dòng)手操作與動(dòng)腦思維 ，獨(dú)立思考與 認(rèn)識(shí)過(guò)程． 2.4 教學(xué)工程化——探究性學(xué)習(xí)在課堂教學(xué)中的實(shí)施

合作交流取得協(xié)調(diào)與平衡 ，進(jìn)而使學(xué)習(xí)成為 一個(gè)完整的

是最平常的探究方式 ，但卻往往被人忽視 ，觀察能力的 培養(yǎng)也不受人重視 ．原因之 一在于教師往往沒(méi)有耐心和 以 “趕 ”教學(xué)進(jìn)度．其實(shí)，如果學(xué)生能夠觀察發(fā)現(xiàn) 講解 ． 比如 ， 在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí) ， 可以呈現(xiàn)各種可能的形 時(shí)間等待學(xué)生進(jìn)行觀察 ，就急著告訴他們正確的答案 ， 出規(guī)律 ，就能起到舉 一反三的作用 ，其效率不亞于直接 式 ，讓學(xué)生在觀察中歸納出各種數(shù)列的特征 ，然后 ，再 將其進(jìn)行推廣 ，并將推廣過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行修正或 鞏固．

下達(dá)課堂”．探究性學(xué)習(xí)是 一種由科學(xué)研究的方式推

按李秉彝先生的說(shuō)法 ，數(shù)學(xué)教育要 “上通數(shù)學(xué)，

演出來(lái)的學(xué)習(xí)方式 ，算得 上“上通數(shù)學(xué)”了 ，如何 通過(guò)教學(xué)工程化使其 “下達(dá)課堂 ”是教育理念走向 教學(xué)實(shí)踐的必經(jīng)之途 ． 2.4.1 在命題課中大力開(kāi)展發(fā)現(xiàn)式問(wèn)題探究

展往往經(jīng)歷了 一個(gè)十分艱難的過(guò)程 ，公式、定理的形 結(jié)果 ．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思

探索是數(shù)學(xué)的生命線(xiàn) ．許多數(shù)學(xué)概念的發(fā)生 、發(fā)

比有利于發(fā)現(xiàn)共性和規(guī)律性的東西 ；反比則有利于發(fā)現(xiàn) 不同 ，體現(xiàn)出不同個(gè)體的特點(diǎn) ．這種探究的方式在數(shù)學(xué) 加減法運(yùn)算時(shí) ，可通過(guò)反比整式的加減法法則及理論依 據(jù)，找到它的理論依據(jù) ． 教學(xué)中具有相當(dāng)重要的意義 ．比如 ，在學(xué)習(xí)二次根式的

（ 3 ）在比較中聯(lián)想 ． 比較可分為類(lèi)比和反比 ． 類(lèi)

成也不是靈光 一閃的結(jié)果 ，而是歷代數(shù)學(xué)家苦心孤詣的 維活動(dòng) ，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的結(jié)果 ，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維 的素材 ，主動(dòng)探究學(xué)習(xí) ，其一般程序?yàn)?：觀察 —試驗(yàn) 同的表現(xiàn)．如在命題課和習(xí)題課中的表現(xiàn)就大不 一樣 ． 命題就其生成方式和作用而言 ，可分為原發(fā)性命題

能力的過(guò)程 ．這就要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下 ，設(shè)計(jì)恰當(dāng) —思索 —猜想 —證明 ，但在不同的課型中會(huì)有不

眾所周知，它對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示可能主要在于 ：教學(xué) 要讓學(xué)生大膽猜想 ，而不只是讓他們直接接受教師所傳 遞的知識(shí)，學(xué)生的猜想會(huì)引起探究性學(xué)習(xí)的 欲望 ，是創(chuàng) 造性的 表現(xiàn) ，而驗(yàn)證同樣是 一種探究 ，它有利于培養(yǎng)學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度 ． “問(wèn)題 —解 ”是數(shù)學(xué)發(fā)展的張力 ．學(xué)會(huì)提出
[5]

（ 4 ）通過(guò)猜想和驗(yàn)證來(lái)解決問(wèn)題 ． 哥德巴赫猜想

和繼發(fā)性命題 ．原發(fā)性命題是建立某 一學(xué)科知識(shí)體系不 可缺少的命題，是最基本的 命題 ，其作用類(lèi)似于公 理 ．繼發(fā)性命題是原發(fā)性命題的推廣和應(yīng)用 ．命題的類(lèi) 型不同 ，探究教學(xué)的著眼點(diǎn)也不同 ．原發(fā)性命題的探究 性學(xué)習(xí)著眼于命題出現(xiàn)的必要性 ．例如 ，在講授“數(shù) 學(xué)歸納法”時(shí) ，教師就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)

問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義不言而喻 ．從局部可

以反映整體的全息理論 來(lái)看 ，能見(jiàn)微知著 ，具有問(wèn)題 意識(shí)又具有 一整套提出問(wèn)題的方法 ，是實(shí)施探究性學(xué)習(xí) 的先行條件之一． 2.3 關(guān)注手段——深入學(xué)科的信息技術(shù)在探究性學(xué)習(xí)中 在物理學(xué)、化學(xué)的探究性學(xué)習(xí)中，有多種儀 大有作用

生的必要性 ．有兩種普通歸納法 ：一類(lèi)是不完全歸納法 類(lèi)是完全歸納法 ——對(duì)每一部分逐 一考察 ，結(jié)論可 靠 ， 但有時(shí)又難于做到 ． 怎樣做到結(jié)論可靠 ， 操作方 —數(shù)學(xué)歸納法 ．這種新的歸納法既要克服不完全歸納

——僅僅是考察事物的 一部分 ，結(jié)論不可靠 ；另一

便 ？這迫使人們從方法論的角度去探索新的歸納法 — 法的缺陷，又要能克服完全歸納法的缺陷 ，做到既可操

器 、設(shè)備等先進(jìn)手段可以獲取實(shí)驗(yàn)所需的數(shù)據(jù) ．信息

第6期

徐章韜等：論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí) 定理．

3

作 ，推出的結(jié)論又可靠 ．對(duì)繼發(fā)性命題 ，不僅要著眼于 命題的發(fā)生 、 發(fā)現(xiàn)的必要性 ， 還要注意其獨(dú)特的功 能 ，注 意它 的應(yīng) 用．如，三 垂線(xiàn) 定理 是《立體 幾

何 》的核心內(nèi)容 ，這個(gè)命題的發(fā)現(xiàn)自然重要 ．當(dāng)人們 保持刀刃與草料垂直呢？從 而，從省功省力的角度

有效法寶．具體的做法有如下 3 種模式：

這是中國(guó)習(xí)題教學(xué)的寶貴經(jīng)驗(yàn) ，是應(yīng)對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)的 （ 1 ）問(wèn)題解決的自然式探究模式 ． 數(shù)學(xué)家懷特尼

用鍘刀鍘草料時(shí) ，發(fā)現(xiàn)刀刃垂直于草料時(shí)最省力 ，如何 “發(fā)現(xiàn)”了三垂線(xiàn)定理．這是物理經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)

曾號(hào)召 ：“ 讓研究工作來(lái)得自然些 ．” [12] 他曾指 出 ：“創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)工作并非少數(shù)天才所專(zhuān)有 ，它可 自然的行動(dòng) ．” [12] 張景中院士也說(shuō)同樣解決 一 個(gè)問(wèn) 以是 我們之中有強(qiáng)烈意愿與充分自主性的任何人的順乎 題 ，同樣建立 一個(gè)體系，方法上有難易的區(qū)別 ，要把數(shù) 學(xué)變得容易 一些．有 一些題 目，最初的解答并不十分自 然 ，經(jīng)過(guò)眾多的解題愛(ài)好者的切磋討論 ，就產(chǎn)生了較為 過(guò)獨(dú)立、反復(fù)地推敲與總結(jié)，尋找更好、更完

化 ．三垂線(xiàn)定理之所以重要 ，更多的是在于它的應(yīng)用 ， 在于它簡(jiǎn)化、甚至縮短了線(xiàn)面垂直的判定過(guò)程 ，在于 垂直 、求點(diǎn)線(xiàn)距 、作二面角的平面角時(shí) ，三垂線(xiàn)定 學(xué)化繁為簡(jiǎn)的本質(zhì)特性 ， 使人們不再用蠻力去解決問(wèn) 題． 根據(jù)上述，命題探究課應(yīng)大致遵循以下步驟 ： 它具有線(xiàn)面垂直定理所不具備的獨(dú)特功用 ．在判定線(xiàn)線(xiàn) 理盡顯快速方便之效 ．三垂線(xiàn)定理的求簡(jiǎn)功效反映了數(shù)

自然的方法 ．教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的解題實(shí)踐 ，通 善 、更自然的解法 ，來(lái)提高自己的解題能力 ．研究者 曾在這方面做過(guò)大量的經(jīng)驗(yàn)研究 [13]，使一些較難的競(jìng)賽 題也走進(jìn)了教學(xué)之中 ． （ 2 ）溯源式問(wèn)題本源探究模式 ． 這是指有意識(shí)地

（1）精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的探索 欲望； （2）引導(dǎo)學(xué)生自主探究，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)有關(guān)結(jié)論； （3）注重暴露思維過(guò)程，讓學(xué)生探索論證方法 ； （4）反思探索過(guò)程 ，優(yōu)化完善學(xué)生的思維品質(zhì) ； （5）加強(qiáng)變式應(yīng)用 ，發(fā)展創(chuàng)新能力 ．

探究問(wèn)題的本源 ，與問(wèn)題的編制者換位思考 ，揣摩問(wèn)題 的編制思路 ．常常探究問(wèn)題的編制過(guò)程 ，溯其源 ，追其 蹤 ，既會(huì)解題 ，又會(huì)命題 ，用不著題海無(wú)涯苦作舟 ，就 囿于知識(shí)水平 ，或囿于能力水平 ，但可貴的是有這種探 究的意識(shí) ， 經(jīng)過(guò) 一 定的鍛煉 ， 就能逐漸掌握探究的方 法． 能達(dá)到較高的境界 ．識(shí)破習(xí)題的本源有時(shí)并不容易 ，或

式 、法則的發(fā)現(xiàn)過(guò)程和證明思路的分析 ，而忽視定理

但并非在所有步驟 上平均用力 ．如 ，不能只注重公

指導(dǎo)下的題型歸類(lèi)訓(xùn)練 ，忽略公式法則的引申和逆向運(yùn) 訓(xùn)練 ， 能力得到提高 ； 訓(xùn)練跟得 上， 確保知識(shí)得到鞏 固，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以形成 ． 2.4.2 在習(xí)題課中大力開(kāi)展 3 個(gè)層次的探究

用 ，等等．理解優(yōu)先 ，發(fā)現(xiàn)優(yōu)先 ，確保學(xué)生的思維得到

學(xué)生形成舉 一反三的能力 ，否則就會(huì)陷于題海而不能自

（ 3 ）問(wèn)題推廣式探究模式 ． 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要引導(dǎo)

思和創(chuàng)新過(guò)程中成長(zhǎng)與發(fā)展的 ．要成為創(chuàng)新型人才 ，，不 僅要能解決別人給出的問(wèn)題 ，更重要的是自己能發(fā)現(xiàn)問(wèn) 題 、提出問(wèn)題 、解決問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律 、形成理

教育學(xué) 、心理學(xué)的研究 表明，學(xué)生是在動(dòng)態(tài)的反

拔 ．而舉一反三能力的形成 ，就需要學(xué)生具有 一種不斷 探究如何推廣試題的意識(shí)和能力 ．由于引申 、推廣在 數(shù)學(xué)中的普遍性 ，可以將這種探究融入習(xí)題教學(xué)的各個(gè)

方面 ，使之成為建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的良好方式 ．這不僅可以 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 ，還有利于學(xué)生形成有機(jī)的知識(shí)結(jié) 構(gòu) ．無(wú)怪乎波利亞說(shuō) “一個(gè)有意義題 目的求解，為解 新 科 學(xué) ， 甚 至 通 向 一 個(gè) 科 學(xué) 新 生 紀(jì) 元 的 門(mén)戶(hù)”[14]．

論 ．當(dāng)然，期望學(xué)生能原創(chuàng)性提出問(wèn)題 ，還不太現(xiàn)實(shí) ， 但教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在成功解題后進(jìn)行反思 ，能否變 更 條件和設(shè)問(wèn)方式使題 目的難度提高或降低 ，能否弱化題 目的條件，能否強(qiáng)化題 目的結(jié)論 ，能否由此及彼聯(lián)想到 論 ……解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心環(huán)節(jié)之 一．從 一定意 其它問(wèn)題 ， 能否做些引申 、 推廣 ， 得到 更一般 的結(jié) 義 上 講 ， 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題 ． 正如波利亞所言 ， 不僅能解決 一般的問(wèn)題，而且能解決需要某種程度的獨(dú) 立思考 、判斷力、獨(dú)斷性的想象力的問(wèn)題 ．” 學(xué) 習(xí) 方 式 ． 習(xí) 題 探 究 大 體 可 分 為 層次 ： 求 遷 3 對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題的探究是教學(xué)中最常見(jiàn) 、最直接的探究性 個(gè)

此題所花的努力和由此得到的見(jiàn)解 ，可以打開(kāi)通向 一門(mén)

3

討

論

“什么是數(shù)學(xué)技能 ？數(shù)學(xué)技能就是解題能力 ——
[11]

文本作者的原意 ； 文本本身的意義 ； 讀者領(lǐng)悟的意義
[15]

對(duì)任何一門(mén)學(xué)科而言 ，存在相互聯(lián)系的 3 種意義：

數(shù)學(xué)家；知識(shí)的“傳播者”，即教師，知識(shí)的 “接受者”，即學(xué)生 ．通常理解的探究性的學(xué)習(xí)方

．與此相對(duì)就有 3 種人：知識(shí)的“生產(chǎn)者”，即

式 ，就是要使學(xué)生從知識(shí)的“接受者 ”、“消

費(fèi)者 ”角色轉(zhuǎn)變成知識(shí)的擬 “生產(chǎn)者 ”．這種主 張得到了學(xué)術(shù)頂 層人物的大力倡導(dǎo) ．如，著名數(shù)學(xué)教育 行 “再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自 家弗登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào) [16]，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯 一正確的方法是實(shí) 己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái) ．只有通過(guò)自己的再創(chuàng)造而獲得的知

（ 1 ）一 題多解 ， 即在解題方法 上， 從常規(guī)到發(fā)散 （ 2 ）變式訓(xùn)練 ， 即在問(wèn)題形式 上， 從常態(tài)到變式 （ 3 ） 引申推廣 ， 即 在 問(wèn) 題 性 質(zhì) 上 ， 從 習(xí) 題 中 提 移 異

； ；

識(shí)被掌握和靈活應(yīng)用 ；而 更為重要的是 ，數(shù)學(xué)是人的 一 種活動(dòng) ，如同游泳 一樣，要在游泳中學(xué)會(huì)游泳 ．因此必

煉出

4

數(shù)

學(xué)

教

育

學(xué)

報(bào)

第 22 卷

須在創(chuàng)造中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) ．一言以蔽之 ，知識(shí)不是被動(dòng)接受

的 ，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的 ．從認(rèn)識(shí)論的角度 ，從科 學(xué)研究角度看 ，上述論斷無(wú)疑是先進(jìn)的 ，但是從學(xué)科教 了 ，“傳播者 ”不見(jiàn)了 ．當(dāng) 上述理念植入到課堂教 從． 學(xué)的角度看 ，上述論斷的最大缺陷是 “教師 ”不見(jiàn) 學(xué)中時(shí) ，就產(chǎn)生了很多問(wèn)題 ，一線(xiàn)教師普遍感到無(wú)所適 科學(xué)研究與學(xué)科教學(xué)是兩種旨趣不同的活動(dòng) ．科學(xué)

“演義 ”式的方法再現(xiàn)概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程 ，同樣

能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的 目標(biāo) ．因此提倡在命題課中 ，通 過(guò)創(chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題情境獲取“情境 —經(jīng)驗(yàn)型 ”過(guò) 程知識(shí) ；在習(xí)題課中 ，通過(guò)問(wèn)題解決獲取 “問(wèn)題 — 解決型 ”過(guò)程知識(shí) ；在反思質(zhì)疑中獲取 “方法 — 觀念型”過(guò)程知識(shí)．這是切合科學(xué)研究的“研 究 ” 工程化為學(xué)科教學(xué)的探究性學(xué)習(xí)的 一 種可行做 （1）照葫蘆畫(huà)瓢地模仿；

研究的任務(wù)在于生產(chǎn)新知識(shí) ，走前人沒(méi)有走過(guò)的路 ，學(xué) 科教學(xué)的任務(wù)在于在有限的時(shí)間傳遞人類(lèi)知識(shí)的優(yōu)秀成 果，同時(shí)在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng) 學(xué)生的能力．作為知識(shí) “傳播者”角色的教師不能消失 ，他們可以幫助學(xué)

法．華羅庚先生曾指出做研究的 4 種境界[17]： （2）利用成法解決幾個(gè)問(wèn)題； （3）創(chuàng)造方法，解決問(wèn)題； （4）開(kāi)辟方向．

生 更好地 、更有效地領(lǐng)會(huì)知識(shí) “生產(chǎn)者”的心路

歷程而少走彎路 ，達(dá)到高效地發(fā)展智能的 目的．教師不 的方式 ． 在教學(xué)中 ， 教師的啟發(fā)式講解也是非常重要

能把探究性學(xué)習(xí)看成是學(xué)生學(xué)習(xí)最為重要 ，甚至是唯 一 的 ，否則學(xué)習(xí)質(zhì)量和效益都無(wú)法保證 ．如 ，不主張?jiān)诟?概念可能是開(kāi)辟了 一 個(gè)方向 ， 也可能是創(chuàng)造了 一 個(gè)方

研究之路．基于課堂探究性學(xué)習(xí)大致擬合了做數(shù)學(xué)研究 需要學(xué)生自己的悟性和教師 的引領(lǐng)，學(xué)生得益于課 外．接受性學(xué)習(xí)和探究性都有其存在價(jià)值．

華先生也指出，只有經(jīng)歷前兩個(gè) 層次才能踏上科學(xué)

的前 3 個(gè)層次，學(xué)生得法于課內(nèi) ．最后一個(gè)層次的達(dá)到

念課中進(jìn)行探究性學(xué)習(xí) ．因?yàn)樵诳茖W(xué)研究中 ，提出 一個(gè) 法 ．如 ，極限概念的提出 ，就開(kāi)辟了無(wú) 窮小分析這樣 一 個(gè)方向 ．要在教學(xué)中讓學(xué)生探究性地摸擬這 一概念的形 成過(guò)程 ，涉及到觀念的變 更，不符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特 點(diǎn) ，不符合教學(xué)的簡(jiǎn)約性規(guī)律 ．教師若能生動(dòng)地 、用

天 ，不能像翻烙餅 一樣，抬高一種理論，打壓另 一種理 方的閃光點(diǎn) ，并不斷注入新的活力 ，基于課堂教學(xué)的探 理念不一定是可以教學(xué)工程化的理念 ．

在倡導(dǎo)教育革新的今天 ，在各種理念相互碰撞的今

論 ．各種理論都應(yīng)當(dāng)相互尊重 ，尋求對(duì)話(huà) ，努力汲取對(duì) 究性學(xué)習(xí)就是這樣 一種理念 ．離開(kāi)課堂，拋棄了教師的

［參 考 文 獻(xiàn)］ [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] Schwab J J. The Teaching of Science as Inquiry [M]. Harvard University Press, 1962. 寧連華．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科探究性學(xué)習(xí)的特征及其指導(dǎo)策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2004，（7）：3-6． 李華．探究式科學(xué)教學(xué)的本質(zhì)特征及問(wèn)題探討[J]．課程·教材·教法，2003，（4）：55-59． 布魯納．布魯納教育論著選 [M]．邵瑞珍譯．北京：人民教育出版社 ，1989． 楊之．?dāng)?shù)學(xué)中的全息現(xiàn)象[J]．中等數(shù)學(xué)，1990，（1）：13-16． 李俊杰，徐章韜．用超級(jí)畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)的垂足曲線(xiàn) [J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2011，（9）：28-30． 李俊杰 ， 徐章韜 ． 用超級(jí)畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)的斜足曲線(xiàn) ： 獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的 一 則案例 [J] ． 數(shù)學(xué)通訊 ， 2012，（9）：37-39． 汪文，徐章韜．用超級(jí)畫(huà)板探究正多邊形的性質(zhì)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，（10）：63-65． 汪文，徐章韜．用超級(jí)探究圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2011，（7）：19-21． 陳清華，徐章韜．動(dòng)態(tài)探究圓錐曲線(xiàn)的 一個(gè)充要條件[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2011，（11）：16-18． 喬治·波利亞．?dāng)?shù)學(xué)與猜想 [M]．李心燦譯．北京：科學(xué)出版社，1984． 張筑生．讓解題的思路來(lái)得自然[J]．中等數(shù)學(xué)，1990，（1）：13-15． 徐章韜 ，王進(jìn)．用遞推關(guān)系簡(jiǎn)解 2006 年全國(guó)高中聯(lián)賽加試壓軸題 [J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 ，2008，（9）： 32-33． 喬治·波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) [M]．歐陽(yáng)繹譯．北京：科學(xué)出版社，1982． 張華．我國(guó)普遍主義教學(xué)方法論 ：反思與超越[J]．全球教育展望 ，2009，（9）：8-15． 弗賴(lài)登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，1995． 華羅庚．華羅庚科普著作選集 [M]．上海：上海教育出版社 ，1984．

Discussion of the Inquiry Learning Based on Mathematics Classroom Instruction
XU Zhang-tao, MEI Quan-xiong (College of Mathematics and Statistics, Central Normal University, Hubei Wuhan 430079, China) Abstract: The inquiry learning is a ways of learning derived by the mode of scientific research. Focusing on classroom teaching is the fulcrum of inquiry learning. Finding problems in the operating activities, and finding laws in the observation, and develop association in the comparison, and solving problem through conjecture and verification are the antecedent conditions to carry out the inquiry learning. Carrying out the inquiry learning based on problems in proposition classroom, and Carrying out three levels of inquiry learning are the implementation strategies to engineer the inquiry learning.

第6期

徐章韜等：論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)

5

Key words: inquiry learning; classroom instruction; pedagogical knowledge engineering

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》副主編通訊投票結(jié)果
《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 》第三屆副董事長(zhǎng) 、副主編（擴(kuò)大）會(huì)議于 2013 年 9 月 20—22 日在江蘇師范大學(xué)召 開(kāi)．會(huì)議就以下事項(xiàng)進(jìn)行了決議 ： （1）增加華中師范大學(xué)、陜西師范大學(xué)、云南師范大學(xué)為 《學(xué)報(bào)》協(xié)辦單位． （2）會(huì)議確認(rèn)華中師范大學(xué)彭雙階教授 、陜西師范大學(xué)趙彬教授 、云南師范大學(xué)王濤教授為 《學(xué)報(bào) 》 副董事長(zhǎng)． （3）會(huì)議推薦華中師范大學(xué)朱長(zhǎng)江教授 、陜西師范大學(xué)黃秦安教授為 《學(xué)報(bào)》副主編 ．副主編人員的確 定通過(guò)通訊投票的方式進(jìn)行． 共發(fā)出選票 155 張（85 個(gè)董事單位 ），截止 2013 年 11 月 20 日，共 74 個(gè)董事單位回復(fù)選票 135 張，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如 下： 姓名 朱長(zhǎng)江 黃秦安 同意 134 133 不同意 0 0 棄權(quán) 1 2

授、云南師范大學(xué)王濤教授自 2013 年起擔(dān)任《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 》副董事長(zhǎng)；華中師范大學(xué)朱長(zhǎng)江教授、陜西 師范大學(xué)黃秦安教授自 2013 年起擔(dān)任 《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》副主編．

依據(jù)《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 》董事會(huì)章程（2002–06–16 修訂），華中師范大學(xué)彭雙階教授、陜西師范大學(xué)趙彬教

結(jié)果



  本文關(guān)鍵詞：論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。