1 緒論

1.1 引言

非線性是自然界中的廣泛存在的一種科學(xué)現(xiàn)象，事物之間的發(fā)展及其關(guān)系都是非線性的。非線性科學(xué)的研究范疇通常包括：混沌（chaos）、分岔（birfurcation）、分形（fractal）和復(fù)雜性（complexity）[1]，而混沌是非線性科學(xué)研究中的最前沿問題，這一理論的內(nèi)涵指的是復(fù)雜的確定性系統(tǒng)中存在著隨機性和不可預(yù)測性，混沌理論的貢獻在于可以用簡單的模型獲得明確的非周期結(jié)果，它改變了人們以往的自然觀。科學(xué)家們普遍認為，二十世紀(jì)科學(xué)有三大輝煌的奇跡，它們分別就是相對論、量子論和混沌論[2]，混沌理論的問世，很快就引起學(xué)界廣泛關(guān)注，并成為研究和解釋混沌現(xiàn)象的有用工具�；煦缋碚撈鸬搅诉B接確定論與概率論兩大科學(xué)體系的橋梁作用，揭開了現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的嶄新篇章�；煦缋碚摰难芯糠脚d未艾，如何將混沌研究碩果應(yīng)用到實際生產(chǎn)生活中，能夠為人類服務(wù)，成為了非線性科學(xué)發(fā)展所面臨的新的挑戰(zhàn)。混沌的應(yīng)用是混沌發(fā)展的機遇，它將推動人們對混沌本質(zhì)的認識更加深刻，在應(yīng)用過程中遇到的許多新問題將進一步推動混沌的研究和發(fā)展[3]。

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1.2 混沌的歷史及發(fā)展

早在 1903 年，法國數(shù)學(xué)家 Poincaré在其著作“Science and method”中，提出了著名的 Poincaré猜想，指出可能存在著混沌現(xiàn)象。直到 1960 年前后，才出現(xiàn)了具有突破性的進展，俄羅斯數(shù)學(xué)家 Kolmogorov 和 Arnold 以及德國數(shù)學(xué)家 Moser 的共同提出了經(jīng)典的 KAM 理論，證明混沌現(xiàn)象在耗散系統(tǒng)與保守系統(tǒng)中都有可能出現(xiàn)。1963 年，美國麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家 Lorenz 教授在研究氣象預(yù)報時，對無窮維動力系統(tǒng)的 Rayleigh-Bénard 熱對流問題進行三維截斷得到了著名的 Lorenz 系統(tǒng)[4]，因而被譽為“混沌之父”。1970 年，美國科學(xué)家 Kuhn 發(fā)表了“The Structure of Scientific Revolutions”[5]一書出版，推動了混沌理論的發(fā)展。1975 年，美國華裔學(xué)者 Li 與其導(dǎo)師 Yorke 教授在“American Mathematical”雜志上發(fā)表了對混沌發(fā)展有著重大意義的論文“Period threeimplies chaos”[6]，深刻的揭示了從有序運動到混沌運動的一系列變化過程。“Chaos”一詞在這篇論文中用來指代混沌。

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2 混沌相關(guān)知識和理論概述

2.1 混沌的定義

“混沌”或“渾沌”一詞最早出現(xiàn)在中國古代和希臘的神話故事中，隨著社會的發(fā)展，人類文明的進步，“混沌”一詞被中外的文學(xué)、藝術(shù)、宗教書藉和科學(xué)著作所不斷采用[23]。到了近現(xiàn)代，“混沌”被越來越多的人熟知，并且在各種書刊雜志、文獻著作中以非常高的頻率出現(xiàn)[24]。幾個世紀(jì)以來，混沌的涵義不斷更新，在不同的學(xué)科和文化背景下，有關(guān)混沌概念也有著不同的內(nèi)涵。關(guān)于混沌定義的演化歷程我們劃分為古代理解的混沌、一般科學(xué)混沌涵義和具有嚴(yán)格定義的非線性科學(xué)混沌三個層次[25]。由于混沌系統(tǒng)具有特殊的奇異性和復(fù)雜性，所以在各個領(lǐng)域的定義尚未完全統(tǒng)一，最簡單而直觀的定義是：如果系統(tǒng)對初值具有敏感依賴性以及出現(xiàn)非周期運動，那么系統(tǒng)就是混沌的。為了深入研究混沌現(xiàn)象及其本質(zhì)，特別是搞清它的定性定量特征，必須給出一個嚴(yán)格的科學(xué)定義[26]。迄今為止非線性動力學(xué)對混沌的研究最為合理且嚴(yán)謹，這些定義從數(shù)學(xué)和物理學(xué)的角度出發(fā)，并且出現(xiàn)了一些實際測量的標(biāo)度和可供理論判定的定義，這些定義成為了混沌學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展的基石，當(dāng)中 Li-Yorke 定義和 Devaney 定義是學(xué)界最為公認的、影響較大的數(shù)學(xué)定義[27]。

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2.2 混沌的特征

通過迄今為止人們對混沌的研究和認識，混沌至少具備如下特性：（1）對初始條件的敏感性。這是與其他運動不同的混沌的本質(zhì)特征；（2）內(nèi)隨機性�；煦邕\動狀態(tài)具有隨機性，運動狀態(tài)和軌跡是無法準(zhǔn)確預(yù)測的；（3）標(biāo)度性。標(biāo)度性指混沌的運動是無序中的有序態(tài)，在局部小的混沌區(qū)域內(nèi)，存在著有序的運動狀態(tài)；（4）有界性。混沌吸引子始終局限在于一個限定的區(qū)域范圍內(nèi)；（5）遍歷性。混沌運動在其混沌區(qū)域內(nèi)遍歷各種混沌狀態(tài)[29]，即在有限時間內(nèi)混沌軌道會經(jīng)過混沌區(qū)域內(nèi)狀態(tài)的的每一個點；（6）分維性。分維是混沌的運動軌線在相空間中的顯現(xiàn)出的行為狀態(tài)特征，混沌運動狀態(tài)表現(xiàn)為無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)；（7）普適性。普適性[30]是指不同混沌系統(tǒng)在到達混沌狀態(tài)時所表現(xiàn)出來的共有的特征，它不隨著具體的系統(tǒng)方程或參數(shù)而發(fā)生變化，如著名的 Feigenbaum 常數(shù)等混沌普適常數(shù)。普適性反映了混沌的一種內(nèi)在的規(guī)律。

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3 Couette-Taylor 流系統(tǒng)與地磁系統(tǒng)介紹...............9

3.1 兩個 Couette-Taylor 流系統(tǒng)...............9

3.2 地磁系統(tǒng).................11

4 Couette-Taylor 流系統(tǒng)動力學(xué)行為分析及控制與同步研究...............12

4.1 動力學(xué)行為分析與數(shù)值仿真...............12

4.2 全局指數(shù)吸引集和正向不變集...............14

5 新 Couette-Taylor 流系統(tǒng)的動力學(xué)行為分析及控制與同步研究...............26

5.1 動力學(xué)行為分析...............26

5.2 動力學(xué)行為的數(shù)值仿真...............28

6 地磁系統(tǒng)的混沌行為及其仿真與同步研究

6.1 動力學(xué)行為分析與數(shù)值仿真

由O點發(fā)出的軌線繞過P或P后穿過O的穩(wěn)定流形曲面到達另一側(cè)，兩側(cè)軌線互相滲透，形成暫態(tài)混沌（圖 6.6）。圖6.20是系統(tǒng)（6.1）關(guān)于狀態(tài)變量x的分岔圖，圖6.21為系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)圖象，圖 6.22 為系統(tǒng)的 Poincaré截面圖，通過圖象可以看出系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象，并且觀察到混沌現(xiàn)象從發(fā)生到終止的一系列過程。18.357R21.538時，，混沌吸引子逐步收縮成極限環(huán)，出現(xiàn)了倒分岔過程，數(shù)值結(jié)果表明分岔點滿足費根鮑姆常數(shù)（圖 6.12-6.14）。

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6.2 全局指數(shù)吸引集和正向不變集

本章研究了地磁系統(tǒng)的混沌行為，并進行了數(shù)值仿真。做出了全局穩(wěn)定性分析，給出了平衡點控制方案。設(shè)計了線性反饋控制器實現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)同步。最后，數(shù)字仿真驗證了同步的理論效果。對于定理 6.2 中的控制器，選取反饋增益，則響應(yīng)系統(tǒng)（6.23）和驅(qū)動系統(tǒng)（6.22）的同步如圖 6.23 所示，同步誤差e(t)隨時間t的變化如圖 6.24 所示。仿真結(jié)果表明，響應(yīng)系統(tǒng)（6.23）和驅(qū)動系統(tǒng)（6.22）達到同步時間很短，誤差很快趨于0。

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結(jié)論

本文對兩個 Couette-Taylor 流系統(tǒng)和地磁系統(tǒng)進行了動力學(xué)分析與控制方面研究。首先，對 Couette-Taylor 流系統(tǒng)進行了線性穩(wěn)定性分析與數(shù)值仿真，探討了該系統(tǒng)的動力學(xué)行為及其軌線的運動狀態(tài)，解釋了 Couette-Taylor 流實驗中對應(yīng)的部分渦流的演化過程。研究了該混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)和正向不變集。給出了 Couette-Taylor 流系統(tǒng)運動軌線全局指數(shù)跟蹤鎮(zhèn)定任意一個不穩(wěn)定平衡位置的反饋控制方案，以及兩個Couette-Taylor 流混沌系統(tǒng)全局指數(shù)同步方法，通過仿真驗證了方法的有效性。然后，對于地磁系統(tǒng)，繪制了系統(tǒng)的軌線圖，并結(jié)合系統(tǒng)的 Lyapunov 指數(shù)圖、吸引子圖、Poincare 截面圖和分岔圖，細致分析了地磁系統(tǒng)隨著參數(shù)變化的每一步的動力學(xué)行為。并且給出了平衡點控制方案，實現(xiàn)了地磁系統(tǒng)的同步，進行了計算機仿真，得到直觀的系統(tǒng)隨著時間變化的誤差圖像，充分的說明了的方法是有效的。本文對混沌理論的研究與應(yīng)用起到一定的豐富作用，尤其是 Couette-Taylor 流問題有著較深遠的意義。對地磁科學(xué)中的非線性研究起到一定程度的補充作用。對于混沌的控制與同步問題只采用了線性反饋方法，沒有采用非線性反饋，自適應(yīng)控制等其他控制方法，需要在以后進一步補充。

參考文獻（略）