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如果泛函分析是指本科生課程的泛函分析的話, 那么與樓上的回答相反, 我認(rèn)為學(xué)完泛函分析幾乎什么也做不了...(如此負(fù)能量)
大學(xué)本科生學(xué)的泛函分析不外乎如下三塊內(nèi)容: Banach空間與Hilbert空間的幾何, 廣義函數(shù)理論初步, Banach空間和Hilbert空間上的有界線性算子和緊算子初步. 這些內(nèi)容都有著很深的物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)背景, 而泛函分析中的這一部分基礎(chǔ)內(nèi)容幾乎全然是具體例子的抽象再表述. 舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子:
(1) 壓縮映像原理抽象自一切含有"小于1的Lipschitz常數(shù)"的存在唯一性問題, 例如微分方程論中Picard存在唯一定理.
(2) Hahn-Banach定理是線性代數(shù)中基底擴(kuò)張定理的推廣, 來(lái)源于凸集的分離問題.
(3) Hilbert 空間的Riesz表示定理和Lax-Milgram定理直接來(lái)自于偏微分方程中的弱解存在性問題.
(4) 緊算子的Riesz-Fredholm理論來(lái)自于線性積分方程的特征值問題.
本科生泛函分析所做的, 不過是將這些具體問題中所共同share的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)抽象出來(lái), 進(jìn)行簡(jiǎn)潔的集中表述. 能夠用本科生泛函分析解決的問題大多已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟, 余下的問題則要么是硬得做不動(dòng), 要么是具有很強(qiáng)的綜合性 (例如綜合了調(diào)和分析), 不能在本科生課程中展開. 幾個(gè)例子:
(1) 線性算子微擾論; 這是典型的綜合性問題, 涉及到比較深的算子代數(shù). 盡管是Hilbert空間上的線性分析, 但其中的一些基本問題 (具有直接物理背景的問題) 遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決.
(2) 直接線性化; 這基本上來(lái)自于橢圓微分方程, 為了研究非線性的橢圓微分方程, 想辦法通過一些巧妙的計(jì)算把它歸結(jié)到線性橢圓算子的情形. 相關(guān)的有Leray-Schauder理論等等理論; 需要說明的是, 這些理論最終都?xì)w結(jié)為先驗(yàn)估計(jì), 其難度比之原問題其實(shí)并不見得減少.
(3) 反函數(shù)定理; 重點(diǎn)不在于定理本身的表述, 而在于這一套方法對(duì)于許多非線性微分方程問題都是適用的. Banach空間上的線性泛函分析用來(lái)處理不夠好的非線性的微分算子是比較頭疼的, 所以就有必要考慮更廣的一類空間. 但這些內(nèi)容因?yàn)樯婕拜^深的調(diào)和分析而過于繁雜, 本科生泛函分析是不可能涉及到的.
總體說來(lái), 本科生的泛函分析課程帶有一定的研究性質(zhì), 但是也只是為后續(xù)的學(xué)習(xí)研究奠定了一個(gè)基礎(chǔ). 這門課的目標(biāo)基本就是讓學(xué)生熟悉抽象分析的語(yǔ)言, 并能夠解決研究中遇到的簡(jiǎn)單問題 (例如某些簡(jiǎn)單的方程的解的存在唯一性), 離真正的研究尚有很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的距離. 一定要學(xué)到非線性泛函分析, 才算是離研究更近了一點(diǎn).

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