本文關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)論文，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

常系數(shù)遞歸數(shù)列的簡(jiǎn)單推廣及其應(yīng)用
摘 要：本文利用 k 階級(jí)線性差分方程及常系數(shù)非齊次微分方程特解的設(shè)解規(guī) 律對(duì) k 階常系數(shù)線性遞歸數(shù)列進(jìn)行簡(jiǎn)單推廣到了 k 階常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列， 并 進(jìn)行了多類型的設(shè)解及其應(yīng)用總結(jié)， 又引進(jìn)矩陣?yán)碚撛黾恿?k 階線性遞歸數(shù)列通項(xiàng)公 式的求法，拓寬其應(yīng)用范圍。 關(guān)鍵詞：遞歸數(shù)列；差分方程；設(shè)解；矩陣

本學(xué)期

， 在吳克儉老師的指導(dǎo)下我們進(jìn)行了組合數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)探究，主要 的內(nèi)容包括了排列與組合，二項(xiàng)式系數(shù)，調(diào)和數(shù) Fibonacci 數(shù)和 Catalan 數(shù)，第二 類 Stirling 數(shù)和 Bell 數(shù)，第一類 Stirling 數(shù)，正整數(shù)的分拆，Bernoulli 數(shù)與 Euler 數(shù)，遞歸數(shù)列，形式冪級(jí)數(shù)等知識(shí)內(nèi)容，而在本文當(dāng)中，我選取了吳老師課堂上 沒有深入探討的關(guān)于遞歸數(shù)列的部分知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行了簡(jiǎn)單的推廣與應(yīng)用， 即有對(duì) 常系數(shù)遞歸數(shù)列進(jìn)行簡(jiǎn)單的推廣及其應(yīng)用。 第一部分：遞歸數(shù)列的知識(shí)回顧： 1、遞歸關(guān)系 2、齊次常系數(shù)線性遞歸關(guān)系：1）k 階常系數(shù)齊次線性遞歸關(guān)系 2）k 階齊 次線性遞歸關(guān)系 3、其他遞歸關(guān)系：1）非齊次常系數(shù)線性遞歸關(guān)系 2）卷積型遞歸關(guān)系 3） 雙下標(biāo)遞歸關(guān)系 第二部分：推廣與應(yīng)用 一、 對(duì)于常系數(shù)齊次線性遞歸關(guān)系的簡(jiǎn)單推廣，即 k 階常系數(shù)非齊次線性遞 歸關(guān)系。 為 了 方 便 ，我 們 可 以 設(shè) k 階 常 系數(shù) 非 齊 次線 性 遞 歸 數(shù)列 的 一 般形 式 為
p 0 a n ? k ? p 1 a n ? k ?1 ? ? ? p k a n ? f ( n ), ( p 0 ? 0 )

（1）其中

f (n)

，(n=O，1，2，...)

是一給定的數(shù)列， p 0 , p1 , ? , p k 是給定的常數(shù)。顯然，我們可以得到與(1)所對(duì)應(yīng) 的k階常系數(shù)齊次線性遞歸數(shù)列是 p 0 a n ? k ? p1 a n ? k ?1 ? ? ? p k a n ? 0 , ( p 0 ? 0 ) （2）

由吳老師課堂筆記中 3、其他遞歸數(shù)列關(guān)系1）非齊次常系數(shù)線性遞歸關(guān)系 的部分內(nèi)容可以了解到，(1)的通解等于(2)的通解加上(1)的一個(gè)特解。而對(duì)于 常系數(shù)齊次線性遞歸數(shù)列(2)的通解，我們可以用定理8.1至定理8.4中的特征方 程與特征根及待定系數(shù)的方法進(jìn)行解答從而求出（2）的通解，或者通過母函數(shù)、 矩陣等方法也求出，不管怎樣，求(1)的通解關(guān)鍵就在于求出(1)的一個(gè)特解。 若僅僅局限于特征方程與特征根及待定系數(shù)法是不能對(duì)一般的常系數(shù)非齊 次線性遞歸數(shù)列進(jìn)行求解的，只有當(dāng)
f (n)

是具有某些特殊形式的函數(shù)時(shí)，例如：

① f ( n ) 是n的t次多項(xiàng)式時(shí)，此時(shí)1便是常系數(shù)齊次線性遞歸數(shù)列（2）的 l 重特征

根 (l

? 0 ) ，那么（1）的特解可以通過待定系數(shù)的方法求出。② f ( n )

= a n 時(shí)，a便

是常系數(shù)齊次線性遞歸數(shù)列（2）的 l 重特征根 ( l

? 0 ) ，那么（1）的特解可以通

過待定系數(shù)法求出。 然而，在一般情況下，若沒有上述的特殊條件，我們?cè)谶M(jìn)行常系數(shù)非齊次線 性遞歸數(shù)列的就顯得有點(diǎn)困難，那么下面利用差分的概念將(1)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)非 齊次線性差分方程，從而得到(1)的特解。 首先，對(duì)于數(shù)列 a
n?0

? ?a n ?n

?

可看成是定義在非負(fù)整數(shù)集上的函數(shù)，而其與整數(shù)

之值便是 a n ，差分算子 ? 是一個(gè)在這些函數(shù)組成集合上的變換，定義其為 ；高階差分算子 ? k ，(k=2，3，....)，定義其為 ? k a n ? ? ( ? k ?1 a n ) ，
? I

? a n ? a n ?1 ? a n

同時(shí)我們規(guī)定 ? 0

，記I是恒等算子，即有 Ia n

? an

，(n=0，1，2，...)。

其次，與差分算子有密切關(guān)系的是位移算子E，定義其為 Ea n ? a n ? 1 ；高階位 移算子 E k ，(k=2，3，...)；定義其為 E k a n ? E ( E k ?1 a n ) ? a n ? k ，并規(guī)定 E 0
? I

。

顯然可得，E ? ? ? I ， 從而有 E k ? ( ? ? I ) k ? C k0 ? C k1 ? ? ? ? C kk ? k 。 利用位移算子， (1)可記為 ( c 0 E k ? c1 E k ?1 ? ? ? c k ?1 E ? c k I ) a n ? f ( n )
?

（3）

其中 ? f ( n ) ?n 是一給定的數(shù)列， c 0 , c1 , ? , c k ?1 , c k 是給定的常數(shù)，如果有k個(gè)相 連的值為給出，成為邊界條件，此時(shí)（3）將有唯一的解。然而，由位移算子與 差分算子的關(guān)系，(3)又可以進(jìn)一步化為
( c ' 0 ? ? c '1 ?
k k ?1

? ? ? c 'k I ) a n ? f ( n )

（4） 其中 c ' 0 , c '1 , ? , c ' k ?1 , c ' k 是已知常數(shù)。

這樣(1)就轉(zhuǎn)化為常系數(shù)非齊次線性差分方程(4)。 對(duì)（4）兩邊去 l 次差分，得
( c '0 ? ( c '0 ?
k ?1

? c '1 ? ? ? ? c ' k ?1 ? ? c ' k ? ) a n ? ? f ( n )
k 2

k?2

? c '1 ?

k ?1

? ? ? c ' k ?1 ? ? c ' k ? ) a n ? ? f ( n )
3 2 2

............
( c '0 ? ( c '0 ?
k ? l ?1

? c '1 ?

k ?l?2

? ? ? c ' k ?1 ?

l ?1

)an ? ?
l

l ?1

f (n)
l

k ?l

? c '1 ?

k ? l ?1

? ? ? c ' k ?1 ?

l ?1

? c 'k ? ) a n ? ? f ( n )
l

若 ?l 有 解

f ( n ) 是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常量，不妨設(shè) ? f ( n ) ? M ，則最后一個(gè)方程顯然

? an ?
l

M c 'k

，

此

時(shí)

?

l ?1

an ? ? ? ?

k ? l ?1

an ? ?

k ?l

an ? 0

。

將

?

l ?1

an ? ? ? ?

k ? l ?1

an ? ?

k ?l

an ? 0

，? l a n ?

M c 'k

代入倒數(shù)第二個(gè)方程可求得 ? l ? 1 a n 。 依

次往上推，一直到(4)即可求得(1)的一個(gè)特解 a n? 。 通過上述利用k階線性差分方程的方法進(jìn)行常系數(shù)齊次線性遞歸數(shù)列的推廣 過程，我們可以清楚地明白到，對(duì)于求(1)的特解，關(guān)鍵在于求差分方程(4)的特 解。 易得(4)的特解可求，而其最簡(jiǎn)單的情形就是當(dāng)將令 ? l
f ( n ) 成為一個(gè)與n無(wú)關(guān)

的常量。 二、 對(duì)于利用差分方程進(jìn)行對(duì)常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列進(jìn)行求通解的方法 的常見應(yīng)用類型。 由（一）中的推廣過程中，我們?nèi)粝氡ＷC ? l
f ( n ) 是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常量，那么常

見的方式就是使得f(n)成為n次多項(xiàng)式 Pm ( n ) 或指數(shù)函數(shù) Pm ( n ) e an 或余弦線性函 數(shù) Pm ( n ) e an cos ? n 或正弦線性函數(shù) Pm ( n ) e an sin ? n 或幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)之和中一種情 況。又根據(jù)常系數(shù)非齊次線性方程的特解的設(shè)解規(guī)律，即“是什么設(shè)什么，含于 Y乘于x”的規(guī)律，指的是“f(n)是什么函數(shù)，方程的特解就設(shè)成什么函數(shù)；如果 上面所設(shè)的特解含于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y(即所設(shè)特解可以完全或部分地與 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解合并)，，則用x乘以前面所設(shè)的特解，作為新設(shè)特解；若仍 含于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再乘以x，直到不含于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y為 止。 ”我們可以知道，常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的規(guī)律，即可以引申到 常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列中去。 為了方便論證，我們將取二階常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列為例。 首先，我們?cè)O(shè)定二階常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列為
p 0 a n ? 2 ? p 1 a n ? 1 ? p 2 a n ? f ( n ), ( p 0 ? 0 )

（5）

由1.1的推導(dǎo)過程，我們可以很快得出對(duì)應(yīng)于(5)的差分方程為
( p 0 E ? p1 E ? p 2 I ) a n ? f ( n ) 或 ( q 0 ? ? q 1 ? ? q 2 I ) a n ? f ( n )
2 2

（6）

其中 q 0 ? p 0 , q1 ? 2 p 0 ? p1 , q 2 ? p 0 ? p1 ? p 2
①
f ( n ) ? Pk ( n ) ，當(dāng) f ( n ) 為n次多項(xiàng)式時(shí)，其特解應(yīng)為n次多項(xiàng)式。

設(shè) p k ( n ) ? a 0 ? a1 n ? ? ? a k n k 是n的k次多項(xiàng)式。 由于 p k ( n ) 求k次差分后成為常 數(shù)，所以對(duì)（6）兩邊取k次差分后可求得 ? k a n ?
②
f ( n ) ? e Pk ( n )
an

ak k! q2

? 常量（ q 2 ? 0）

，當(dāng)

f ( n ) 為指數(shù)函數(shù)時(shí)，其特解應(yīng)為同類指數(shù)函數(shù)。

此時(shí)，作通項(xiàng)變換 a n ? e an b n ，代入（5）得

e

2a

p 0 b n ? 2 ? e p 1b n ? 1 ? p 2 b n ? Pk ( n )
a

進(jìn)一步化為
( q 0 ? ? q 1 ? ? q 2 I ) b n ? Pk ( n )
2

（7）

其中， q o , q 1 , q 2 仍是常數(shù)。 （7）式已具有①的形式，故可求出數(shù)列 ?b n ? 的一
* 個(gè)特解 b n* ，從而由 a n ? e an b n 可得數(shù)列 ?a n ? 的一個(gè)特解 a n ? e an b n* 。

③

f ( n ) ? e Pk ( n ) cos ? n
an

或 f ( n ) ? e an Pk ( n ) sin ? n ，當(dāng)

f (n)

為正、余弦的線

性函數(shù)，其特解應(yīng)為設(shè)為同類正、余弦的線性函數(shù)。 構(gòu)造新的差分方程
( q 0 ? ? q1 ? ? q 2 I ) a n ? e
2 (? ? ? i ) n

Pk ( n ) ? e

?n

Pk ( n ), ( ? ? ? ? ? i )

（8）

* 此時(shí)（8）具有②的形式，因此可求出數(shù)列 ?a n ? 的一個(gè)特解 a n

* 又Re a n 是差分方程

( q 0 ? ? q 1 ? ? q 2 I ) a n ? e Pk ( n ) cos ? n
2 an
* 的特解。Im a n 是差分方程

( q 0 ? ? q 1 ? ? q 2 I ) a n ? e Pk ( n ) sin ? n
2 an

的特解。
④ f ( n ) ? f 1 ( n ) ? f 2 ( n ) ，當(dāng) f ( n ) 為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)之和，其特解應(yīng)為同類型

簡(jiǎn)單函數(shù)之和。 其中 f 1 ( n ) ? e ? n Q 1 ( n ), f 2 ( n ) ? e an Pk ( n ) cos ? n ( 或 e an Pk ( n ) sin ? n ) ，Q 1 ( n ), Pk ( n ) 分 別 是 n 的 l 次 和 k 次 多 項(xiàng) 式 。 由 p 0 a n ? 2 ? p1 a n ?1 ? p 2 a n ? f ( n ) ? f 1 ( n ) ? f 2 ( n ) (9) 可得兩個(gè)常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列
p 0 a n ? 2 ? p1 a n ?1 ? p 2 a n ? f 1 ( n ) p 0 a n ? 2 ? p1 a n ?1 ? p 2 a n ? f 2 ( n )

（10） （11）

根據(jù)線性遞歸數(shù)列解的疊加原理知（9）的特解等于（10）與（11）的特解 之和。而（10）具有②的形式， （11）具有③的形式。從而（9）的特解可求。 從以上討論可見，通過對(duì)
f (n)

特解的設(shè)解規(guī)律“是什么設(shè)什么，含于Y乘

于x”的規(guī)律引申到特解的求解規(guī)律，驗(yàn)證了我們前期的求解思路，則通過差分

方程的求解方法得到我們所求常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列需要的特解。 三、 k 階齊次線性遞歸數(shù)列的簡(jiǎn)單推廣，即利用矩陣判斷 k 階齊次線性遞 對(duì) 歸數(shù)列其斂散性，并求出其通項(xiàng)公式。 1）k 階齊次遞歸數(shù)列斂散性的判斷 設(shè) k 階齊次遞歸數(shù)列 ? f n ? 的遞推公式為
f n ? k ? a 1 f n ? k ?1 ? a 2 f n ? k ? 2 ? ? ? ? ? a k ?1 f n ? 1 ? a k f n

，

（1）

其中 n=1,2,...,令
? f n?k ? ? a1 ? ? ? ? f n ? k ?1 ? ? 1 ?? ?, A ? ?? ? ? ? ? ? 0 ? f ? ? ? n ?1 ? a2 0 ? 0 ? ? ? ? a k ?1 0 ? 1 ak ? ? 0 ? , ?? ? 0 ? k?k ?

M

n?k

則
M
n?k

? AM

n ? k ?1

?? ? A M
n

k

。

（2）

由(2)式易得 定理 1

? f n ? 收斂 ?

lim M
n? ?

n?k

存在 ?

lim A
n? ?

n

存在.

若 f 1 ? f 2 ? ? ? f k ? 0 則 f n ? 0 .下設(shè) f 1 , f 2 , ? , f k 不全為零. 定理 2 (1)設(shè)矩陣 A 有 k 個(gè)不同的特征根 ? 1 , ? 2 , ? , ? k , 則 lim f n 存在當(dāng)且僅當(dāng)
n? ?

? i ? 1, i ? 1, 2 , ? , k ;

（2）若矩陣 A 的特征根有重根 ? i ，則 lim f n 存在當(dāng)且僅當(dāng) ? i
n? ?

? 1.

證 （1）若矩陣的 k 個(gè)不同的特征根 ? 1 , ? 2 , ? , ? k , 則存在可逆矩陣 T（T 的 第 i 列恰是 A 的對(duì)應(yīng)于 ? i 的特征向量）使得
? ?1 ? ? A ?T? ? ? ?
n? ?

?2
?

? ? ? ?T ? ?k ? ?
n? ?

?1

,M

n?k

? a ? A M
n

k

? ?1 n ? ? ?T? ? ? ?
n? ?

?2

n

?

?k
n

n

? ? ? ?T ? ? ?

?1

M k,

所以 lim f n 存在 ? lim f n ? k 存在 ?
? ? i ? 1, i ? 1, 2 , ? , k ;

lim A
n? ?

n

存在 ?

lim ? i

存在

（2）若矩陣 A 的全部特征根為 ? 1 , ? 2 , ? , ? ? , 且 k 1 ? k 2 ? ? ? k ? ? k , 則

M

n?k

? J 1n ? ? ?T? ? ? ?

J

n 2

?

? ? ? ?T ? n J? ? ?

?1

M k,

??j ? ? 其中 J j ? ? ? ? ? ?
? ?n ? j ? ? ? ? ? ? ? ?
n a
k n

1

?j

1 ? ?

? ? ? ? 是 k j ? k j 級(jí)若當(dāng)塊.因 ? 1 ? ? ?j?
Cn j ? j ? ? C ?j
1 n n ?1 k ?1 n ? k j ?1

C n? j
1

n ?1

? ? ?

?

?

J

n j

? ?

?j
n

? ? ? ? , ? ? ? ? ?

lim

n? ?

? 0 （k

為大于 1 的自然數(shù)） ，于是 lim f n 存在 ? lim M n ? k 存在 ?
n? ? n? ?

lim A
n? ?

n

存

在? ? j

? 1，?

j

是重根.

2）遞歸數(shù)列通項(xiàng)式的求法 由矩陣 A 的表達(dá)式算出 A 的特征多項(xiàng)式
f ( ? ) ? ? E ? A ? ? ? a1 ?
k k ?1

? ? ? a k ?1 ? ? a k ,

求出上述定理 2 證明中的可逆矩陣 T，

即得 A n 的關(guān)于 n 的表達(dá)式，從而得出 ? f n ? 的通項(xiàng)公式。 參考文獻(xiàn)： [1]鄧 勇.常系數(shù)非齊次線性遞歸數(shù)列求特解的簡(jiǎn)易方法.達(dá)縣師范高等專 科學(xué)校學(xué)報(bào).2006(9） ：25-26. [2]喻德生 王敏.淺談常系數(shù)非齊次線性方程特解的設(shè)解規(guī)律與教學(xué).高等 數(shù)學(xué)研究.2004(5):41-44. [3]周立仁.k 階線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式的矩陣求法.湖南理工學(xué)院院報(bào) （自然科學(xué)報(bào)）.2011(9):24-25. [4]夏宗匯.生成函數(shù)與差分方程.數(shù)學(xué)傳媒第二卷第四期.



更多相關(guān)文檔:

組合數(shù)學(xué)論文

. . . . . 5 6 參考文獻(xiàn) 1 主要內(nèi)容摘要: 介紹了組合數(shù)學(xué)的概念、 起源...組合數(shù)學(xué)論文 10頁(yè) 7下載券 組合數(shù)學(xué)論文 7頁(yè) 1下載券 組合數(shù)學(xué)期中論文 6頁(yè)...

組合數(shù)學(xué)課程論文

組合數(shù)學(xué)課程論文_理學(xué)_高等教育_教育專區(qū)。組合數(shù)學(xué)課程論文簡(jiǎn)論幻方 摘要:通過...期刊論文,信息技術(shù)與小學(xué)... 15頁(yè) 免費(fèi) 組合數(shù)學(xué)期中論文 6頁(yè) 1下載券 ...

組合數(shù)學(xué) 課程論文

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的整合 4頁(yè) 免費(fèi)如要投訴違規(guī)內(nèi)容,請(qǐng)到百度文庫(kù)投訴中心;如要提出功能問題或意見建議,請(qǐng)點(diǎn)擊此處進(jìn)行反饋。 組合數(shù)學(xué) 課程論文 組合數(shù)學(xué) 課程論文組合...

組合數(shù)學(xué)論文

3.組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用舉例組合數(shù)學(xué)是十分貼近于人們的生活的,因此組合問題在...組合數(shù)學(xué)期中論文 6頁(yè) 1下載券 組合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得 2頁(yè) 免費(fèi) 組合數(shù)學(xué)課程論文 ...

組合數(shù)學(xué)論文

組合數(shù)學(xué)淺談 組合數(shù)學(xué)淺談組合數(shù)學(xué)是一門既古老又年輕的數(shù)學(xué)分支。我國(guó)古人在《...論文,信息技術(shù)與數(shù)學(xué)整合... 27頁(yè) 免費(fèi) 組合數(shù)學(xué)期中論文 6頁(yè) 1下載券喜歡...

排列組合論文

排列組合論文_高三數(shù)學(xué)_數(shù)學(xué)_高中教育_教育專區(qū)。針對(duì)高中的排列組合問題,提出一個(gè)全新的角度來(lái)研究,從而給出快捷有效的解題方案和路徑,可以稱的上是排列組合版塊的...

組合數(shù)學(xué)論文

組合數(shù)學(xué)論文_理學(xué)_高等教育_教育專區(qū)。組合數(shù)學(xué)抽屜世界——從小抽屜中看大組合 ——從小抽屜中看大組合 從小抽屜中看大 作者: 作者:廈門大學(xué)漳州校區(qū) 軟件學(xué)院一...

數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文題目大全

數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文題目大全_教育學(xué)_高等教育_教育專區(qū)。假設(shè)檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷 簡(jiǎn)單平面...“中間點(diǎn)”的漸近性 中值定理逆問題及其內(nèi)在聯(lián)系 組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用 組合...

數(shù)學(xué)論文題目

數(shù)學(xué)論文題目_數(shù)學(xué)_小學(xué)教育_教育專區(qū)。A、 1、極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展; 2、利用...《組合數(shù)學(xué)》的讀書報(bào)告; 41、學(xué)習(xí)《離散數(shù)學(xué)》的讀書報(bào)告; 42、論數(shù)學(xué)史的...

數(shù)學(xué)專業(yè)論文題目

《組合數(shù)學(xué)》的讀書報(bào)告; 41、學(xué)習(xí)《離散數(shù)學(xué)》的讀書報(bào)告; 42、論數(shù)學(xué)史的...應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決某個(gè)實(shí)際問題,完成一篇數(shù)學(xué)建模論文 就當(dāng)前我國(guó)高中數(shù)學(xué)知識(shí)...

更多相關(guān)標(biāo)簽:

組合數(shù)學(xué)論文 | 組合數(shù)學(xué)算法論文 | 蘇教版一年級(jí)數(shù)學(xué)期中 | 一年級(jí)上數(shù)學(xué)期中試題 | 初一數(shù)學(xué)期中考試試卷 | 一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)題 | 七年級(jí)下數(shù)學(xué)期中試卷 | 初一下冊(cè)數(shù)學(xué)期中試卷 |

  本文關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)論文，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：245770