本文關(guān)鍵詞：微積分論文，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

 

 第三節(jié) 萊布尼茨的微積分

 

第三節(jié) 萊布尼茨的微積分

一、萊布尼茨傳略

　　1646年7月1日，萊布尼茨生于德國的萊比錫(Leipzig)．父親是萊比錫大學的哲學教授，在他六歲時便去世了，留給他的是十分豐富的藏書．

　　1661年，萊布尼茨進入萊比錫大學學習法律，，1663年獲學士學位，同年轉(zhuǎn)入耶拿(Jena)大學．

　　他在耶拿大學一邊學哲學，一邊在魏格爾(E．Weigel)指導下系統(tǒng)學習了歐氏幾何．魏格爾使他開始確信畢達哥拉斯—柏拉圖宇宙觀：宇宙是一個由數(shù)學和邏輯原則所統(tǒng)率的和諧的整體．1664年，他獲得哲學碩士學位，三年后又獲得法學博士學位．二十一歲的萊布尼茨被一位男爵推薦給美因茨(Mainz)選帝侯遜勃倫(VonSchnborn)，從此登上了政治舞臺，開始在美因茨宮廷任職．

　　1672年，萊布尼茨作為外交官出使巴黎，結(jié)識了許多科學家，包括從荷蘭去的惠更斯(C．Huygens，1629—1695)．在惠更斯等人的影響下，他對自然科學特別是數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣，真正開始了他的學術(shù)生涯．1673年初，他又出使倫敦，結(jié)識了胡克(R．Hooke，1635—1703)、波義耳(R．Boyle，1627—1691)等人，3月回到巴黎，4月即被推薦為英國皇家學會的外籍會員．萊布尼茨滯留巴黎的四年時間，是他在數(shù)學方面的發(fā)明創(chuàng)造的黃金時代．在這期間，他研究了費馬、帕斯卡、笛卡兒和巴羅等人的數(shù)學著作，寫了大約100頁的《數(shù)學筆記》．這些筆記雖不系統(tǒng)，且沒有公開發(fā)表，但其中卻包含著萊布尼茨的微積分思想、方法和符號，是他發(fā)明微積分的標志，他還于1674年發(fā)明了能作四則運算的手搖計算機．

　　1676年，萊布尼茨返回德國．在此后的四十年中，他一直擔任漢諾威(Hanover)公爵弗里德里希(Johann Friedrich)的樞密顧問和圖書館長，漢諾威成了他的永久居住地．1682年，他與門克(O．Mencke，？—1707)創(chuàng)辦了拉丁文雜志《博學學報》(Acta Eruditorum)．1684年，他在該雜志上首次發(fā)表了微積分論文《對有理量和無理量都適用的，求極大值和極小值以及切線的新方法，一種值得注意的演算》(Nova Meth－odus Pro Maximis et Minimis，Itemepue Tangeu－tibus，quae nec fractas nec irrationales quantita-tes Moratur，et singulare)(下簡稱《新方法》)，這是他在微積分方面的代表作．

　　從17世紀九十年代起，萊布尼茨就熱心從事于科學院的籌劃和建設．1700年，他終于促成柏林科學院成立，并出任第一任院長．同年被選為法國科學院的外籍院士．他還建議成立彼得堡科學院和維也納科學院，這些建設都被采納了．他的科學遠見和組織才能，有力地推動了歐洲科學的發(fā)展．他甚至寫信給中國的康熙皇帝，建議成立科學院．

　　除了數(shù)學以外，萊布尼茨在哲學、法學、歷史學、邏輯學、力學、光學等方面也都做出了卓越貢獻．1716年11月14日，萊布尼茨平靜地離開人世，享年70歲．

二、《數(shù)學筆記》

　　從萊布尼茨的《數(shù)學筆記》可以看出，他的微積分思想來源于對和、差可逆性的研究．實際上，這一問題可追溯到他于1666年發(fā)表的論文《論組合的藝術(shù)》(De Art Combinatoria)．他在這篇文章中對數(shù)列問題進行了研究，例如，他給出自然數(shù)的平方數(shù)列

　　0，1，4，9，16，25，36，… (1)

　　又給出它的一階差序列

　　1，3，5，7，9，11，… (2)

　　及二階差序列

　　2，2，2，2，2，… (3)

　　萊布尼茨注意到如下幾個事實：自然數(shù)列的二階差消失而平方序列的三階差消失；如果原數(shù)列從0開始，則一階差的和等于原數(shù)列的最后一項；數(shù)列(2)中每項是(1)中相鄰兩項之差而(1)中每項是(2)中左邊各項之和．這些事實對他后來發(fā)明微積分是有啟發(fā)的．

　　1673年初，萊布尼茨已經(jīng)熟悉了費馬、巴羅等人的數(shù)學著作，他本人對切線問題及求積問題也有了某些研究．他在惠更斯的勸告下，開始攻讀帕斯卡的著作．他發(fā)現(xiàn)在帕斯卡三角形(見下表)中，任何元素是上面一行左邊各項之和，也是下面一行相鄰兩項之差．他立即同自己在1666年的工作聯(lián)系起來，洞察到這種和與差之間的互逆性，正和依賴于坐標之差的切線問題及依賴于坐標之和的求積問題的互逆性相一致．所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的兩元素之差是有限值，而曲線的縱坐標之差則是無窮小量．

　　當然，要把一個數(shù)列的求和運算與求差運算的互逆關(guān)系同微積分聯(lián)系起來，必須把數(shù)列看作函數(shù)的y值，而把任何兩項的差看作兩個y值的差．萊布尼茨正是這樣做的，他用x表示數(shù)列的項數(shù)而y表示這一項的值，用dx表示數(shù)列的相鄰項的序數(shù)差而用dy表示相鄰項的值的差．這時，dx顯然為1．借助于數(shù)學直觀，萊布尼茨把在有限序列表現(xiàn)出來的和與差之間的可逆關(guān)系表示成y=∫dg，符號∫表示和．例如，在萊布尼茨的平方序列中，若x＝4，則y＝(9－4)＋(4-1)＋(1-0)．萊布尼茨進一步用dx表示一般函數(shù)的相鄰自變量的差，用dy表示相鄰函數(shù)值的差，發(fā)者說表示曲線上相鄰兩點的縱坐標之差．于是，∫dy便表示所有這些差的和．這說明萊布尼茨已經(jīng)把求和問題與積分聯(lián)系起來了．

　　圖11．18清楚地說明了y=∫dy的幾何含義，該圖出現(xiàn)在萊布尼茨的1673年筆記中．不過他在當時還未發(fā)明dx，dy和∫等符號，圖中的l相當于dy，至于dx和∫，他當時寫作a和omn(即拉丁文omnia的頭三個字母)．在y＝x的條件下，萊布尼茨得到omn．l=y(即∫dy=y)．若以omn．l表示首項為0的序列的一階差的和，則上式給出序列的最
　
到1675年10月，萊布尼茨已經(jīng)推導出分部積分公式，即

∫xdy=xy-∫ydx．

　　10月29日的筆記中，他以原來的符號(即omn，l等)記錄了這一公式，但他接著便改用符號∫(sum的頭一個字母s的變形)代替了omn．他明確指出：“∫意味著和，d意味著差．”11月11日，他開始采用dx表示兩個相鄰x值的差，用dy表示相鄰y值的差，即曲線上相鄰兩點的縱坐標之差，萊布尼茨稱其為“微差”．從此，他一直采用符號∫和dx，dy來表示積分與微分(微差)．由于這些符號十分簡明，逐漸流行于世界，沿用至今．

　　萊布尼茨深刻認識到∫同d的互逆關(guān)系，他在10—11月的筆記中斷言：作為求和過程的積分是微分的逆．這一思想的產(chǎn)生是萊布尼茨創(chuàng)立微積分的標志．實際上，他的微積分理論就是以這個被稱為微積分基本定理的重要結(jié)論為出發(fā)點的．在定積分中，這一定理直接導致了牛頓—萊布尼茨公式(如前所述)的發(fā)現(xiàn)．

　　從11月11日的筆記可以看出，萊布尼茨認為dy和dx可以任意小，他在帕斯卡和巴羅工作的基礎(chǔ)上構(gòu)造出一個包含dx，dy的“特征三角形”，借以表述他的微積分理論．

　　如圖11．19，P，Q是曲線上相鄰兩點，PR=dx，QR=dy，所謂特征三角形即由dx，dy和弦PQ組成的無窮小三角形PRQ．萊布尼茨認為，在這個三角形中，弦PQ也是P和Q之間的曲線及過T點的切線的一部分．他進一步認為：三角形PRQ相似于由次切線SU，T點的縱坐標及切線ST組成的三角形SUT．所以dy與dx之比有確定的意義，即：

尼茨利用上述理論解決了一個確定的問題，即尋求次法線與縱坐標成反比的曲線．

　　在圖11．19中，法線是TV而次法線是UV，設UV=p，則由三角形PRQ及TUV的相似性得到

　　

　　即 pdx＝y(tǒng)dy． (4)

　　

　　1676年11月左右，萊布尼茨在微積分基本定理的基礎(chǔ)上給出一般的分數(shù)．從萊布尼茨的筆記可以看出，他和牛頓一樣，在微積分中常常采用略去無窮小的方法．例如，為了求出曲線下的面(圖11．20)，需要計算曲線下各矩形之和．他說可以忽略剩余的三角形，“因為它們同矩形相比是無窮小……，所以在我的微積分中，我用∫ydx表示面積．”

　　1676—1677年的數(shù)學筆記中還提出如下的微積分法則：

　　(1)微分中的變量代換法即鏈式法則(1676年)；

　　(2)函數(shù)的和、差、積、商的微分法則(1677年)，即

　　d(x±y)＝dx±dy，

　　d(xy)＝xdy+ydx，

　　

　　(4)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體體積公式

V=π∫y2dx(1677年)．

　　綜上所述，萊布尼茨在發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的基礎(chǔ)上，建立起一套相當系統(tǒng)的微分和積分方法．他成為與牛頓同時代的另一個微積分發(fā)明者．當然，他們的成果都是獨立取得的，當他們開始聯(lián)系時，已經(jīng)各自建立起一套具有特色的微積分理論了．

三、《新方法》

　　這是萊布尼茨公開發(fā)表的第一篇微積分論文，是對他的微分成果的概括．

　　萊布尼茨在論文中對微分給出如下定義：“橫坐標x的微分dx是一個任意量，而縱坐標y的微分dy則可定義為它與dx之比等于縱坐標與次切線之比的那個量．”即

　　用現(xiàn)代標準來衡量，這個定義是相當好的，因為y與次切線之比就是切線的斜率，所以該定義與我們的導數(shù)定義一致．不過萊布尼茨沒有給出嚴格的切線定義，他只是說“求切線就是畫一條連接曲線上距離為無窮小的兩點的直線．”

　　萊布尼茨還給出微分法則d(xn)＝nxn-1dx的證明及函數(shù)的和、差、積、商的微分法則的證明．例如，為求d(uv)(其中u，v是x的函數(shù))，先讓u變?yōu)閡＋du，v變?yōu)関＋dv，于是

d(uv)＝(u＋du)(v＋dv)-uv．

　　而 (u＋du)(v＋dv)＝uv＋udv＋vdu＋dudv，

　　所以 d(uv)＝udv＋vdu+dudv．

　　萊布尼茨認為dudv對于udv+vdu來說是無窮小，可以舍去，從而得出

d(uv)=udv+vdu．

　　萊布尼茨十分注意微分法的應用，他在文章中討論了用微分法求切線、求極大值、極小值以及求拐點的方法．他指出，當縱坐標v隨x增加而增加時，dv是正的；當v減少時，dv是負的；“當v既不增加也不減少時，就不會出現(xiàn)這兩種情況，這時v是平穩(wěn)的．”所以v取得極大值或極小值的必要條件是dv＝0，這對應于水平切線．他還說明了拐點的必要條件是d(dv)＝0，即二階微分為0．

　　在文章的末尾，萊布尼茨解決了一個笛卡兒未能解決的問題：求縱坐標為w的曲線，使其次切距為常數(shù)a．對于這樣的曲線，有

　

　　萊布尼茨考慮x值的一個等差數(shù)列，其公差為dx＝b，代入(1)，得

　　

　　顯然，w的序列與其差的序列成正比，這正是幾何級數(shù)特有的性質(zhì)，所以萊布尼茨斷言：如果x值構(gòu)成算術(shù)序列，則w值構(gòu)成幾何序列．換句話說，如果w是一些數(shù)，則x是它們的對數(shù)．因此，所求的曲線是對數(shù)曲線．”

　　萊布尼茨充分認識到微分法的威力，他說：這種方法“可以用來解決一些最困難的、最奇妙的數(shù)學問題，如果沒有我們的微分學或者類似的方法，這些問題處理起來決不會這樣容易．”

　　1686年，萊布尼茨又在《博學學報》上發(fā)表了一篇題為“論一種深刻的幾何學與不可分元分析”(De Geometria recon－dita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum)的論文，它與《新方法》是姊妹篇，前者以討論微分為主而本文以討論積分為主．文中的積分號∫是在出版物中首次出現(xiàn)的．萊布尼茨強調(diào)說，不能在∫下忽略乘以dx，因為積分是無窮小矩形ydx之和．他在文中用積分方法導出了擺線方程，即

　　

　　他說：“這個方程完全表示出縱坐標y同橫坐標x間的關(guān)系，并能由此推出擺線的一切性質(zhì)．”他還通過積分來計算圓在第一象限的面積，從而得到π的一個十分漂亮的表達式(圖11．22)．由分部積分公式

　

　　　

　　　　　　　

　　1686年以后，萊布尼茨繼續(xù)研究微積分．在求曲線曲率、曲線族包絡、判斷級數(shù)收斂和求解微分方程方面都取得出色成果．

四、萊布尼茨與牛頓

　　在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當．他們各自獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，并建立起一套有效的微分和積分算法；他們都把微積分作為一種適用于一般函數(shù)的普遍方法；都把微積分從幾何形式中解脫出來，采用了代數(shù)方法和記號，從而擴展了它的應用范圍；都把面積、體積及以前作為和來處理的問題歸結(jié)到反微分(積分)．這樣，四個主要問題——速度、切線、極值、求和，便全部歸結(jié)為微分和積分．

　　

小的矩形之和．

　　但是，如果我們認真比較一下牛頓和萊布尼茨的工作，仍會發(fā)現(xiàn)一些明顯的不同之處．

　　第一，牛頓微積分的出發(fā)點是力學，他以速度為模型建立起最初的微分學；而萊布尼茨的微積分工作則是從研究和、差可逆性開始的．

　　第二，在積分方面，牛頓偏重于不定積分，即由給定的流數(shù)來確定流量．他把面積和體積問題當作變化率的反問題來解決．而萊布尼茨則偏重于把積分看作微分的無窮和，他把這種算法叫做“求和計算”．所以，萊布尼茨的積分主要是定積分．

　　第三，盡管牛頓和萊布尼茨的微積分基礎(chǔ)都是無窮小量，但他們對無窮小的理解是不同的．萊布尼茨把無窮小理解為離散的，可分為不同層次，因此他給出高階微分的概念及符號；實際上，他認為一階微分是橫坐標x或縱坐標y的序列的差的序列，二階微分則是這些差的差所組成的序列．反復取差，便可得到k階微分dkx或dky．而牛頓則認為無窮小量無層次可言，他把導數(shù)定義為增量比的極限．其結(jié)果，牛頓的極限概念比萊布尼茨清楚，但卻未能進入高階微分領(lǐng)域．

　　第四，牛頓比萊布尼茨更重視微積分的應用，但對于采用什么樣的微積分符號卻不大關(guān)心．萊布尼茨對于符號卻是精心設計，反復改進，盡量選用能反映微積分實質(zhì)的、既方便又醒目的符號．其結(jié)果，牛頓的微積分理論對科學技術(shù)的影響要大一些，但他那套以點為特征的微積分至今盛行不衰．

　　第五，兩人的學風也不相同．牛頓比較謹慎而萊布尼茨比較大膽；牛頓注重經(jīng)驗而萊布尼茨富于想象．牛頓之所以遲遲不愿發(fā)表他的微積分成果，就是擔心自己的理論不完善，受到別人反對；而萊布尼茨一旦取得理論上的進展就大膽推廣，例如他在n是整數(shù)時得到d(xn)＝nxn－1dx后，便宣布n為分數(shù)時也適用．在發(fā)表自己的著作方面，他也比牛頓大膽．他說：“我不贊成因過分的細密而阻礙了創(chuàng)造的技巧．”這種學風上的差異似與兩人的哲學傾向有關(guān)——牛頓強調(diào)經(jīng)驗而萊布尼茨強調(diào)理性．

　　綜上所述，牛頓與萊布尼茨應該分享發(fā)明微積分的榮譽．但不幸的是在他們生前發(fā)表了一場曠日持久的關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論．我們知道，萊布尼茨發(fā)生第一篇微積分論文的時間是1684年，比牛頓早三年(牛頓的《原理》發(fā)表于1687年)，但牛頓早在六十年代就發(fā)明了微積分，而萊布尼茨曾于1673年訪問過倫敦，并和牛頓及一些知道牛頓工作的人通過信．于是就發(fā)生了萊布尼茨是否獨立取得微積分成果的問題．牛頓的擁護者們認為只有牛頓才是真正的微積分發(fā)明者，公開指責萊布尼茨剽竊牛頓成果．萊布尼茨于1711年為此向英國皇家學會提出申訴(當時他是會員，牛頓是會長)，結(jié)果遭到學會的駁斥．這場爭論把歐洲數(shù)學家分成兩派——英國派和大陸派．爭論雙方停止了學術(shù)交流，互相攻擊，以致影響了數(shù)學的正常發(fā)展．直到19世紀初，兩派的隔閡才消除．當然，這場爭論的性質(zhì)不純粹是數(shù)學的，其中包含著兩派的民族主義情緒，對這方面的問題就不詳細討論了．

　　牛頓和萊布尼茨死后很久，學者們經(jīng)過認真的調(diào)查研究，逐漸取得一致意見：牛頓和萊布尼茨幾乎同時發(fā)明了微積分，他們的工作也是互相獨立的．在創(chuàng)作時間上，牛頓略早于萊布尼茨(牛頓創(chuàng)立微積分的主要時間是1665—1667年，萊布尼茨是1673—1676年)，但在發(fā)表時間上，萊布尼茨又略早于牛頓．所以發(fā)明微積分的榮譽屬于牛頓和萊布尼茨兩人．

  本文關(guān)鍵詞：微積分論文，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：236840