本文關(guān)鍵詞：函數(shù)論，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

簡介/復(fù)變函數(shù)論

復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況。在
很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。復(fù)數(shù)的一般形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。

歷史/復(fù)變函數(shù)論

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復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。

后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ�，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應(yīng)有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。

比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。

內(nèi)容/復(fù)變函數(shù)論

復(fù)變函數(shù)論

復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時候，函數(shù)就有一個唯一確定的值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這樣的函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在離曼曲面上就變成單值函數(shù)。黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使人們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。、關(guān)于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。

復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對于復(fù)變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點上求留數(shù)的計算，當(dāng)奇點是極點的時候，計算更加簡潔。把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a充，以滿足實際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。

在二次、三次代數(shù)方程求根的公式中就出現(xiàn)了形為的一類數(shù)，其中α，b是實數(shù)。在實數(shù)范圍內(nèi)是沒有意義的，因此在很長時間里這類數(shù)不能為人們所理解。R·笛卡兒曾稱之為虛數(shù)。但是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。例如，每一個代數(shù)方程在此數(shù)域內(nèi)至少有一個根，這就是代數(shù)學(xué)的基本定理。有時也稱它為達(dá)朗貝爾定理，而最初的嚴(yán)格證明則是由C.F.高斯給出的。

后來人們習(xí)慣以i表示，并且稱α+bi為復(fù)數(shù)。在復(fù)數(shù)α+bi與平面上的點(α，b)之間可以建立一一對應(yīng)。 L.歐拉在初等函數(shù)中引進(jìn)了復(fù)變數(shù)，并給出了著名的歐拉公式 eix =cosx+isinx。歐拉公式揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系。

發(fā)展/復(fù)變函數(shù)論

柯西-黎曼方程

一些實際問題也推動著復(fù)變函數(shù)理論的產(chǎn)生與發(fā)展。早在1752年J.le R.達(dá)朗貝爾關(guān)于流體阻力的研究中，便考慮在什么條件下當(dāng)平面上的點(x，y)趨于一點時復(fù)值函數(shù)u(x，y)+iv(x，y)存在導(dǎo)數(shù)。這里要求導(dǎo)數(shù)與(x，y)所沿的路徑無關(guān)。這個問題的答案是：若 ?(z)=u+iv在域D內(nèi)定義，且u，v作為x，y的函數(shù)在D內(nèi)可微，則?(z)可導(dǎo)的充要條件為：

�！　　　�(1)

這個條件稱為柯西-黎曼方程。在域D內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)稱為解析函數(shù)或全純函數(shù)。由條件(1)易知，若u，v存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則u，v應(yīng)滿足拉普拉斯方程。由(1)聯(lián)系著的兩個調(diào)和函數(shù)稱為共軛調(diào)和函數(shù)。

19世紀(jì)前半葉，柯西為復(fù)變函數(shù)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。他定義了復(fù)變函數(shù)的積分，并證明了下述柯西積分定理：若?(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為可求長的簡單閉曲線，且C及其內(nèi)部均含于D內(nèi)，則

。

柯西積分定理

從柯西積分定理可以得出一系列重要結(jié)論，諸如柯西積分公式、柯西不等式、惟一性定理、最大模原理等。特別地，若?(z)在域D內(nèi)解析，則它在D內(nèi)任意階導(dǎo)數(shù)存在，并且在D內(nèi)每點α的鄰域內(nèi)?(z)可展為 z-α的冪級數(shù)。作為柯西積分定理的推廣，則有應(yīng)用廣泛的留數(shù)定理。代數(shù)學(xué)基本定理就是留數(shù)定理的一個簡單推論。應(yīng)用它還可計算一些較復(fù)雜的定積分。

黎曼映射定理

從幾何觀點看，定義在域D內(nèi)的一個解析函數(shù)w=?(z)，把D映為w平面上的一個區(qū)域。這樣的映射具有保持角度的性質(zhì)，所以稱為保角映射，又稱共形映射。19世紀(jì)中葉，黎曼對此作了很多研究。他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）：在簡單閉曲線C上給了一個連續(xù)函數(shù)φ，則必存在于C內(nèi)調(diào)和且連續(xù)到C上的函數(shù)u，u在C上的值與φ相同。在此基礎(chǔ)上，黎曼得出共形映射的基本定理：若單連通域D的邊界多于一點，z0為D內(nèi)一點且θ0為一實數(shù)，則存在惟一的單葉解析函數(shù)w＝?(z)將D映為w 平面上的單位圓│w│<1，且滿足

?(z0)=0， ?′(z0)>0。

這個定理稱為黎曼映射定理，它是復(fù)變函數(shù)幾何理論的基礎(chǔ)。根據(jù)這個定理，對于單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)常�？梢曰絾挝粓A內(nèi)去研究。后來C·卡拉西奧多里進(jìn)一步指出，在黎曼映射定理中，若域D的邊界為一簡單閉曲線 C，則C上的點與圓周│w│=1上的點也一一對應(yīng)。

冪級數(shù)的作用

如前所述，解析函數(shù)在每點鄰域內(nèi)可以展為冪級數(shù)，所以冪級數(shù)是研究解析函數(shù)的有力工具。這也是K.外爾斯特拉斯從事研究的出發(fā)點。若冪級數(shù)

　　　　 (2)

的收斂半徑R為有窮正數(shù)，則?(z)在Γ:│z│<R內(nèi)解析而在圓周│z│=R上?(z)至少有一個奇點z0，即不存在以z0為心的圓у和在у內(nèi)解析的函數(shù) g(z)，使在Γ與у的交內(nèi)有g(shù)(z)=?(z)。 當(dāng)│z│=R上所有的點都是?(z)的奇點時，?(z)就不能從Γ內(nèi)解析開拓出去，這時|z|=R稱為?(z)的自然邊界。關(guān)于收斂圓周上的奇點及自然邊界的研究，J.（-S.）阿達(dá)馬、S.曼德爾勃羅伊及G.波伊亞等人均有很好的工作。 若│z│=R上的點z0不是?(z)的奇點，則?(z)可以經(jīng)過z0利用冪級數(shù)開拓到│z│=R 以外的部分。從冪級數(shù)(2)出發(fā)，向各個方向盡量進(jìn)行解析開拓，所得的全體冪級數(shù)構(gòu)成一個集合。這個集合定義了一個完全解析函數(shù)。關(guān)于完全解析函數(shù)，（J.-）H·龐加萊和V·沃爾泰拉等人有重要工作。

完全解析函數(shù)可以是單值的或多值的。對于多值函數(shù)，自變量z繞某些點一圈后函數(shù)從一個值變?yōu)榱硪粋�值，這些點稱為分支點。黎曼曲面是表示多值函數(shù)的具體的幾何方法，它是由一些互相適當(dāng)連接的重疊的平面構(gòu)成的。一個多值函數(shù)在其黎曼曲面上即成為單值的。黎曼曲面的重要例子是代數(shù)函數(shù)，即由代數(shù)方程P(z，w)=0確定的函數(shù)。這種函數(shù)的黎曼曲面恒可連續(xù)變形到球面或帶有若干個環(huán)柄的球面。環(huán)柄的個數(shù)稱為黎曼曲面的虧格，它決定了該曲面的很多重要性質(zhì)。

綜述

總之，復(fù)變函數(shù)的主要研究對象是解析函數(shù)，包括單值函數(shù)、多值函數(shù)以及幾何理論三大部分。在悠久的歷史進(jìn)程中，經(jīng)過許多學(xué)者的努力，使得復(fù)變函數(shù)論獲得了巨大發(fā)展，并且形成了一些專門的研究領(lǐng)域。

單值函數(shù)

單值函數(shù)中最基本的兩類函數(shù)是整函數(shù)和亞純函數(shù)，它們分別是多項式和有理函數(shù)的發(fā)展。外爾斯特拉斯將多項式的因式分解定理推廣到整函數(shù)，而G.米塔-列夫勒則將有理函數(shù)分解為部分分式的定理推廣到亞純函數(shù)。、(F.-é.-J.-) é.波萊爾等進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了整函數(shù)的取值與多項式的取值之間有著很大的相似性。在此基礎(chǔ)上，1925年R.奈望林納建立了亞純函數(shù)值分布的近代理論，對函數(shù)論的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響。從19世紀(jì)末一直到現(xiàn)在，有很多學(xué)者從事函數(shù)值分布論的研究，優(yōu)秀工作很多。它和復(fù)變函數(shù)論的其他領(lǐng)域也存在著密切聯(lián)系。例如，1973年A.伯恩斯坦應(yīng)用實變函數(shù)的思想引進(jìn)T* 函數(shù)，它在值分布論的虧量問題、整函數(shù)的最小模問題以及單葉函數(shù)的研究中都發(fā)揮了顯著效用。

多值函數(shù)

關(guān)于多值函數(shù)的研究主要是圍繞著黎曼曲面及單值化的問題來進(jìn)行的。1913年在其經(jīng)典著作《黎曼曲面概念》中首先給出了抽象黎曼曲面的定義，它是流形這個現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本概念的雛形。黎曼曲面的研究不僅使自身形成了完美的理論，而且它為代數(shù)幾何、自守函數(shù)、復(fù)流形、代數(shù)數(shù)論等近代數(shù)學(xué)重要分支的研究提供了簡單、明了的模型。

幾何理論

在復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通過共形映射研究繞機翼的流動便是著名的例子。實際應(yīng)用中，常常要借助近似方法具體地構(gòu)造出映射函數(shù)。這方面有不少研究工作。當(dāng)然，有時并不需要知道具體的映射函數(shù)，只是應(yīng)用其幾何性質(zhì)。這就推動了復(fù)變函數(shù)幾何理論的發(fā)展。

單葉函數(shù)的研究是復(fù)變函數(shù)幾何理論的一個重要組成部分，特別是1916年L.比伯巴赫提出的單位圓內(nèi)形如的單葉解析函數(shù)應(yīng)有 ｜αn｜≤n的猜測引起了許多學(xué)者的注意。近70年來，圍繞著比伯巴赫猜想曾有不少研究工作，但是直到1984年，L.de布朗基才完全證實了這個猜想。證明中主要應(yīng)用了萊伯德－米林的工作，C.勒夫納的參數(shù)表示法以及關(guān)于雅可比多項式的結(jié)果。

柯西－黎曼方程表明了解析函數(shù)與橢圓型偏微分方程組之間的聯(lián)系，20世紀(jì)50年代以來L.伯斯，И.Η.韋夸等考慮較為一般的橢圓型偏微分方程組，并引入廣義解析函數(shù)的概念。解析函數(shù)決定的映射為共形映射，它把無窮小圓映為無窮小圓；而廣義解析函數(shù)則決定了擬共形映射，它把無窮小圓映為無窮小橢圓。L.V.阿爾福斯，М.Α.拉夫連季耶夫為擬共形映射的理論奠定了基礎(chǔ)。

聚集合的概念

解析函數(shù)雖然在區(qū)域內(nèi)部有很好的性質(zhì)，但是當(dāng)自變量z趨向于邊界時，函數(shù)的變化情況常常十分復(fù)雜。關(guān)于這方面的研究就形成了一個專門的領(lǐng)域，稱為解析函數(shù)邊界性質(zhì)。經(jīng)典的結(jié)果有法圖定理，Η.Η.盧津和И.И.普里瓦洛夫在這方面也有系統(tǒng)的研究。出現(xiàn)了聚集合的概念，進(jìn)一步將研究引向深入。

作用/復(fù)變函數(shù)論

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近代還有些函數(shù)論研究工作不再是考慮個別的函數(shù)，而是把具有某種性質(zhì)的一族函數(shù)合在一起研究。事實上，P·蒙泰爾的解析函數(shù)正規(guī)族就應(yīng)屬于這種類型的研究，并且顯示了其威力。從這種觀點出發(fā)的研究有了很大發(fā)展。例如Hp 空間，它與其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了較密切的聯(lián)系。

復(fù)變函數(shù)理論從一個變數(shù)推廣到多個變數(shù)是十分自然的想法，總稱為復(fù)分析。但是在多變數(shù)時，定義域的復(fù)雜性大大增加了，函數(shù)的性質(zhì)較之單變數(shù)時也有顯著的差異，它的研究需要借助更多的近代數(shù)學(xué)工具（見多復(fù)變函數(shù)論）。

從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有了150年的歷史。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學(xué)科的發(fā)展，，并且常常作為一個有力的工具被應(yīng)用在實際問題中。它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。

分支學(xué)科/復(fù)變函數(shù)論

算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、計算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)。

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本文編號：185604