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微積分

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微積分(Calculus)

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微積分簡(jiǎn)介

　　微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。微積分最重要的思想就是用"微元"與"無限逼近",好像一個(gè)事物始終在變化你不好研究,但通過微元分割成一小塊一小塊,那就可以認(rèn)為是常量處理,最終加起來就行。

　　微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。

　　極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。

　　微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

　　客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。

　　由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。

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微積分學(xué)的建立

　　從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

　　公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣�！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

　　到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。

　　十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。

　　十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題(微分學(xué)的中心問題)，一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。

　　牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。

　　牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度(微分法)；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

　　德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)博學(xué)多才的萊布尼茨在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響�，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。

　　微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。

　　前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。

　　不幸的事，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。

　　其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。

　　應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。

　　直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。

　　任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國(guó)的拉格朗日、科西……

　　歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。

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微積分的基本內(nèi)容

　　研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。

　　本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。

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微分學(xué)

　　微分學(xué)主要研究的是在函數(shù)自變量變化時(shí)如何確定函數(shù)值的瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)或微商）。換言之，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法就叫微分學(xué)。微分學(xué)的另一個(gè)計(jì)算方法是牛頓法，該算法又叫應(yīng)用幾何法，主要通過函數(shù)曲線的切線來尋找點(diǎn)斜率。費(fèi)馬常被稱作「微分學(xué)的鼻祖」。

　　微分學(xué)研究的是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，性質(zhì)和應(yīng)用。求導(dǎo)的過程被稱為微分。給定一個(gè)函數(shù)和定義域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，在那個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了該函數(shù)在那一點(diǎn)附近的表現(xiàn)。通過找出一個(gè)函數(shù)定義域內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以生成一個(gè)新的函數(shù)，叫做原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，或者導(dǎo)數(shù)。在數(shù)學(xué)術(shù)語中，導(dǎo)數(shù)是輸入一個(gè)函數(shù)，輸出另一個(gè)函數(shù)的線性算子。這比初等代數(shù)里的過程更抽象一些，初等代數(shù)里的函數(shù)常常是輸入一個(gè)數(shù)，并輸出另一個(gè)數(shù)。例如，如果在倍增函數(shù)中輸入3，則輸出6，和如果在平方函數(shù)中輸入3，則輸出9。但是，微分能把平方函數(shù)作為輸入，這意味著微分利用平方函數(shù)的所有信息去產(chǎn)生另一個(gè)函數(shù)（生成的函數(shù)是倍增函數(shù)）。導(dǎo)數(shù)的最常見的符號(hào)是一個(gè)類似撇號(hào)的符號(hào)，叫作“撇”。從而函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)是f'，讀作“f一撇”。例如，如果f(x) = x2是平方函數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)f'(x) = 2x是倍增函數(shù)。如果函數(shù)的輸入量代表時(shí)間，那么導(dǎo)數(shù)就代表關(guān)于時(shí)間的變化。例如，如果f是輸入時(shí)間，輸出那個(gè)時(shí)間的球的位置的函數(shù)，則f的導(dǎo)數(shù)就是位置隨著時(shí)間怎樣變化，這就是球的速度。如果一個(gè)函數(shù)是線性的（也就是說，如果函數(shù)的圖像是一條直線），那么這個(gè)函數(shù)可以寫成y = mx + b，x是自變量，y是因變量，b是y的縱截距，且

　　這個(gè)公式給了一條直線的斜率的一個(gè)準(zhǔn)確值。如果這個(gè)函數(shù)的圖像不是一條直線，那么在y上的變化量除以在x上的變化量隨x改變。導(dǎo)數(shù)給出了輸出量關(guān)于輸入量的變化率這一概念一個(gè)確切的含義。具體來說，設(shè)f是一個(gè)函數(shù)，并在它的定義域內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)a，(a,f(a))是這個(gè)函數(shù)圖像中的一個(gè)點(diǎn)。假設(shè)h是一個(gè)接近于0的數(shù)，這時(shí)a + h是一個(gè)接近于a的數(shù)。所以(a + h,f(a + h))是節(jié)點(diǎn)于(a,f(a))的。這兩點(diǎn)間的斜率是

　　這個(gè)表達(dá)式稱為差商。通過曲線上的兩個(gè)點(diǎn)的一條線稱為割線，所以m是(a,f(a))和(a + h,f(a + h))間割線的斜率。割線僅僅是函數(shù)在a點(diǎn)行為的一個(gè)近似，因?yàn)樗荒芙忉尯瘮?shù)在a到a + h之間的情況。通過設(shè)定h為0來發(fā)現(xiàn)函數(shù)在a處的行為是不可能的，因?yàn)檫@需要除以0，而除以0也是不可能的。導(dǎo)數(shù)定義為h趨向于0時(shí)差商的極限，就是說用h可取的所有可能小的值來研究f的行為，并取一個(gè)合適的值作為當(dāng)h等于0時(shí)差商的值。

　　幾何上，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)f在a點(diǎn)處切線的斜率。切線是割線的極限，正如導(dǎo)數(shù)是差商的極限。因此，導(dǎo)數(shù)有時(shí)也被稱為f的斜率。這里有一個(gè)具體的例子，就是求一個(gè)平方函數(shù)在x等于3處的導(dǎo)數(shù)。令這個(gè)平方函數(shù)為f(x) = x2

　　平方函數(shù)在點(diǎn)(3,9)處的切線斜率是6，也就是說，它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函數(shù)的定義域中的任一點(diǎn)都存在剛才所描述的極限，那么我們就把它定義為平方函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，也簡(jiǎn)稱為平方函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。以上的一個(gè)相似計(jì)算表明平方函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是倍增函數(shù)。

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積分學(xué)

　　積分學(xué)是微分學(xué)的逆運(yùn)算，即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù)，又分為定積分與不定積分。一個(gè)一元函數(shù)的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等于函數(shù)曲線下包含的實(shí)際面積。因此，我們可以用積分來計(jì)算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。從技術(shù)上來講，積分學(xué)是研究線性算子之間的關(guān)系。

　　不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，即反導(dǎo)數(shù)。當(dāng)f是F的導(dǎo)數(shù)時(shí)，F是f的不定積分。（這種在公式中使用大小寫字母以區(qū)分微分積分在數(shù)學(xué)中很常見。）

　　定積分輸入公式，得出數(shù)字，即給出圖像與橫坐標(biāo)之間面積的代數(shù)解。對(duì)定積分的技術(shù)定義是矩形總面積的極限，又稱黎曼積分。

　　舉例：在給定時(shí)間內(nèi)行徑的路程：

　　路程 = 速度 × 時(shí)間

　　如果速度是一定的，那么上述參數(shù)簡(jiǎn)單相乘既可得出結(jié)果。但如果速度為變量，那么就不得不使用更強(qiáng)大的公式。其中的一個(gè)方式是將行徑路程根據(jù)時(shí)間近似地劃分成許多小部分，將每個(gè)間距中的時(shí)間乘以當(dāng)時(shí)的速度，最后將每個(gè)間距所行徑的近似路程累計(jì)為黎曼和。最基本的概念是，如果時(shí)長(zhǎng)間隔很短，那么速度會(huì)近似不變。然而，黎曼和只給出行徑路程的近似值。我們必須求得黎曼積分的極限，來得出精確的值。

　　如果圖中的f(x)代表根據(jù)時(shí)間而改變的速度，那么a時(shí)間點(diǎn)與b時(shí)間點(diǎn)之間的路程就可以用陰影區(qū)域s來表達(dá)。

　　要求得區(qū)域面積的近似值，直觀的辦法就是將a、b兩點(diǎn)之間的路程分割為等長(zhǎng)線段，每個(gè)線段的長(zhǎng)度用符號(hào)Δx來標(biāo)記。對(duì)于每個(gè)小線段，我們?cè)诜匠躺险业綄?duì)應(yīng)值f(x)，記為h。如此，以Δx為底、h為高的矩形面積（時(shí)間Δx乘以速度h） ，就是通過該線段的路程。和每個(gè)線段相關(guān)聯(lián)的是線段上方程的平均值f(x) = h。所有矩形的總和就是數(shù)軸與曲線之間面積的近似值，即總行徑路程的近似值。Δx的值越小，矩形數(shù)量就越多，近似值也就越精確。而如果我們要求得精確值，就必須尋找Δx的極限，令其數(shù)值逼近零。

　　積分的符號(hào)是,好像一個(gè)拉長(zhǎng)的S（S意味"求和"）。定積分被記為如下：

　　求f(x)由a到b的定積分。萊布尼茨的符號(hào)dx意在表述將曲線下的面積分割為無窮多的矩形，以至于他們的寬Δx變成無窮小的dx。建立在極限上的微積分，符號(hào)

　　應(yīng)被理解為輸入方程公式，輸出數(shù)字面積。終端微分dx不是數(shù)字，也不是與方程f(x)相乘，而是作為Δx余留的極限定義，可被視為積分運(yùn)算的符號(hào)。從形式上來講，微分代表了被積分方程的變量，并作為積分運(yùn)算的尾括號(hào)。

　　不定積分，或反導(dǎo)數(shù)，被記作：

　　常數(shù)不同，導(dǎo)數(shù)相同的方程，可是說明一個(gè)方程的反導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一組常數(shù)不同的方程組。C是常數(shù)的方程y = x2 + C求導(dǎo)，得方程y' = 2x；后者的反導(dǎo)數(shù)可被寫為：

　　反導(dǎo)數(shù)中的未知常數(shù)C被稱為積分常數(shù).

　　微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

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微積分基本公式

微積分基本公式又稱微積分基本定理、牛頓-萊布尼茨公式，證實(shí)微分和積分互為逆運(yùn)算。更精確地說，它將一個(gè)反導(dǎo)數(shù)的具體值與定積分聯(lián)系起來。因?yàn)橛?jì)算反導(dǎo)數(shù)通常比應(yīng)用定積分定義更加簡(jiǎn)單，微積分基本公式為計(jì)算定積分提供了一個(gè)行之有效的方式。它也可以被理解為微分是積分逆運(yùn)算的精確解釋。

　　微積分基本公式：如果方程f在[a, b ]區(qū)間是連續(xù)的，方程F在區(qū)間（a, b）的導(dǎo)數(shù)是f，那么，

　　更進(jìn)一步，對(duì)于在區(qū)間（a, b）的每個(gè)x都有,

　　根據(jù)前輩伊薩克·巴羅的成果，艾薩克·牛頓爵士和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律。這也成為他們?nèi)蘸髷?shù)學(xué)分析碩果的重要基石�；竟綖橛�(jì)算定積分提供了簡(jiǎn)單的計(jì)算反導(dǎo)數(shù)的代數(shù)方法，而無須使用極限來窮盡。它也是解微分方程的雛形。微分方程可以給出任意方程的導(dǎo)數(shù)，成為科學(xué)的必備工具。

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719773212 (Talk | 貢獻(xiàn)) 在 2012年5月7日 06:01 發(fā)表

enen

發(fā)表評(píng)論請(qǐng)文明上網(wǎng)，理性發(fā)言并遵守有關(guān)規(guī)定。

119.147.225.* 在 2014年8月10日 13:26 發(fā)表

提到了微積分的發(fā)展史，但是內(nèi)容公式什么的沒有提及←_←

發(fā)表評(píng)論請(qǐng)文明上網(wǎng)，理性發(fā)言并遵守有關(guān)規(guī)定。

188.238.6.* 在 2015年1月15日 11:42 發(fā)表

希望能給出公式以及簡(jiǎn)單的公式運(yùn)用例子

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Tracy5566 (Talk | 貢獻(xiàn)) 在 2015年1月15日 14:30 發(fā)表

188.238.6.* 在 2015年1月15日 11:42 發(fā)表

希望能給出公式以及簡(jiǎn)單的公式運(yùn)用例子

進(jìn)行了一些補(bǔ)充，希望對(duì)您有幫助！

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