本文關(guān)鍵詞：張量，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

簡單的說：張量概念是矢量概念和矩陣概念的推廣，標量是零階張量，矢量是一階張量，矩陣（方陣）是二階張量，而三階張量則好比立體矩陣，更高階的張量用圖形無法表達。

向量是在一個線性空間中定義的量，當這個線性空間的基變換時，向量的分量也跟著變換。而一個線性空間有一個伴隨的對偶空間。

張量是一個同時定義在幾個線性空間的量，這幾個線性空間的基可同時變換，或者只是只變換幾個，此時，張量的分量也跟著變換。我們一般見到的張量是同時定義在幾個線性空間及其對偶空間里的量，在實際的符號表達中，就表現(xiàn)為同時有幾個上指標和下指標，也即線性空間及其對偶空間。

張量其實是一種線性代數(shù)，即多重線性代數(shù)，從字面上理解，也正好是上面提到的“定義在多個線性空間的量”。

在流形中，一點的切空間正好同構(gòu)于一個歐氏空間，也即，與一個歐氏空間的性質(zhì)一樣。而這個歐氏空間有一個伴隨的對偶空間，所以可以定義張量。

要對流形上張量作微分運算，必須比較流形上相距很近兩點的張量的差，這就引出了聯(lián)絡的概念，而聯(lián)絡的概念的引出，需要這兩個不同的點的歐氏空間是同構(gòu)的。進而發(fā)展了張量分析。

現(xiàn)代數(shù)學是建立在代數(shù)與拓撲基礎(chǔ)上的，很多概念如果代數(shù)水平不行，是很難理解的。比如泛函分析、纖維從理論等。代數(shù)方面的知識，最好能掌握抽象代數(shù)的概念，進而掌握交換代數(shù)的知識。

其實，線性代數(shù)是很多現(xiàn)代數(shù)學概念的基礎(chǔ)，而線性代數(shù)的核心就是空間的概念。而現(xiàn)在，我們國內(nèi)工科學的線性代數(shù)只是講一講矩陣、矩陣運算、特征值、特征向量、二次形等等。線性代數(shù)的精髓概念根本涉及不到。這也就造成了很多同學理解現(xiàn)代數(shù)學中很多概念的困難。

現(xiàn)代數(shù)學的一個非常重要的方法論就是公理化的方法。這是希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》中最先明確提出的，這本書當初得到了彭加萊的很高的評價。

公理化思想的威力我當初是在學習《實變函數(shù)論》這門課時深刻體會到的。武熙鴻老師的《黎曼幾何初步》中，則是處處滲透著公理化的思想，讀來頗有味道。

應該這樣說，是低階張量被我們找到了可以比擬的物理意義，但張量本身并不需要具有幾何比擬

其實，張量是有很強的幾何背景的，不管是低階的，還是高階的。這主要是因為現(xiàn)代張量的定義是建立在線性空間概念的基礎(chǔ)上的。而線性空間正是從一、二、三維空間中抽現(xiàn)出來的。只要把握住“多個線性空間及其對偶空間”這個關(guān)鍵就行了。

而物理學家對于張量的定義是從坐標變換的角度定義的，這正是當初Ricci定義的方式。這種定義在現(xiàn)代數(shù)學中推廣起來比較困難。所以把它定義成了多重線性映射。

我的朋友有的是搞彈性理論和流體的，但他們對張量的理解也很混亂，所以有時也向他們解釋這個東西。但好像解釋來解釋去，他們還是不太明白。可能與他們是搞計算的有關(guān)，對這些純理論的東東沒有一個很系統(tǒng)的學習與理解，而且理解那么深也沒用。不過，他們搞得計算的東東倒是一門很深的東東，我理解起來挺困難的。有時與他們神侃，很是佩服他們的計算機水平，不只對數(shù)值計算有極深的造詣，對一個程序如何編譯成匯編代碼，如何在CPU中執(zhí)行，操作系統(tǒng)如何對內(nèi)存處理，那些程序又如何在內(nèi)存中調(diào)度，反正聽得多了，我也能侃了。赫赫。尤其他們用java編寫的程序，速度與用fortaun編寫的速度差不多，太佩服他們了。

本來想用彈性理論中的應力張量作一番解釋的。但手頭沒有彈性理論的書，而且對于應力如何在一個彈性體中給出的，也不太清楚。所以就此作罷了。

但要清楚地一點是，數(shù)學中定義的空間，與實際的物理空間，比如定義在一個彈性體上的應力所在的空間，是兩碼事清。

線性代數(shù)被捕，想想還是當時實在不能理解N維空間。三維空間好理解，想象不出N維空間是個什么玩藝兒。

其實程序中經(jīng)常用數(shù)組，一維、二維、三維用慣了，多維照用就是了，根本不用想象它是平的還是方的。

張量就相當那個N維數(shù)組。

我也是數(shù)學上學習吃力.但我對四維空間最近有了新的幾何理解.我認為三維物體,包括所有星體和粒子,都以光速輻射出自身質(zhì)量,就象把自身的拷貝以光速傳送出去一樣,產(chǎn)生引力場空間.物質(zhì)的全部能量以光速輻射后,對周圍物體不產(chǎn)生任何作用,因為勻速運動的空間或能量是對物質(zhì)不產(chǎn)生任何作用的.這樣就存在一個光速擴散的似乎與我們無關(guān)的輻射空間,即所謂的虛空間,或第四維空間.如果物質(zhì)還以2倍光速輻射能量和物質(zhì),則有第5維空間.依次類推.實空間的真空和物體,都要加速收縮,以彌補輻射損失,從而產(chǎn)生了引力.總之,靜止和加速運動的物體和能量,用三維空間的數(shù)學來表示;勻速運動的物體和能量,主要是光速空間,用n+3維來表示.不知我的理解是否有道理,請高人指教.

現(xiàn)在，一看到與相對論物理有關(guān)的東東，就感覺心煩氣躁，細想，一是天資愚鈍，二是功力太差。不是我這種人能理解的了得，否則，非得走火入魔。

關(guān)于維數(shù)，我一直想用通俗的語言解釋清楚，一是因為給別人通俗的解釋一遍，更能加深自己的理解，做一些總結(jié)，對于一個概念，如果能以通俗的語言講，就表明對它的理解已達到一定的境界了；二是因為有些搞力學的朋友問到我關(guān)于維數(shù)的問題，但他們又不需要做很深的理論數(shù)學的學習，只需要應用數(shù)學即可。但是，解釋來解釋去，還是解釋不清楚。前兩天，與一位搞音樂的朋友交流，他講的淺顯的東西還是能理解的了得，但是，更深入的，就到云里了。所以，是不是對于一門學科，如果沒有很深的基礎(chǔ)做支撐，弄明白其中的一些概念，還是挺費勁的。而且，弄明白，往往是出于好奇心，并沒有太大的用處。所以，現(xiàn)在還是很矛盾。但，還是經(jīng)常寫一些小散記，以記下對一些基本概念的理解。

其實，維數(shù)的概念應該最早出現(xiàn)在幾何中(猜得)，而在拓撲學中體現(xiàn)的比較嚴謹和直觀。歷史上，數(shù)學家造出了一個一一映射，能把一維線段內(nèi)部映為一個正方形里面，，難道這說明直線與正方形同維嗎？后來才發(fā)現(xiàn)，這個一一映射，應該加上連續(xù)這個限定詞，才能保持維數(shù)的不變，這正是同胚的概念。這種概念對于我們來說是很直觀的。

后來學習代數(shù)幾何，它是用“環(huán)”、“�！�、“群”這些代數(shù)工具來研究幾何問題。結(jié)果，在里面，維數(shù)的定義一下子出現(xiàn)了4種，其中，最常用的一種定義是使用一種特殊的“環(huán)”定義的。這下子可真摸不著頭腦了，后來時間長了，才慢慢琢磨出它們的好處了。那就是，這些概念與定義，更適合與其他分支的交叉，而不是只具備很少現(xiàn)代數(shù)學基礎(chǔ)的人所能理解的。

而上面提到的n維空間的概念，在幾何中是使用公理化的方式定義的。也是經(jīng)過一段時間的琢磨，才感覺到這種定義方式的優(yōu)越性的。而要用通俗的語言解釋，現(xiàn)在確實非常的難。

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