本文關(guān)鍵詞：張量，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

簡單的說：張量概念是矢量概念和矩陣概念的推廣，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，矩陣（方陣）是二階張量，而三階張量則好比立體矩陣，更高階的張量用圖形無法表達(dá)。

向量是在一個(gè)線性空間中定義的量，當(dāng)這個(gè)線性空間的基變換時(shí)，向量的分量也跟著變換。而一個(gè)線性空間有一個(gè)伴隨的對偶空間。

張量是一個(gè)同時(shí)定義在幾個(gè)線性空間的量，這幾個(gè)線性空間的基可同時(shí)變換，或者只是只變換幾個(gè)，此時(shí)，張量的分量也跟著變換。我們一般見到的張量是同時(shí)定義在幾個(gè)線性空間及其對偶空間里的量，在實(shí)際的符號表達(dá)中，就表現(xiàn)為同時(shí)有幾個(gè)上指標(biāo)和下指標(biāo)，也即線性空間及其對偶空間。

張量其實(shí)是一種線性代數(shù)，即多重線性代數(shù)，從字面上理解，也正好是上面提到的“定義在多個(gè)線性空間的量”。

在流形中，一點(diǎn)的切空間正好同構(gòu)于一個(gè)歐氏空間，也即，與一個(gè)歐氏空間的性質(zhì)一樣。而這個(gè)歐氏空間有一個(gè)伴隨的對偶空間，所以可以定義張量。

要對流形上張量作微分運(yùn)算，必須比較流形上相距很近兩點(diǎn)的張量的差，這就引出了聯(lián)絡(luò)的概念，而聯(lián)絡(luò)的概念的引出，需要這兩個(gè)不同的點(diǎn)的歐氏空間是同構(gòu)的。進(jìn)而發(fā)展了張量分析。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在代數(shù)與拓?fù)浠A(chǔ)上的，很多概念如果代數(shù)水平不行，是很難理解的。比如泛函分析、纖維從理論等。代數(shù)方面的知識，最好能掌握抽象代數(shù)的概念，進(jìn)而掌握交換代數(shù)的知識。

其實(shí)，線性代數(shù)是很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，而線性代數(shù)的核心就是空間的概念。而現(xiàn)在，我們國內(nèi)工科學(xué)的線性代數(shù)只是講一講矩陣、矩陣運(yùn)算、特征值、特征向量、二次形等等。線性代數(shù)的精髓概念根本涉及不到。這也就造成了很多同學(xué)理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)中很多概念的困難。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的方法論就是公理化的方法。這是希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》中最先明確提出的，這本書當(dāng)初得到了彭加萊的很高的評價(jià)。

公理化思想的威力我當(dāng)初是在學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)論》這門課時(shí)深刻體會(huì)到的。武熙鴻老師的《黎曼幾何初步》中，則是處處滲透著公理化的思想，讀來頗有味道。

應(yīng)該這樣說，是低階張量被我們找到了可以比擬的物理意義，但張量本身并不需要具有幾何比擬

其實(shí)，張量是有很強(qiáng)的幾何背景的，不管是低階的，還是高階的。這主要是因?yàn)楝F(xiàn)代張量的定義是建立在線性空間概念的基礎(chǔ)上的。而線性空間正是從一、二、三維空間中抽現(xiàn)出來的。只要把握住“多個(gè)線性空間及其對偶空間”這個(gè)關(guān)鍵就行了。

而物理學(xué)家對于張量的定義是從坐標(biāo)變換的角度定義的，這正是當(dāng)初Ricci定義的方式。這種定義在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中推廣起來比較困難。所以把它定義成了多重線性映射。

我的朋友有的是搞彈性理論和流體的，但他們對張量的理解也很混亂，所以有時(shí)也向他們解釋這個(gè)東西。但好像解釋來解釋去，他們還是不太明白�？赡芘c他們是搞計(jì)算的有關(guān)，對這些純理論的東東沒有一個(gè)很系統(tǒng)的學(xué)習(xí)與理解，而且理解那么深也沒用。不過，他們搞得計(jì)算的東東倒是一門很深的東東，我理解起來挺困難的。有時(shí)與他們神侃，很是佩服他們的計(jì)算機(jī)水平，不只對數(shù)值計(jì)算有極深的造詣，對一個(gè)程序如何編譯成匯編代碼，如何在CPU中執(zhí)行，操作系統(tǒng)如何對內(nèi)存處理，那些程序又如何在內(nèi)存中調(diào)度，反正聽得多了，我也能侃了。赫赫。尤其他們用java編寫的程序，速度與用fortaun編寫的速度差不多，太佩服他們了。

本來想用彈性理論中的應(yīng)力張量作一番解釋的。但手頭沒有彈性理論的書，而且對于應(yīng)力如何在一個(gè)彈性體中給出的，也不太清楚。所以就此作罷了。

但要清楚地一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)中定義的空間，與實(shí)際的物理空間，比如定義在一個(gè)彈性體上的應(yīng)力所在的空間，是兩碼事清。

線性代數(shù)被捕，想想還是當(dāng)時(shí)實(shí)在不能理解N維空間。三維空間好理解，想象不出N維空間是個(gè)什么玩藝兒。

其實(shí)程序中經(jīng)常用數(shù)組，一維、二維、三維用慣了，多維照用就是了，根本不用想象它是平的還是方的。

張量就相當(dāng)那個(gè)N維數(shù)組。

我也是數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)吃力.但我對四維空間最近有了新的幾何理解.我認(rèn)為三維物體,包括所有星體和粒子,都以光速輻射出自身質(zhì)量,就象把自身的拷貝以光速傳送出去一樣,產(chǎn)生引力場空間.物質(zhì)的全部能量以光速輻射后,對周圍物體不產(chǎn)生任何作用,因?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)的空間或能量是對物質(zhì)不產(chǎn)生任何作用的.這樣就存在一個(gè)光速擴(kuò)散的似乎與我們無關(guān)的輻射空間,即所謂的虛空間,或第四維空間.如果物質(zhì)還以2倍光速輻射能量和物質(zhì),則有第5維空間.依次類推.實(shí)空間的真空和物體,都要加速收縮,以彌補(bǔ)輻射損失,從而產(chǎn)生了引力.總之,靜止和加速運(yùn)動(dòng)的物體和能量,用三維空間的數(shù)學(xué)來表示;勻速運(yùn)動(dòng)的物體和能量,主要是光速空間,用n+3維來表示.不知我的理解是否有道理,請高人指教.

現(xiàn)在，一看到與相對論物理有關(guān)的東東，就感覺心煩氣躁，細(xì)想，一是天資愚鈍，二是功力太差。不是我這種人能理解的了得，否則，非得走火入魔。

關(guān)于維數(shù)，我一直想用通俗的語言解釋清楚，一是因?yàn)榻o別人通俗的解釋一遍，更能加深自己的理解，做一些總結(jié)，對于一個(gè)概念，如果能以通俗的語言講，就表明對它的理解已達(dá)到一定的境界了；二是因?yàn)橛行└懔W(xué)的朋友問到我關(guān)于維數(shù)的問題，但他們又不需要做很深的理論數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，只需要應(yīng)用數(shù)學(xué)即可。但是，解釋來解釋去，還是解釋不清楚。前兩天，與一位搞音樂的朋友交流，他講的淺顯的東西還是能理解的了得，但是，更深入的，就到云里了。所以，是不是對于一門學(xué)科，如果沒有很深的基礎(chǔ)做支撐，弄明白其中的一些概念，還是挺費(fèi)勁的。而且，弄明白，往往是出于好奇心，并沒有太大的用處。所以，現(xiàn)在還是很矛盾。但，還是經(jīng)常寫一些小散記，以記下對一些基本概念的理解。

其實(shí)，維數(shù)的概念應(yīng)該最早出現(xiàn)在幾何中(猜得)，而在拓?fù)鋵W(xué)中體現(xiàn)的比較嚴(yán)謹(jǐn)和直觀。歷史上，數(shù)學(xué)家造出了一個(gè)一一映射，能把一維線段內(nèi)部映為一個(gè)正方形里面，，難道這說明直線與正方形同維嗎？后來才發(fā)現(xiàn)，這個(gè)一一映射，應(yīng)該加上連續(xù)這個(gè)限定詞，才能保持維數(shù)的不變，這正是同胚的概念。這種概念對于我們來說是很直觀的。

后來學(xué)習(xí)代數(shù)幾何，它是用“環(huán)”、“�！�、“群”這些代數(shù)工具來研究幾何問題。結(jié)果，在里面，維數(shù)的定義一下子出現(xiàn)了4種，其中，最常用的一種定義是使用一種特殊的“環(huán)”定義的。這下子可真摸不著頭腦了，后來時(shí)間長了，才慢慢琢磨出它們的好處了。那就是，這些概念與定義，更適合與其他分支的交叉，而不是只具備很少現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人所能理解的。

而上面提到的n維空間的概念，在幾何中是使用公理化的方式定義的。也是經(jīng)過一段時(shí)間的琢磨，才感覺到這種定義方式的優(yōu)越性的。而要用通俗的語言解釋，現(xiàn)在確實(shí)非常的難。

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