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好老師詳細講解：什么是抽屜原理？（好老師建議準備小學奧數(shù)的同學學習本篇內容） 發(fā)表時間：2009-01-19 08:40:24 [查看原文]

　　什么是抽屜原理呢？抽屜原理可以這樣表達：把（n+1）個物體，放進n個抽屜里去，不論怎樣放法，至少有一個抽屜內的物體不少于2個。

　　A組：

　　1.有29個人都在2月份出生，其中一人說：“我的生日肯定和其他人重復�！边@話對嗎？

　　2.某校有366名1979年出生的學生，那么是否至少有2個學生的生日是同一天的？

　　3.參加數(shù)學競賽的210名學生，能否保證有18名或18名以上的學生在同一個月出生？為什么？

　　4.一個袋子里有些球，這些球除顏色不同外，其他都相同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個，某人閉著眼睛從其中取出若干個。試問他至少要取多少個球，方能保證至少有4個球顏色相同？

　　5.有黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至少要取多少根才能保證達到要求？（1986年“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽初賽試題）

　　B組：

　　6.有紅、黃、藍、黑四種顏色的小球各若干個，每個人可以從中任意選擇兩個，那么需要幾個人才能保證至少有2人選的小球顏色相同？為什么？

　　7.某電影院共有1987個座位，有一天，這家電影院上、下午各演一場電影�？措娪暗恼墒羌�、乙兩所中學的各1987名師生。同一所學校的學生有的看上午場，也有的看下午場。因此，有人推斷說：“這天看電影時，肯定有的座位在上午、下午坐的是兩所不同學校的師生�！蹦隳苷f明這種斷言正確與否嗎？

　　8.10名乒乓球運動員進行單循環(huán)比賽（每兩個運動員之間都要賽一場而且只賽一場）。證明每天比賽結束時，一定有兩名運動員，他們累積比賽的場數(shù)是相同的。

　　9.在我國至少有兩個人出生的時間相差不會超過4秒鐘。你能證明這個結論是正確的嗎？

　　C組：

　　10.證明在任何6個人的聚會上，總有3個人互相認識或者3個人互相不認識。

　　11.老師將一批課外讀物隨意分給10名學生，保證每個學生至少分到1本，可以肯定在這10名學生中，一定有一些學生所得到的書的總和是10的倍數(shù)嗎？為什么？

　　12.從13個自然數(shù)中，一定可以找到兩個，它們的差是12的倍數(shù)。

　　答案：

　　A組：1.不對。因為閏年2月份有29天，29個人有可能兩兩生日都不相同。

　　2.這道題中的“1979年”是平年，一年有365天，應用抽屜原理，把365天看作365個抽屜，把366名學生看作366本書，把366本書放到365個抽屜中，至少有一個抽屜中有2本書。因此，366名學生中至少有2名學生的生日是同一天的。3.這道題問的是在210名學生中能否有18名以上的學生是同一個月出生的。應用抽屜原理，把一年的12個月看作12個抽屜，把210名學生看作210本書，如果每個抽屜里放17本書，那么共放17×12=204（本），因為210＞204，所以一定有18本或18以上的書在同一個抽屜里。因此，參加數(shù)學競賽的210名學生中，肯定有18名或18名以上的學生在同一個月出生。

　　4.3+3+3+2+1＝12（個）。

　　5.在黑暗中摸筷子，如果摸8根都是同一顏色，只能保證有一雙筷子。再摸2根，如果顏色不同，一樣一根，也不能配成一雙。這時，10根筷子共有三種顏色，再摸一根，不論是什么顏色，總可以從“一樣一根”的筷子中選出一根來配成一雙。所以，至少要取出11根，才能保證取出顏色不同的兩雙筷子。

　　B組：6.這道題問的是需要幾個人才能保證至少有2人選的小球顏色相同，那么從紅、黃、藍、黑四種顏色的小球中任意選擇兩個，有幾種不同的選法呢？共有10種不同的選法：（1）紅+紅；（2）黃+黃；（3）藍+藍；（4）黑+黑；（5）紅+黃；（6）紅+藍；（7）紅+黑；（8）黃+藍；（9）黃+黑；（10）藍+黑。即10個人參加選，每人選的小球顏色不相同。應用抽屜原理，把10種選法看作10個抽屜，每人任意選2個球，需要有11人，才能保證至少有2人選的小球顏色相同。7.這種說法是正確的。甲乙兩校師生都是1987名，電影院的座位也恰是1987個，上、下午兩場共有1987×2人看電影，顯然上、下午都滿場。

　　由于電影院共有1987個座位，是個奇數(shù)，且為：993×2+1，因此，上午場看電影的師生中至少有一個學校的人數(shù)不少于994人，假設甲�？措娪叭藬�(shù)不少于994人，那么甲校下午看電影的人數(shù)不多于1987-994=993（人），這些學生即使全坐在上午甲校學生的座位上，也不能坐滿，至少還余下一個座位，這個座位下午要坐的一定是乙�？措娪暗膸熒�。8.由于比賽是單循環(huán)進行的，所以在整個比賽過程中每個運動員都要賽9場。這樣在每天比賽結束時，都可以出現(xiàn)兩種情況，一種情況是每一運動員都還沒有賽9場，也就是說這9名運動員已經(jīng)賽過的場數(shù)只可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8這9種。這9種可能性就是抽屜，元素是10名運動員，，可見一定有兩個人賽的場數(shù)是一樣的。

　　還有一種情況，就是已經(jīng)有某個運動員賽了9場，由于是單循環(huán)，不能還有運動員沒有賽過。這樣10名運動員賽過的場數(shù)只可能是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9種。還是9個抽屜10個元素。

　　總之，無論是哪一種情況，一定有兩個人賽的場數(shù)是一樣多的。

　　9.首先我們要明確在我國有12億人口，而每個人的壽命設為不超過110歲，這樣我們看一看在110年里共包括多少個4秒間隔，這個數(shù)字也就是抽屜的個數(shù)，如果這個數(shù)小于12億，那么就可以肯定有兩個人出生的時間相差不超過4秒。

　　110年大致合4萬天，一天有3600×24秒，這樣在110年中共有3600×24×4萬秒，于是4秒間隔數(shù)為3600×24×4萬÷4=86400萬，即八億六千四百萬。

　　這就是抽屜數(shù)，元素數(shù)是12億。于是一定有兩個人在同一抽屜里，也就是說，至少有兩人出生時刻相差不到4秒。

　　C組：10.為了便于說明問題，我們在紙上取6個點A、B、C、D、E、F來代表6個人。如果兩個人認識就用紅線（圖10-16中的實線）把代表他們的點連接起來，如果兩個人互相不認識就用藍線（圖中的虛線）把代表兩人的點連接起來，每兩點之間都有一條紅線或者藍線連結著，這些點和線組成了若干個三角形。問題就轉化了，如果有三個人互相認識（或不認識），那么以代表這三個人的三個點為頂點的三角形的三條邊全是紅色（或藍色）的。 


                                                               

　　考慮從A點出發(fā)的五條線。由于它們不是紅色的就是藍色的，由抽屜原理知，至少有三條邊的顏色是相同的，不妨設為AB、AC及AD為紅色的。

　　下面考慮點B、C、D之間的連線。如果三條連線中至少有一條是紅色的，假如BC是紅色的，那么△ABC的三條邊全是紅色的，說明A、B、C三點代表的三個人互相認識；如果三條連線全是藍色的，則△BCD的三條邊都是藍色的，說明B、C、D三點代表的三個人互相不認識。

　　11.題目是要證明有一些學生分得的課外讀物的總和是10的倍數(shù)。所以可以把10個學生所分得的課外讀物數(shù)的和寫出來進行分析。設10個學生分得的課外讀物的數(shù)分別是a1、a2、…、a10；再設s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…，s10=a1+a2+…+a10；分別代表1個學生，2個學生……，10個學生所分得的書的總和。下面我們來分析s1，s2，s3，…，s10這10個數(shù)。自然數(shù)被10除時，余數(shù)只有10種可能的情況，即0，1，2，…，9。

　　把每一個s用10去除，都各自得到一個余數(shù)。如果每一個數(shù)被10除后的余數(shù)都不相同，則必有一個s被10除余數(shù)為0，比如是S7，也就是說，前7個學生所分得的課外讀物的總和是10的倍數(shù)。否則根據(jù)抽屜原則，一定有兩個s，它們被10除后所得的余數(shù)相等，不妨設為S2和S8；于是S8-S2就一定能被10整除。而s8-s2=a8+a7+a5+a4+a3，也就是說第3個學生至第8個學生分得的課外讀物的總和是10的倍數(shù)。這樣問題就全部解決了。

　　12.有了上一題的分析，這個題就變得十分簡單了。設13個自然數(shù)為a1，a2，a3，…，a12，a13。用12去除每個a，得到13個商和余數(shù)。

　　由于自然數(shù)被12除時，只可能有12種不同的余數(shù)，這就是要找的抽屜，13個數(shù)是元素，于是一定有兩個在同一抽屜里，即它們被13除時余數(shù)是相同的，不妨設為a7=12·q1+r，a11=12·q2+r，a7-a11=12（q1-q2）是12的倍數(shù)。問題得到解決。

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游客 說：

謝謝了，但是還是有些不明白，要是再具體清楚些就更好了。

2013-04-10 19:03:42  [來自：博客圈(我的大學生活)]

游客 說：

不懂

2012-05-14 18:39:32  [來自：博客圈(我的大學生活)]

游客 說：

抽屜原理的題目我有點搞不懂耶..有興趣的朋友加我QQ好嗎？893854059/814336559希望大家?guī)臀医鉀Q學習上的問題...謝謝��！

2009-04-01 20:32:47  [來自：博客]

儒生 說：

這些數(shù)學問題搞的我頭有點大了，但喜歡的人會覺得特有趣。

2009-01-19 08:46:08  [來自：博客]

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