世界三大猜想

費馬猜想

費馬紀念郵票

1637年左右，“業(yè)余數(shù)學家之王”費馬先生在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下�！�

好一個“空白的地方太小，寫不下”，終使無數(shù)后代數(shù)學家們前仆后繼。

歐拉、狄利克雷、勒讓德、拉梅、高斯的學生庫默爾、勒貝格、谷山豐等等開始接力猜想的證明過程。

終于在猜想提出350多年后的1994年由英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）完成，遂稱費馬大定理。

當然，懷爾斯解決這個猜想本身就是一個精彩傳奇。

數(shù)學家安德魯·懷爾斯

四色猜想

四色猜想的提出也頗具生活化。1852年，畢業(yè)于倫敦大學的格斯里（FrancisGuthrie）來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)每幅地圖都可以只用四種顏色著色。于是，他做了一個很自然地思考：這個現(xiàn)象能不能從數(shù)學上加以嚴格證明呢？

數(shù)學源于生活�。�

這個猜想若到此，也就不會激起再大的反響。恰恰是格斯里的弟弟的導師正是著名數(shù)學家德·摩爾根，這位德·摩爾根有位好友數(shù)學家正是發(fā)明“四元數(shù)”的著名數(shù)學家哈密爾頓爵士。而問題恰恰就出在這位神童爵士到死沒有解決這個問題。這時，大家才意識到這個問題的嚴重性。

數(shù)學家哈密爾頓

1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題，于是又一個猜想引得無數(shù)一流數(shù)學家拋頭顱灑熱血。

數(shù)學家凱利

經(jīng)過肯普、赫伍德等人的努力后，證明了一個較弱的命題——五色定理，即，對地圖著色，用五種顏色就夠了。這時，又到了一個瓶頸，越來越多的數(shù)學家絞盡腦汁，再無進展。人們也開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個與費馬猜想相媲美的難題。

最后，在1976年6月，美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，兩位數(shù)學家阿佩爾（Kenneth Appel）與哈肯（Wolfgang Haken）用了1200個小時，作了100億判斷，結(jié)果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。遂稱四色定理。

一枚紀念郵票，上面寫著“四種顏色就夠了”

有意思的是，這個問題的研究意外帶動拓撲學與圖論的生長、發(fā)展。

看似簡單的問題，真的不簡單。這本身就是大自然留給人類的一個無限的謎。

至此，世界三大猜想已然解決了兩個，剩下最后一個哥德巴赫猜想至今尚未徹底解決。

哥德巴赫猜想

這個哥德巴赫猜想，與大文豪歌德無關，當然，亦非“西方近代音樂之父”巴赫所為，而是源自于一位與之同時代的德國數(shù)學愛好者哥德巴赫（Goldbach C.）。

這位富家子弟哥德巴赫喜歡結(jié)交數(shù)學家，與數(shù)學史上最偉大的家族伯努利家族結(jié)識，和大數(shù)學家歐拉是好友。真是物以類聚，人以群分。

1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出了一個猜想：任何一個奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個素數(shù)之和，即77=53+17+7；又如461可以寫成257+199+5，仍然是三個素數(shù)之和。即發(fā)現(xiàn)“任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和�！�

1742年6月30日歐拉先生給哥德巴赫回信了：這個命題看來是正確的，但是暫給不出嚴格的證明。同時歐拉對上述命題做了修改：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和。這個歐拉版本是現(xiàn)在常見的猜想陳述，當然，他到死也沒能給予證明。

大數(shù)學家沒能解決的問題，當然吸引人。1770年，英國數(shù)學家愛德華·華林（Waring Edward）首先將它公之于眾。于是，又一場新的數(shù)學追逐賽開始了。

研究偶數(shù)的哥德巴赫猜想常見有四個途徑，其中殆素數(shù)（素因子個數(shù)不多的正整數(shù)）是個重要途徑。即常用“a+b”這樣的形式表示如下命題：每個大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數(shù)分別不超過a和b，即N=A+B。易知，哥德巴赫猜想就是證明N可以寫成"1+1"。

200多年過去了，至今沒有完全解決。不過由此猜想帶來的數(shù)學新方法則層出不窮，從另一方面促進數(shù)學自身的發(fā)展。

我國最早研究哥德巴赫猜想的數(shù)學家是華羅庚先生。后，王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當好的成績。目前最好的成果（陳氏定理）乃于1966年由中國數(shù)學家陳景潤取得，即所謂的 “1 + 2 ”。

數(shù)學家陳景潤的墓碑

或許，最后要摘下這顆數(shù)學上的明珠，還在等待新的數(shù)學新方法吧！

這三大數(shù)學猜想看似簡單易懂，一般人都能理解，，但實則內(nèi)涵深邃無比，不可輕易觸碰。

希爾伯特23個數(shù)學問題與世界七大數(shù)學難題

而從數(shù)學史上看，某一階段的數(shù)學猜想的總結(jié)與重接提出又往往引領著數(shù)學的發(fā)展與方向。

數(shù)學巨匠大衛(wèi)·希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開的第二屆世界數(shù)學家大會上的著名演講中提出了23個數(shù)學難題。在過去百年中激發(fā)數(shù)學家的智慧，指引數(shù)學前進的方向，其對數(shù)學發(fā)展的影響和推動是巨大的，無法估量的。其中，除了第8、9、15、16個問題未解決或部分解決，其它大部分已經(jīng)解決。

大衛(wèi)·希爾伯特

然后，在過了百年后的2000年，根據(jù)數(shù)學一世紀以來空前的發(fā)展，美國克雷數(shù)學研究所的科學顧問委員會又選定了七個“千年大獎問題”，克雷數(shù)學研究所的董事會還建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。

同樣的，“千年大獎問題”一經(jīng)提出，便在世界數(shù)學界產(chǎn)生了強烈反響。這些問題都是關于數(shù)學基本理論的，但這些問題的解決將對數(shù)學理論的發(fā)展和應用的深化產(chǎn)生巨大推動。

至今，已有一個被解決，即龐加萊猜想由俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼破解，還剩六個。

不過，現(xiàn)在看來，能解決這些猜想的數(shù)學家都不是一般的怪才。這位謎一樣的天才格里戈里·佩雷爾曼同樣不一般，千禧數(shù)學獎頒獎時他不在場，他還拒絕了數(shù)學界的最高榮譽——菲爾茲獎，這可是許多數(shù)學家們畢生所追求的無上榮譽。

格里戈里·佩雷爾曼

大數(shù)學家也有猜錯之時

當然，既然是猜想，也就有猜錯的可能。

更甚者，若是大數(shù)學家自己猜錯，可能就帶來后世數(shù)學家?guī)装倌甑恼垓v。

下面，我們不妨領略一二。

無理數(shù)的烏龍事件

畢達哥拉斯

首先出場的，就是大名鼎鼎的畢達哥拉斯學派。

畢達哥拉斯學派是數(shù)學史上最早以理性的邏輯思維，即從數(shù)理的角度探求自然本原的學派。

不過，他們所謂的“一切數(shù)”是均可表成整數(shù)或整數(shù)之比的數(shù)（即我們所知的有理數(shù)）。得出這個結(jié)論，當然不是演繹推理的結(jié)果，而是基于經(jīng)驗基礎和其哲學思想基礎上的一個歸納總結(jié)。在數(shù)學層面上看充其量就是一個數(shù)學猜想。

因為畢達哥拉斯神一般的地位，當時，無人懷疑。

然而，戲劇性的是畢達哥拉斯學派從數(shù)學問題本身出發(fā)的推導出了畢達哥拉斯定理（即勾股定理），于是，注定成了自己數(shù)學信仰的“掘墓人”。

其學派中的一個成員希帕索斯在利用畢達哥拉斯定理研究邊長為1的正方形時，發(fā)現(xiàn)其對角線的長度無法用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，也就是說，這個數(shù)并非他們學派一直信仰的“數(shù)”。這就是數(shù)學史踢出的第一個烏龍球“根號2”。

不過，這個現(xiàn)在中學生習以為常的一個數(shù)，在當時社會的出現(xiàn)，不管是對數(shù)學，還是哲學，都是一個致命的打擊。該學派領導人惶恐之余，認為這將動搖他們在學術界的統(tǒng)治地位，也動搖了他們對數(shù)的信仰。于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，于是希伯索斯被殘忍地扔進了大海。這個希伯索斯算是史上有記載的第一位為真理獻身的數(shù)學家了。

他們猜錯了，還不認錯，這才是真正可悲的事。

當然，數(shù)學真理終究是無法隱蓋的。這個根號2最終導致了數(shù)學史上第一次數(shù)學危機的發(fā)生，也讓人們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)的存在。

“馬”失前蹄

費馬

還是那位提出費馬大猜想的費馬先生。他發(fā)現(xiàn)：

這位數(shù)學愛好者哥德巴赫雖然沒有研究什么大的數(shù)學問題，但絕對算是數(shù)學史上的一位福星，不斷發(fā)現(xiàn)并提出問題，從而意外推進數(shù)學的發(fā)展。

再說這位歐拉，1732年，年僅25歲，但已經(jīng)于前一年獲得物理學教授的職位，再過兩年就將接替他的老師丹尼爾成為數(shù)學所所長 。就這樣，這個天才數(shù)學家在費馬死后67年得出F5 =641×6700417，這一結(jié)果意味著F5 是一個合數(shù)，從而宣告了費馬的猜想是錯的。

馬也有失前蹄的時候�。�

費馬，這位偉大的數(shù)論天才看來過于相信自己的直覺，輕率地做出了他一生唯一的一次大的離譜的錯誤猜測——因為，迄今為止，費馬數(shù)除了被其本人所證實的那五個外竟然沒有再發(fā)現(xiàn)一個！

于是，人們又開始了另一猜想：在所有的費馬數(shù)中，除了前五個是素數(shù)外，其他的都是合數(shù)。

至于這個猜想，至今，仍不得而知。

歐拉也不能幸免

歐拉紀念郵票

歐拉在研究費馬最后定理（前面提到的費馬猜想）時引出一個猜想，每個大于2的整數(shù)n，任何n- 1個正整數(shù)的n次冪的和都不是某正整數(shù)的n次冪。即

比如，當n=4時，即

歐拉猜想這個方程無整數(shù)解。

二百年來，沒有人能證明歐拉猜想，但也沒有人能找出一個反例來否定它。直到1966年，L. J. Lander和T. R. Parkin找到了第一個反例：

同時，Noam Elkies 也證明了這個方程有無窮多個解。自此，歐拉猜想也有了結(jié)論，大數(shù)學家也有猜錯的時候。

梅森數(shù)的意外

梅森

最后，我們再來提一下梅森數(shù)。

17世紀法國著名的僧侶數(shù)學家馬林•梅森（Mersenne）在歐幾里得、費馬等人有關研究的基礎上對2p－1（數(shù)學界把這種數(shù)稱為 “梅森數(shù)”，并以Mp記之。）作了大量的計算、驗證，并于1644年在他的《物理數(shù)學隨感》一書中斷言：

在不大于257的素數(shù)中，當p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時，2p－1是素數(shù)，其它都是合數(shù)。 

因為梅森的地位，同樣地，250年來，人們對其斷言也是深信不疑。

直到1903年，哥倫比亞大學的數(shù)學家科爾（Frank Nelson Cole,1861～1926）在美國數(shù)學會的一個會議上作了一篇《論大數(shù)的因式分解》。只見，科爾寫下了267 -1=147 573 952 589 676 412 927=193 707 721×761 838 257 287。

于是，梅森猜想這個百年神話頃刻間破滅。

數(shù)學猜想的證明之路漫漫，數(shù)學猜想的提出也必將繼續(xù)不斷。只是正如Simon Singh在其所著的《費馬大定理：一個困惑了世間智者358年的謎》所言：“這里的教訓是，你不能通過只對前一百萬個數(shù)字來證明一個猜想對所有的數(shù)都成立。”

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