先聲明，本文轉(zhuǎn)載無需征求我的同意．

在中國科大(簡稱科大)第一年上的是統(tǒng)計物理A, 今年春季上的又是統(tǒng)計物理A．　在科大，A表示要求最高的意思，B的難度要稍低一點，比如給生物系或者化學(xué)院的學(xué)生上的就是B．　首先要感謝科大的統(tǒng)計物理教研組的老師給我上這次課的機會．　 通過這兩年上課，自己對統(tǒng)計物理每個幾角旮旯的知識點基本都掌握了，在指導(dǎo)學(xué)生科研上也更加得心應(yīng)手，這是我的總結(jié)的出發(fā)點．

中國科大統(tǒng)計物理教材，上下兩冊，前半部分講熱力學(xué)，后面部分講統(tǒng)計物理. 我比較喜歡這套教材，尤其是第二本，我覺得總結(jié)的很多東西都非常好， 系統(tǒng)而且全面．但是在講述問題的時候，結(jié)構(gòu)可以更加優(yōu)化．

１．　教材和參考資料的選取．　我采用的是國內(nèi)常用的教材，如汪志城老師的統(tǒng)計物理以及中國科大曹烈兆老師的熱力學(xué)與統(tǒng)計物理．　但是同時也參考了很多其它書，包括外文書． 我不認為教材真的很重要，只是參考書而已．　上課的時候我基本是按照自己的思路講，更多的時候采用的內(nèi)容都不是這些書本上的，而是直接來自論文以及參考文獻．　比如在講述統(tǒng)計分布的時候，我直接參考了Bose的原始論文．　在講述熵的時候，我從就熵是混亂度的度量的基本性質(zhì)出發(fā)，通過幾條基本性質(zhì)，推導(dǎo)出了熵的形式是唯一的這一結(jié)論．這幾條性質(zhì)暫列如下:

(a) 熵是混亂度的度量方式，它是正的, S=0表示完全確定的.

(b) 對于給定的隨機數(shù)， p = (p1, p2, p3, ...), 其中pi介于[0, 1]，所有的pi求和等于1．那么熵S = sum_i f(pi),其中f(x)待定．

(c) 邊界條件. 如果pi =0 或者 1, f(pi) = 0, 即在確定性情況下無熵．

(d) 對于兩個毫無關(guān)系的系統(tǒng), S(AB) = S(A) + S(B).

上面的四條基本性質(zhì)可以得到S = -K sum pi log(pi), 其中K是正的常數(shù)，它的取值和物理系統(tǒng)相關(guān)．我之所以有這個問題，是因為我一直在思考，為什么所有的熵都是ｌｏｇ關(guān)系呢？ 原來如此,道理并不復(fù)雜．　

我最喜歡參考的資料還是維基百科,所以我不認為教材非常關(guān)鍵．現(xiàn)在百度百科其實有些內(nèi)容介紹得也不錯，知乎上有些介紹也非常專業(yè)，我并不排斥學(xué)生參考這些中文資料．  在收集這些資料的時候我自己也受益匪淺，　對書本的知識也有了新的看法．舉一個具體例子，在講Maxwell關(guān)系的時候，我給學(xué)生的作業(yè)是利用外微分方法推導(dǎo)所有的Maxwell關(guān)系, 如下圖:

統(tǒng)計物理中的Maxwell關(guān)系的關(guān)系圖.

我非常喜歡維基百科的這個結(jié)果，我感覺比教材上的很多總結(jié)都要好．這個圖包含的信息比教材上的要多得多，不僅包括了不同的物理量的關(guān)系，也包括了它和可觀測量的關(guān)系，　如果學(xué)生好好總結(jié)這個圖，定會有很大的收獲．　在上課的時候，我沒有過多討論這個圖的奧妙，下次應(yīng)該點破這層紙．

２．　純板書的教學(xué)方式．　我不喜歡照著ｐｐｔ念．　對于ｐｐｔ，我自始至終有種排斥感，在我讀書的時候基本就是這樣．　現(xiàn)在很多學(xué)生不喜歡ｐｐｔ，主要原因是速度太快，無法跟進．　我對ｐｐｔ的排斥，是因為它固化了整個教學(xué)過程，讓上課的老師無法思考問題并重新創(chuàng)作．　我認為的好的教學(xué)方式，應(yīng)該是一種重新創(chuàng)作的過程，而不是按照某種固定流程的重演．　我不反對其它老師使用ｐｐｔ，而且我也相信可能有些老師可以使用得非常好，我自己沒有這個功底．　對我自己來說，我擔(dān)心的是既然ｐｐｔ上的內(nèi)容固定了，在上課的時候臨時講一些別的東西就會變得非常困難．另外一個原因是很多教室的投影屏幕會遮掉絕大部分的黑板，留下來演算的空間也就不多了．　有一次去拜訪我的高中數(shù)學(xué)老師，他問道我上課的方式，我說純板書，不用ｐｐｔ，他給了我大拇指．　看來高中老師現(xiàn)在用ｐｐｔ的也不少了．

圖片來自網(wǎng)絡(luò)，投影屏幕和黑板往往會重疊．　

３．　不照搬講義，脫稿講演，根據(jù)需要引入新的方式．　這是我另外一件努力在做的事情．上課的時候，我會帶上課本和我收集到的資料，但是在上課的時候，基本還是脫稿演算和講解．目前我基本可以可以做到全程脫稿講解，最長的一次是講了三個小時(非統(tǒng)計物理)．　為什么我要這樣呢？　有兩個原因，　第一，我希望我的課程是一種重新創(chuàng)作的過程；　第二，希望給學(xué)生傳遞一種自信．　基本上所有老師都有這樣的經(jīng)驗，照本宣科的老師的課缺席率和睡覺率／玩手機率都會較高，老師上課越是自信，學(xué)生不認真的可能性就會越�。鳛榇笕诙䝼�學(xué)期的課程，出勤率都保持在60%左右，我感覺還不錯了．當然科大出勤率更高的課程有很多．

自己私下是做了很多功課的．盡管如此，上課時有時候還是會出現(xiàn)一些問題，比如發(fā)現(xiàn)一個新問題，講不下去了．去看講義，發(fā)現(xiàn)也沒有，書本上也沒有，于是卡殼了．第一次上統(tǒng)計物理的時候，這樣的尷尬局面出現(xiàn)過幾次，第二次上課的時候，好像只出現(xiàn)過一次．我記得有一次卡殼和求和化積分有關(guān)，我問學(xué)生，你們都知道怎么來的嗎？　學(xué)生搖頭，我說那我們證明一下．我就按照自己的方法證明，可是就是相差一個8倍的因子．后來才知道原來是每個方向重復(fù)計算了兩次．　

一般教材中的Maxwell關(guān)系總結(jié)，信息量有限．

在上課的時候臨時決定采用新的方法，也有更多成功的例子，比如在證明Maxwell關(guān)系的時候，就是臨時決定采用外微分方法證明，　比如

$dU = -PdV + TdS$

利用 $d^2=0$ , 我們立刻可以得到如下結(jié)果，　

$-dP \wedge dV + dT \wedge dS =0.$

利用這個結(jié)果可以得到各種Maxwell關(guān)系．但是由于很多學(xué)生對外微分形式不懂，所以臨時需要介紹各種外微分的基本知識，并布置相應(yīng)的作業(yè)．第一次上統(tǒng)計物理的時候，我采用的并不是這個方法，　第二次上課前幾天，正好看到一篇文章講外微分的應(yīng)用，在上課之前，忽然想到了這個，于是就決定采用這個方式(科大有部分學(xué)生在高數(shù)階段確實學(xué)習(xí)過外微分)．另外一次例子是講Poisson求和，在Haldane的ｂｏｓｏｎｉｚａｔｏｎ的文章中用到過，正好在上課的時候有很多求和化積分的情況，于是臨時決定采用Poisson求和法來講解這些問題．　關(guān)于Poisson求和公式，可以參考https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula

Poisson求和關(guān)系，在實空間求和等于對偶空間求和. 這些對偶關(guān)系可以揭示很多重要的物理．

我們物理中的很多問題，求和困難，但是求傅立葉變換不難，所以Poisson求和可以有很大作為．這樣成功的例子還有很多，所以盡管可能有卡殼的時候，我還是覺得上課應(yīng)該如此．對我自己來說，也是一個很好的訓(xùn)練．　有學(xué)生不理解我的做法，認為是我上課時準備不夠(好像有學(xué)生就給我這樣的評價). 也有學(xué)生不喜歡我拉扯很多課本外的東西，盡管我都給了他們出處． 但是也有學(xué)生感覺我提供了另外一種思路，收獲很大．我感覺上課無法做到每個人都滿意，譬如廚師，眾口難調(diào)．但是在上課的過程中，我讓學(xué)生看到了很多教材外的東西，而且有些東西我確實講明白了，講透徹了，所以我還是決定應(yīng)該如此上課．　這些擴展讓學(xué)生在學(xué)習(xí)一門課的時候，可以順帶復(fù)習(xí)一下已經(jīng)學(xué)習(xí)過的課程并了解它們的具體應(yīng)用．　這也是我上課的基本原則：對知識負責(zé)，而不是看學(xué)生的評價．

４．　引入課外知識以及建立不同課程之間的關(guān)聯(lián)．　我一直有這樣的感覺，目前我們的教材，由于是不同老師編寫的，另外需要考慮它們的獨立性，所以盡量刪除了各門課程的關(guān)聯(lián)．這樣的做法無可厚非，但是上課的老師不能局限于此．比如在講絕熱過程的時候，我介紹了絕熱過程的歷史，包括在經(jīng)典力學(xué)里面的應(yīng)用，在索末菲量子化條件中的應(yīng)用，在Landau-Zener過程中的應(yīng)用(第一個可以嚴格求解的含時Schrodinger過程)以及在熱力學(xué)中的應(yīng)用．它們的用法各不不同，但是思想非常相似．在介紹配分函數(shù)的時候，我介紹了數(shù)學(xué)里面的cumulant展開， 并且推導(dǎo)了很多結(jié)果．這個結(jié)果和配分函數(shù)， 集團展開和場論以及路徑積分中的linked cluster theorem有密切的關(guān)系．我自己甚至懷疑早期的科學(xué)家受到過這些結(jié)論的啟發(fā)，但是已經(jīng)沒有辦法考證了．

關(guān)于集團展開，我會給學(xué)生如下題目，請證明(來自A. Zee書本的啟發(fā))，

$\langle x^{2n} \rangle = (2n-1)!!$

該結(jié)果可以用linked cluster完全表示．這些介紹，可以讓學(xué)生知道我們的很多想法都不是從天上掉下來的，而是往往有跡可循．典型的例子還有Bloch定理，我就一直懷疑Bloch受到了Floquet定理(1883年，早于Bloch定理50年)的啟發(fā)．類似的方程已經(jīng)在數(shù)學(xué)里面研究了很多，比如1886年Hill引入的Hill方程等等．如果我上固體物理，我就會從Floquet定理，Hill方程以及馬丟方程出發(fā)來講述周期性系統(tǒng)的性質(zhì)，而馬丟方程的求解/畫圖也是一個必須掌握的內(nèi)容(目前mathematica, matlab中都有這個函數(shù))． 配分函數(shù)的引入，何嘗沒有數(shù)學(xué)的影子呢?　這是我的猜測，上課的時候也告知了學(xué)生．

圖片來自網(wǎng)絡(luò)， Ｌｉｎｋｅｄ cluster theorem和路徑積分

關(guān)于Cumulant展開，見　https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant　

另外一個例子，我感覺不錯，就是計算波色愛因斯坦凝聚(BEC)．一般的書本上會給出公式，但是關(guān)于它的溫度是多少，很多學(xué)生是沒有任何感知的．在上課的時候我和學(xué)生估算了目前冷原子中的波色愛因斯坦凝聚的溫度，計算得到臨界溫度約為100 nK量級，這個和實驗結(jié)果一致．在研究生保研面試的時候，我會問夏令營學(xué)員，BEC是什么，臨界溫度一般是多少，外校的學(xué)生沒有一個回答上來，可見我們的教育多么浮于表面．　有一個學(xué)生能正確回答B(yǎng)EC現(xiàn)象，但是在問到, 二維系統(tǒng)為什么沒有BEC時，就完全不會了．上課的時候，我是態(tài)密度出發(fā)講述不同色散關(guān)系的性質(zhì)以及它們在不同維度的BEC. 2017年期末考試就考了這個題目，我估計這也是為什么很多學(xué)生考得不錯的原因．不來上課的學(xué)生，估計就被難住了．

我做這個推演的另外一個目的是教學(xué)生如何計算，這里需要采取很多技巧，絕非把所有單位全部代入公式計算那么容易, 具體如下:

$T_c \sim {\hbar^2 \over m d^2} \sim {\hbar^2 c^2 \over m c^2 d^2}$

其中, d為原子間距，一般為微米量級， $\hbar c = 197.326979 meV * \mu m$ , $mc^2 = 0.511 MeV * 2000 * 6$ (對Li6). 同時我們需要一個簡單的換算， 1 eV ~ 10000 K ~ 10^14 Hz． 我在面試學(xué)生以及參加學(xué)生答辯的時候經(jīng)常會問，1 mK是多少Hz. 少有學(xué)生能正確回答，包括做實驗的畢業(yè)生．這讓我非常奇怪，我覺得上課的時候有必要強調(diào)這個單位的換算，學(xué)生應(yīng)該對我們的物理參數(shù)有基本的感覺．如果連基本的物理量綱在什么地方都不知道，如果很迅速抓住本質(zhì)呢? 在第一次上課的時候，我還安排學(xué)生講了BEC和GP方程的數(shù)值模擬，第二次由于時間關(guān)系，沒有安排，非常遺憾，我覺得是需要安排的．有一個學(xué)生給我的評價是課本外知識太少，和前沿的關(guān)系太少，我想他誤解了．　

５．　關(guān)于Project的問題以及解決方法．我希望學(xué)生做一些調(diào)研，　所以安排了Project(小項目)．　第一次比較失敗，沒有給定課題，也沒有說明格式，讓學(xué)生自己找課題．后來發(fā)現(xiàn)很多不好的現(xiàn)象，比如手寫的，抄百度的，抄博客的，把計算物理作業(yè)改改交來的，什么樣的報告都有．還有一個學(xué)生非常有意思，不僅用手寫，而且還重復(fù)了三遍：

＂熵＂才是宇宙唯一的硬通貨！

＂熵＂才是宇宙唯一的硬通貨！

＂熵＂才是宇宙唯一的硬通貨！

當時正好流行"重要的話要說三遍"． 我看到這個都快崩潰了．后來好歹給了他１分(總分５分), 誰叫自己沒有說清楚呢． 所以第二次，我對格式有了非常明確的要求，比如報告必須有摘要，有引言，有推導(dǎo)，不能手寫(必須用latex或者word)，參考文獻不能少于１０篇等等．所以第二次明顯好得多了，，而且有些學(xué)生的推導(dǎo)非常詳細，可以看出是花了時間和力氣的．當然問題也依舊存在，以后單獨寫文章介紹這一點．總的來說，規(guī)定格式就好多了．希望以后學(xué)生在論文這一塊可以得到更多的訓(xùn)練.  去年(2016年)學(xué)生的課題做得那么差，我還在想，科大的學(xué)生太差了吧? 通過第二次的調(diào)整，我感覺科大學(xué)生還可以嘛，只是缺乏足夠多的論文訓(xùn)練．　看來合適的方法很重要．

跳高的時候，設(shè)定一個高度，不過就算失�。〗虒W(xué)和培養(yǎng)學(xué)生的時候，不能采用這種粗暴的判斷標準.

在第二次上課的時候，我給了學(xué)生大概50篇論文，讓他們自己挑選一篇作為自己的課題．其中論文內(nèi)容包括光子BEC的，交通流，金融物理，重整化群，量子相變，軟物質(zhì)，active matter,非線性過程，城市發(fā)展，病毒傳播，隨機網(wǎng)絡(luò)等等．我覺得對學(xué)生是一個很好的視野開拓，原來統(tǒng)計物理的思想還是蠻有用的．明年在上課的時候，應(yīng)該用幾個具體例子強調(diào)統(tǒng)計方法在其它領(lǐng)域的應(yīng)用，這樣學(xué)生應(yīng)該做得更好，比如今年二維光子BEC的文章，明年說不定就是作業(yè)了.

６．　不足的地方/需要改進的地方．　最后解剖一下自己．到今年已經(jīng)上了五年的課了，不算新手了．上過三次＂多體理論＂，兩次＂統(tǒng)計物理＂以及一次＂凝聚態(tài)物理中的拓撲相變＂．感覺收獲最大的其實不是學(xué)生，而是我自己．站在講臺上講，和坐下下面聽，體會是完全不同的．關(guān)于上課，有一個一桶水和一瓢水的觀點．我自己沒有一桶水，最多一盆而已．所以在上課的時候，還是可能會掉鏈子．這些均說明我知識有限，對知識的理解還不夠深刻．

有老師問我，你知道統(tǒng)計物理的核心是什么嗎? 我當場快懵了． 這個問題我想了很久，物理學(xué)的理論都是幾個基本定律開始的，但是核心是什么，我還真的很難回答．我目前的理解，統(tǒng)計物理的核心是用＂統(tǒng)計＂的方法來研究物理問題. 我在課堂上也比較了我們四大力學(xué)的基本思想，比如經(jīng)典力學(xué)的確定性，相對論的相對性，量子力學(xué)的概率性以及統(tǒng)計力學(xué)的統(tǒng)計性．但是還是感覺不夠，因為這門課有很多讓人眼花繚亂的細節(jié)，所以很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課的知識的時候，會集中在細節(jié)上，而忽略＂統(tǒng)計＂的基本思想了．怎么才能讓學(xué)生更好的抓住統(tǒng)計的思想，并很快用在別的地方？這一點我覺得自己做的還不夠．在我給學(xué)生的課題里，我試圖用統(tǒng)計的思想來解決所有的問題，感覺有點困難，不同的問題往往涉及不同的方法．比如我目前就沒有弄明白在病毒傳播模型以及無標度網(wǎng)絡(luò)中如何計算配分函數(shù)，好像可以．看來要解決一個問題不難，但是要從最根本點理解一個問題，非常困難．

當然板書不工整，也是一個問題．我很佩服有些老師字寫得漂亮，板書非常工整．對統(tǒng)計物理的歷史背景，介紹得也不多，關(guān)于它的思想和文化方面的東西也介紹得少了一點．慶幸的是，這兩年的教學(xué)中我還沒有碰到我完全不懂不能駕馭的地方/問題．　目前感覺自己的問題，可能也是很多年輕老師的普遍問題，還是看問題不夠深刻，不能讓學(xué)生認識到更加本質(zhì)的東西．　這也許需要時間的沉淀和積累． 如果在未來十年我能把所有大學(xué)物理的課程都上一遍，我對它們的理解應(yīng)該會更好．

７． 關(guān)于考試以及成績．　由于有好幾個老師同時上這門課，所以考試是集體出題．而且題目一般較難．今年統(tǒng)計力學(xué)期中期末的平均分分別為48分和56分． 有學(xué)生感覺受到了打擊，大可不必．我自己的原則是，與其最終在考分上難為學(xué)生，還不如讓學(xué)生在過程上付出更大的努力．所以作業(yè)，課題以及考試都比較難，需要付出很大的努力．但是最終成績還不錯，一般有1/3的優(yōu)秀(超過85分), 75 - 84的也占了1/3, 最終有極少數(shù)的不及格(~10%).

廠家直銷，包郵．但是上課的時候，千萬不要用這種瓢舀"水"給學(xué)生．

8． 教學(xué)對我自己的啟發(fā)和影響．　這些課程讓我在科研的路上走得越來越穩(wěn)�。热缭谥笇�(dǎo)學(xué)生做冷原子的研究的時候，我通常會指定學(xué)生看＂原子物理＂的選擇定則，＂統(tǒng)計物理＂的ＢＥＣ以及臨界溫度的估算，＂固體物理＂的Wannier函數(shù)，以及＂量子力學(xué)＂的散射理論．我會非常準確定位到具體的章節(jié)上，而不是籠統(tǒng)地給學(xué)生幾篇論文，讓他們自己看．關(guān)于格林函數(shù)部分，我會讓學(xué)生看＂數(shù)理方程＂的格林函數(shù)，＂微積分＂的傅立葉變換和Laplace變換，以及Mahan書本的格林函數(shù)的定義, 并告訴他們這些定義看起來各不相同，其實是一致的．這些都得益于我在過去幾年的教學(xué)，在文獻里面，是很難看到這些細節(jié)的．　這些經(jīng)歷讓我自己非常明白要進入某個領(lǐng)域，需要什么知識，又在哪里可以找到這些知識．我自己也一直堅信，科研的最前沿和最后方是密切相連的．　在指導(dǎo)學(xué)生的過程中，我碰到的最多的，不是學(xué)生不夠勤奮努力，而是學(xué)生基礎(chǔ)知識不理解/忘記了．　

我了解的知識有限．如果有一桶水，舀一瓢水給學(xué)生，那都是輕而易舉的事情．科大老一輩的科學(xué)家中，很多人都有這樣的水平．目前網(wǎng)上還有龔升老師的視頻，每次看都感悟不同,對不同的知識，信手捏來，毫不費力氣．前面教學(xué)過程中的一些新方法，新技巧，都是自己平時的積累所得，有些來自科研，有些來自其它課本．教學(xué)相長，我是深有體會，此文的另外一個目的，就是用自己的切身體會再說一次這個老道理．如果沒有教學(xué)作為支撐，我們的科研只是我們精心搭建的空中樓閣而已.

本文圖片均來自網(wǎng)絡(luò)．