本文選題：時(shí)間序列　切入點(diǎn)：分析　　

1 王茂林 王茂林 一、選擇題 1.已知 2000-2006 年某銀行的年末存款余額，要計(jì)算各年平均存款余額，該平均數(shù)是:（ b ） a. 幾何序時(shí)平均數(shù)； b.“首末折半法”序時(shí)平均數(shù)； c. 時(shí)期數(shù)列的平均數(shù)； d.時(shí)點(diǎn)數(shù)列的平均數(shù)。 2 2.某地區(qū)糧食增長(zhǎng)量 1990—1995 年為 12 萬噸，1996—2000 年也為 12 萬噸。那么，1990—2000 年期間，該地區(qū)糧食環(huán)比增長(zhǎng)速度（ d ） a.逐年上升 b.逐年下降 c.保持不變 d.不能做結(jié)論 3 3.某商業(yè)集團(tuán) 2000—2001 年各季度銷售資料如下： 2000 年 2001 年 1 2 3 4 1 2 3 4 1.零售額（百萬） 2.季初庫存額（百萬） 3.流通費(fèi)用額（百萬） 4.商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次/季） 40 20 3.8 1.95 42 21 3.2 19.5 38 22 2.8 1.6544 24 3.21.848 25 3.0 1.8850 26 3.1 2.0440 23 3.1 1.6360 28 4.0 2.03上表資料中，是總量時(shí)期數(shù)列的有（ d ） a. 1、2、3 b. 1、3、4 c. 2、4 d. 1、3 4 4.利用上題資料計(jì)算零售額移動(dòng)平均數(shù)（簡(jiǎn)單，4 項(xiàng)移動(dòng)平均），2001 年第二季度移動(dòng)平均數(shù)為（a ） a. 47.5 b. 46.5 c. 49.5 d. 48.4 二、判斷題 1 1.連續(xù) 12 個(gè)月逐期增長(zhǎng)量之和等于年距增長(zhǎng)量。 2 2.計(jì)算固定資產(chǎn)投資額的年平均發(fā)展速度應(yīng)采用幾何平均法。 3 3.用移動(dòng)平均法分析企業(yè)季度銷售額時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)時(shí)，一般應(yīng)取 4 項(xiàng)進(jìn)行移動(dòng)平均。 4.計(jì)算平均發(fā)展速度的水平法只適合時(shí)點(diǎn)指標(biāo)時(shí)間序列。 5 5.某公司連續(xù)四個(gè)季度銷售收入增長(zhǎng)率分別為 9%、12%、20%和 18%，其環(huán)比增長(zhǎng)速度為 0.14%。 正確答案：（1）錯(cuò)；（2）錯(cuò)；（3）對(duì)；（4）錯(cuò)；（5）錯(cuò)。 三、計(jì)算題： 1．某企業(yè) 2000 年 8 月幾次員工數(shù)變動(dòng)登記如下表： 8 月 1 日 8 月 11 日 8 月 16 日 8 月 31 日1 210 1 240 1 300 1 270 試計(jì)算該企業(yè) 8 月份平均員工數(shù)。 解：該題是現(xiàn)象發(fā)生變動(dòng)時(shí)登記一次的時(shí)點(diǎn)序列求序時(shí)平均數(shù)，假設(shè)員工人數(shù)用 y 來表示，則： 1 1 2 2 n1 2y y ... yy=...nnf f ff f f+ + ++ + + 21210 10 1240 5 1300 15 1270311260( )× + × + × +=≈ 人 該企業(yè) 8 月份平均員工數(shù)為 1260 人。 2. 某地區(qū)“十五”期間年末居民存款余額如下表： （ 單位：百萬） 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 存 款 余額 7 034 9 110 11 545 14 746 21 519 29 662 試計(jì)算該地區(qū)“十五”期間居民年平均存款余額。 解：居民存款余額為時(shí)點(diǎn)序列，本題是間隔相等的時(shí)點(diǎn)序列，運(yùn)用“首末折半法”計(jì)算序時(shí)平均數(shù)。 1 n2 n-1y yy ... y2 2=n-1y+ + + + 7034 296629110 11545 14746 215192 25+ + + + += ＝15053.60（百萬） 該地區(qū)“十五”期間居民年平均存款余額為 15053.6 百萬。 3.某企業(yè) 2007 年產(chǎn)品庫存量資料如下： 單位：件 日期 庫存量 日期 庫存量 日期 庫存量 1 月 1 日 1 月 31 日 2 月 28 日 3 月 31 日 63 60 88 46 4 月 30 日5 月 31 日6 月 30 日7 月 31 日8 月 31 日50 55 70 48 49 9 月 30 日 10 月 31 日 11 月 30 日 12 月 31 日 60 68 54 58 試計(jì)算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均庫存量。 解：產(chǎn)品庫存量是時(shí)點(diǎn)序列，本題是間隔相等的時(shí)點(diǎn)序列，運(yùn)用“首末折半法”計(jì)算平均庫存量。 計(jì)算公式：1 n2 n-1...2 2x=n-1x xx x + + + + 第一季度平均庫存量：163 4660 882 2x = 67.53+ + += 0（件） 第二季度平均庫存量：246 7050 552 2x = 54.33+ + += 3（件） 上半年平均庫存量：163 7060 88 46 50 552 2= 60.96y+ + + + + += 2（件） 3下半年平均庫存:270 5848 49 60 68 542 2= 57.176y+ + + + + += （件） 全年的平均庫存量： 63 5860 ... 542 2= 59.046y+ + + += （件） 4.某企業(yè) 2000～2005 年底工人數(shù)和管理人員數(shù)資料如下： 單位：人 年份 工 人數(shù) 管 理 人 員數(shù) 年份 工人數(shù) 管理人員數(shù) 2000 2001 2002 1 000 1 202 1 120 40 43 50 2003200420051 2301 2851 41552 60 64 試計(jì)算 1991～2005 年該企業(yè)管理人員數(shù)占工人數(shù)的平均比重。 解：本題是計(jì)算相對(duì)數(shù)序時(shí)平均數(shù)。 計(jì)算公式：ayb= y ：管理人員占工人數(shù)的比重； a ：管理人員數(shù)； b ：工人數(shù)。 （人） 4 . 51526460 52 50 4324012 21 21=+ + + + +=−+ + + +=−naa aaann餖 （人） 9 . 12085214151285 1230 1120 12022100012 21 21=+ + + + +=−+ + + +=−nbb bbbnn餖 ayb= ＝ % 25 . 49 . 12084 . 51≈ 2001－2005 年企業(yè)管理人員占工人數(shù)的平均比重為 4.25％ 5 5．某地區(qū) 2000～2005 年社會(huì)消費(fèi)品零售總額資料如下： 單位：億元 2000 2001 2002 2003 2004 2005 社 會(huì) 消 費(fèi)品 零售總額 8 255 9 383 10 985 12 238 16 059 19 710 要求：計(jì)算全期平均增長(zhǎng)量、平均發(fā)展速度和平均增長(zhǎng)速度，并列表計(jì)算(1)逐期增長(zhǎng)量和累積增長(zhǎng) 4量；(2)定基發(fā)展速度和環(huán)比發(fā)展速度；(3)定基增長(zhǎng)速度和環(huán)比增長(zhǎng)速度；(4)增長(zhǎng) 1%的絕對(duì)值。 解： 單位：億元 年度 2000 2001 2002 2003 2004 2005 社會(huì)消費(fèi)品零售額（iy ） 8255 9383 10985 12238 16059 19710 逐期增長(zhǎng)量（1 i iy y−− ） — 1128 1602 1253 3821 3651 累積增長(zhǎng)量（0 iy y − ） _ 1128 2730 3983 7804 11455 定基發(fā)展速度（0/iy y ）(%) _ 113.66 133.07 148.25 194.54 238.76 環(huán)比發(fā)展速度（1/i iy y−）(%) _ 113.66 117.07 111.41 131.22 122.73 定基增長(zhǎng)速度（0/ 1iy y − ）(%) _ 13.66 33.07 48.25 94.54 38.76 環(huán) 比 增 長(zhǎng) 速 度（1/ 1i iy y−− ）(%) _ 13.66 17.07 11.41 31.22 22.73 增 長(zhǎng) 1 ％ 的 增 長(zhǎng) 量（1 iy−/100） _ 82.55 93.83 109.85 122.38 160.59 平均增長(zhǎng)量＝ 114555＝2291（億元） 平均發(fā)展速度＝5019710119.01%8255nnyy= = 平均增長(zhǎng)速度＝119.01％－100％＝19.01％ 6．某地區(qū) 2006 年末人口數(shù)為 2000 萬人，假定以后每年以 9‰的速度增長(zhǎng)，又知該地區(qū) 2006 年 GDP為 1240 億元。要求到 2010 年人均 GDP 達(dá)到 9500 元，試問該地區(qū) 2010 年的 GDP 應(yīng)達(dá)到多少？2007 年到2009 年 GDP 的年均增長(zhǎng)速度應(yīng)達(dá)到多少？ 解：2004 年末該地區(qū)人口：32000 (1 0.009) × + ＝2054.49（萬人） 2005 年末該地區(qū)人口：42000 (1 0.009) × + ＝2072.98（萬人） 2005 年該地區(qū)的平均人口為：（2054.49+2072.98）/2=2063.76(萬人) 所以，該地區(qū) 2005 年的 GDP：9500×2063.76＝19605625（萬元） 2002－2004 年該地區(qū) GDP 的年均增長(zhǎng)速度： % 13 . 12 1213 . 0 112405625 . 19604= = − 所以，要使 2005 年的人均 GDP 達(dá)到 9500 元，2002－2005 年 GDP 的年均增長(zhǎng)速度應(yīng)達(dá)到 12.13％。 7.某企業(yè) 1993～2007 年產(chǎn)品產(chǎn)量資料如表： 5要求：(1)進(jìn)行三項(xiàng)中心化移動(dòng)平均修勻。(2)根據(jù)修勻后的數(shù)據(jù)用最小二乘法配合直線趨勢(shì)方程，并據(jù)以計(jì)算各年的趨勢(shì)值。(3)預(yù)測(cè) 2009 年該企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量。 單位：件 年份 產(chǎn)量 年份 產(chǎn)量 年份 產(chǎn)量 1993 1994 1995 1996 1997 344 416 435 440 450 1998 1999 2000 2001 2002 468 486 496 522 580 2003 2004 2005 2006 2007 580 569 548 580 629 解：（1） 三項(xiàng)中心化移動(dòng)平均修勻： 年份 1993 1994 1995 1996 1997 數(shù)據(jù) 三項(xiàng)移動(dòng)平均 344 — 416 398.33 435 430.33 440 441.67 450 452.67 年份 1998 1999 2000 2001 2002 數(shù)據(jù) 三項(xiàng)移動(dòng)平均 468 468 486 483.33 496 501.33 522 532.67 580 367.33 年份 2003 2004 2005 2006 2007 數(shù)據(jù) 三項(xiàng)移動(dòng)平均 580 576.3 569 565.67 548 565.67 580 585.67 629 － （2）直線趨勢(shì)方程：i it y2 1ˆ ˆˆ β β + = 將修勻后的數(shù)據(jù)代入最小二乘法求參數(shù)的公式：，可得： 88 . 1318279 . 44596 42 . 471229113181997 . 6370 9113142 . 47122ˆ22=−=⋅ −× ⋅ −= β 93 . 392139188 . 131397 . 6370ˆ1= ⋅ − = β it y 88 . 13 93 . 392 + = 最小二乘法計(jì)算表 年份 時(shí)間變量 t i 產(chǎn)量 y i t i2 t i y i 1994 1 398.33 1 398.33 1985 2 430.33 4 860.66 1996 3 441.67 9 1325.01 1997 4 452.67 16 1810.68 1998 5 468 25 2340 1999 6 483.33 36 2899.98 62000 7 501.33 49 3509.31 2001 8 532.67 64 4261.36 2002 9 367.33 81 3305.97 2003 10 576.3 100 5763 2004 11 565.67 121 6222.37 2005 12 567.67 144 6812.04 2006 13 585.67 169 7613.71 合 計(jì) 91 6370.97 819 47122.42 ③根據(jù)方程計(jì)算各年的趨勢(shì)值，得到如下數(shù)據(jù)： （3）根據(jù)配合的方程，對(duì)2009 年企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。 2002 年時(shí)， t ＝15，所以預(yù)測(cè)值為： 13 . 601 15 88 . 13 93 . 392 = × + = y（件） 8 8．某市集市 2004-2007 年各月豬肉銷售量（ 單位：萬公斤） 如下表: 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 2004 2005 2006 2007 40 43 40 55 50 52 64 72 41 45 58 62 39415660454867705365748668798498738695108506476874860687843 45 56 63 38 41 52 58 試分別用同期平均法和移動(dòng)平均剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)。 解：（1）用同期平均法中的比率平均法計(jì)算季節(jié)指數(shù) 第一、計(jì)算各周期月平均數(shù)： 12i ijj 11y y12 皰＝＝ ，得： 1y ＝ 49，2y ＝ 55.75，3y ＝ 65.83，4y ＝ 74.75 第二、計(jì)算各指標(biāo)值的季節(jié)比率和季節(jié)比率的平均數(shù)： 季節(jié)比率：ijiyy 季節(jié)比率平均數(shù)：4ijji 1iy14 yS皰＝＝ （ ） 計(jì)算季節(jié)比率和季節(jié)比率平均數(shù)（最后一行是季節(jié)比率平均數(shù)，其余是季節(jié)比率），結(jié)果如下： 年份 趨勢(shì)值 1994 406.81 1995 420.69 1996 434.57 1997 448.45 1998 462.33 年份 趨勢(shì)值 1999 476.21 2000 490.09 2001 503.97 2002 517.85 2003 531.73 年份 趨勢(shì)值 2004 545.61 2005 559.49 2006 573.37 2007 587.25 7 月年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1998 0.82 1.02 0.84 0.8 0.92 1.08 1.39 1.49 1.02 0.98 0.88 0.781999 0.77 0.93 0.81 0.74 0.86 1.17 1.42 1.54 1.15 1.08 0.81 0.742000 0.61 0.97 0.88 0.85 1.02 1.12 1.28 1.44 1.15 1.03 0.85 0.792001 0.74 0.96 0.83 0.8 0.94 1.15 1.31 1.44 1.16 1.04 0.84 0.78js 0.73 0.97 0.84 0.80 0.93 1.13 1.35 1.48 1.12 1.03 0.84 0.77 第三，計(jì)算季節(jié)指數(shù)： j12j112SjS=皰* ＝ 首先計(jì)算jS 之和：12j1Sj=皰＝12 所以，各時(shí)期的季節(jié)比率等于其季節(jié)指數(shù)。 （2）用移動(dòng)平均剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù) 年月 豬肉銷售量 中心化移動(dòng)平均數(shù) 季節(jié)比率 季節(jié)比率的平均數(shù) 2004．1234567891011122005．12345640 50 41 39 45 53 68 73 50 48 43 38 43 52 45 41 48 65 49.1349.3349.5849.8350.0450.6751.6352.6353.7554.8355.4255.631.3841.481.0080.9630.8590.750.8330.9880.8370.7480.8661.169 1.36 1.47 1.08 1 0.81 0.73 0.76 1.01 0.87 0.82 0.95 1.15 8年月 豬肉銷售量 中心化移動(dòng)平均數(shù) 季節(jié)比率 季節(jié)比率的平均數(shù) 7891011122006．1234567891011122007．123479 86 64 60 45 41 40 64 58 56 67 74 84 95 76 68 56 52 55 72 62 60 55.635657.0458.2159.6360.7961.3861.9662.8363.6764.4665.3866.4667.4267.9268.2568.5469.1770.2571.3872.3873.251.421.5361.1221.0310.7550.6740.6521.0330.9230.881.0391.1321.2641.4091.1190.9960.8170.7520.7831.0090.8570.81912jS =皰 567891070 86 98 108 87 78 73.96 74.5 0.9461.154 由于 12jS =皰，所以，季節(jié)指數(shù)等于季節(jié)平均數(shù)。 9.某地區(qū) 1998 年到 2007 年的 GDP 如下表，請(qǐng)選擇最適合的 α 值，并用一次指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè) 1992年～2001 年的 GDP（ 單位：億元） 。 解：本 題取平滑初始值0S (1) 為 1998、1999和 2000 年 GDP 的算術(shù)0S (1) ＝ 平 均 數(shù) ，275.67。按照均方根誤差最小的原則選取 α 的值。具體過程略，最后選定 0.99 α = ，預(yù)測(cè)值如下所示： 年份 1998 1999 2000 2001 2002年份 GDP 年份 GDP 1998 1999 2000 2001 2002 216 266 345 450 577 2003 2004 2005 2006 2007 679 748 816 895 1 036 9GDP 216 266 345 450 577預(yù)測(cè)值 275.67 344.31 448.94 575.72年份 2003 2004 2005 2006 2007GDP 679 748 816 895 1036預(yù)測(cè)值 677.97 747.3 815.31 894.2 1034.58 一、隨機(jī)過程(Stochastic Process) 定義 設(shè)（Ω,F,P）是概率空間，T 是給定的參數(shù)集，如果對(duì)于任意 t∈T，都有一定義在（Ω,F ,P）上的隨機(jī)變量 X(t,ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量 族{X(t,ω),t∈T}為隨機(jī)過程。簡(jiǎn)記為{X(t,),t∈T}或{X t ,t∈T }或 X T 離散參數(shù)的隨機(jī)過程也稱為隨機(jī)序列或（隨機(jī)）時(shí)間序列。 上述定義可簡(jiǎn)單理解成： 隨機(jī)過程是一簇隨機(jī)變量{X t ,t∈T}，其中 T 表示時(shí)間 t 的變動(dòng)范圍，對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻 t 而言，X t 是一普通的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程。 當(dāng) t={0,±1,±2,…}時(shí)，即時(shí)刻 t 只取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過程{X t ,t∈T}可寫成如下形式，{X t ,t=0,±1,±2,…}。此類隨機(jī)過程 X t 是離散時(shí)間 t 的隨機(jī)函數(shù)，稱它為隨機(jī)序列或時(shí)間序列。 對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程的等間隔采樣序列，即{X t ,t=0,±1,±2,…}就是一個(gè)離散隨機(jī)序列。 二、時(shí)間序列的概率分布和數(shù)值特征 1、時(shí)間序列的概率分布 一個(gè)時(shí)間序列便是一個(gè)無限維的隨機(jī)向量。一個(gè)無限維隨機(jī)向量 X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布應(yīng)當(dāng)用一個(gè)無限維概率分布描述。根據(jù)柯爾莫哥夫定理，一個(gè)時(shí)間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述。根據(jù)柯爾莫哥夫定理，一個(gè)時(shí)間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述。 時(shí)間序列所有的一維分布是：…，F(xiàn)-1(·)，F(xiàn)0(·)，F(xiàn)1(·),… 所有二維分布是：Fij(·，·)， i，j=0,±1,±2,…,(i≠j) 一個(gè)時(shí)間序列的所有有限維分布簇的全體，稱為該序列的有限維分布簇。 2、時(shí)間序列的均值函數(shù) 一個(gè)時(shí)間序列的均值函數(shù)是指： ( )t t tEX XdF X μ∞−∞= = 痱 其中 EXt 表示在 t 固定時(shí)對(duì)隨機(jī)變量 Xt 的求均值，，它只一維分布簇中的分布函數(shù) Ft(·)有關(guān)。 3、時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù) 10與隨機(jī)變量之間的協(xié)方差相似，時(shí)間序列的 協(xié)方差函數(shù)定義為： ( )( ),( , ) ( )( ) ( , )t t s st s s t st s E X XX Y dF X Yγ μ μμ μ∞ ∞−∞ −∞= − −= − −痱 痱 其中 Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯(lián)合分布。 類似可以定義時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù)，即： ( , ) ( , )/ ( , ) ( , ) t s t s t t s s ρ γ γ γ = 時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)： （1） 對(duì)稱性： ( , ) ( , ) t s s t γ γ = （2） 非負(fù)定性：對(duì)任意正整數(shù) m 和任意 m 個(gè)整數(shù) k 1 , k 2, 。。。 k m ，方陣 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 m2 1 2 2 2 mm 1 m 2 m mk ,k k ,k k ,kk ,k k ,k k ,kk ,k k ,k k ,kmγ γ γγ γ γγ γ γ痖 瘞痍 瘊痍 瘊Γ =痍 瘊痍 瘊痍 瘊痣 瘥餖餖餖 餖 餖 餖餖 為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。 時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)同樣也具有上述性質(zhì)且 有ρ(t,t)=1 。 三、平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)時(shí)間序列是時(shí)間序列分析中一類重要而特殊的隨機(jī)序列，時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容是關(guān)于平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析。 （一）兩種不同的平穩(wěn)性定義： 1、 嚴(yán)平穩(wěn)：如果對(duì)于時(shí)間 t 的任意 n 個(gè)值1 2, , ,nt t t 餖 和任意實(shí)數(shù) ε ，隨機(jī)過程tX 的 n 維分布滿足關(guān)系式： ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , ; , , , , ; , ,n n n n n nF x x x t t t F x x x t t t ε ε ε = + + + 餖 餖 餖 餖 則稱tX 為嚴(yán)平穩(wěn)過程。 2、寬平穩(wěn)：若隨機(jī)過程 { } ,tX t T ∈ 的均值（一階矩）和協(xié)方差存在，且滿足 （1） [ ]tE X a t T = ∀ ∈ （2） [ ][ ] ( ) ,t k tE X a X a k t t k T γ+− − = ∀ + ∈ 則稱 { } ,tX t T ∈ 為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。通常說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)。 11二者的聯(lián)系： （Ⅰ）嚴(yán) ≠> 寬：因?yàn)閷捚椒�(wěn)要求期望和協(xié)方差存在，而嚴(yán)平穩(wěn)要求概率分布存在，而不能斷言一、二階矩存在。 （Ⅱ）寬 ≠> 嚴(yán)，這是不言而喻的。 （Ⅲ）嚴(yán)平穩(wěn)+二階矩存在 疝 寬平穩(wěn)。但反過來一般不成立。 （Ⅳ）對(duì)于正態(tài)過程來說，有：嚴(yán)平穩(wěn) ⇔ 寬平穩(wěn) （二）平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 為了敘述方便，常假定平穩(wěn)時(shí)間序列tX 的均值為零，即 [ ] 0tE X = 。 用以下記號(hào)表示平穩(wěn)序列tX 的自協(xié)方差函數(shù)，即 [ ][ ] ( ) 0k t k t k t t tt t kE X EX X EX EXEX Xγ+ ++= − − ==當(dāng) 時(shí) 相應(yīng)地，tX 的自相關(guān)函數(shù)用以下記號(hào) 0 k kρ γ γ = 平穩(wěn)序列tX 的自協(xié)方差函數(shù)列和自相關(guān)函數(shù)列具有以下性質(zhì)： （1） 對(duì)稱性： ,k k k kγ γ ρ ρ− −= = ； （2） 非負(fù)定性：對(duì)于任意正整數(shù) m， 0 1 m-11 0 m-2m-1 m-2 0mγ γ γγ γ γγ γ γ痖 瘞痍 瘊痍 瘊Γ =痍 瘊痍 瘊痣 瘥餖餖餖餖餖 餖餖，1 m-11 m-2m-1 m-2111mRρ ρρ ρρ ρ痖 瘞痍 瘊痍 瘊=痍 瘊痍 瘊痣 瘥餖餖餖餖餖 餖餖 為非負(fù)定對(duì)稱方陣； （3） 0 ,1k kγ γ ρ ≤ ≤ 。 （三）平穩(wěn)序列的樣本統(tǒng)計(jì)量 （1） 樣本均值 時(shí)間序列無法獲得多重實(shí)現(xiàn)，多數(shù)時(shí)間序列僅包含一次實(shí)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)序列用時(shí)間均值代替總體均值。即 11nttX Xn==皰 12 上式的估計(jì)是無偏的。 （2） 樣本自協(xié)方差函數(shù) ( )( )11ˆn kk t t ktX X X Xnγ−+== − −皰 ( )( )11ˆn kk t t ktX X X Xn kγ−+== − −−皰 第一式是有偏估計(jì)，第二式是無偏估計(jì)，但有效性不如第一式。 其它概率性質(zhì)和偏自相關(guān)函數(shù)的定義將在以后章節(jié)介紹。 四、幾類特殊的隨機(jī)過程（序列）： 1、純隨機(jī)過程：隨機(jī)過程如果是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的序列構(gòu)成的，則稱其為純隨機(jī)過程。 2、白噪聲序列（White noise）：如果時(shí)間序列tX 滿足以下性質(zhì)： （1） [ ] 0tE X = （2） [ ]2, t s t sE X X σ δ = 式中，當(dāng) t≠s 時(shí)，, ,0, 1t s t tδ δ = = 。稱此序列為白噪聲序列，簡(jiǎn)稱白噪聲。 白噪聲是一種最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。 （3）獨(dú)立同分布序列：如果時(shí)間序列 { } ,tX t T ∈ 中的隨機(jī)變量 X t ,t=0,±1,±2,…,為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而且 X t 具有相同的分布，稱這樣的時(shí)間序列 { } ,tX t T ∈ 為獨(dú)立同分布序列。 獨(dú)立同分布序列是一種最簡(jiǎn)單的嚴(yán)平穩(wěn)序列。 一般說，白噪聲序列與獨(dú)立同分布序列是不同的兩種序列，當(dāng)白噪聲序列為正態(tài)序列時(shí)，它也是獨(dú)立同分布序列，此時(shí)稱之為正態(tài)白噪聲序列。 （4）獨(dú)立增量隨機(jī)過程：對(duì)于任意正整數(shù) n，任意 ( )1 21,2, , ,i nt T i n t t t ∈ = < < < 餖 餖 ，隨機(jī)變量2 1 3 2 1, ,n nt t t t t tX X X X X X−− − − 餖 相互獨(dú)立。簡(jiǎn)單地講，就是任意兩相鄰時(shí)刻上的隨機(jī)變量之差（增量）是相互獨(dú)立的。 （5）二階矩過程：若隨機(jī)過程 { } ,tX t T ∈ 對(duì)每個(gè) , t T ∈tX 的均值和方差存在，則稱之為二階矩過程。 （6）正態(tài)過程：若 { } ,tX t T ∈ 的有限維分布都是正態(tài)分布，則稱 { } ,tX t T ∈ 為正態(tài)隨機(jī)過程。 13 主要介紹三種單變量模型：自回歸（AR）模型、移動(dòng)平均（MA）模型和自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型。 第一節(jié) 自回歸模型 一、一階自回歸模型 AR(1) 如果時(shí)間序列獨(dú)立，就是說事物的后一時(shí)刻的行為主要與其前一時(shí)刻的行為毫無關(guān)系。這樣的資料所揭示甲統(tǒng)計(jì)規(guī)律就是事物獨(dú)立地隨機(jī)變動(dòng)，系統(tǒng)無記憶能力。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存性。 后一時(shí)刻的行為主要與前一時(shí)刻的行為有關(guān)，而與其前一時(shí)刻以前的行為無直接關(guān)系，即已知 Xt-1；X t 主要與 X t-1 相關(guān)。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是一階動(dòng)態(tài)性。描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是一階自回歸模型。即 1 1 t t tX X a 

本文編號(hào)：1630502