本文關(guān)鍵詞：醫(yī)學(xué)信號(hào)處理　　

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醫(yī)學(xué)信號(hào)處理1第三章 線性時(shí)不變系 統(tǒng)對(duì)隨機(jī)信號(hào)的響應(yīng)要解決的問題：已知輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性， 其經(jīng)過線性移不變系統(tǒng)后輸出的統(tǒng)計(jì)特性類型有連續(xù)、 離散系統(tǒng)， 有二端、 多端系統(tǒng)， 要分別進(jìn)行分析。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理2確定信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)：時(shí)域?yàn)榫矸e關(guān)系y(t)=x(t)*h(t)頻域?yàn)槌朔e關(guān)系Fy(ω)=H(ω)Fx(ω)x(t) Fx(ω) y(t) Fy(ω) h(t) H(ω)h(t)H(ω)x(t)Fx(ω)y(t)Fy(ω) 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理3h(t)H(ω)Rx(τ)Sx(ω)Ry(τ)Sy(ω)Rxy(τ)Sxy(ω)當(dāng)輸入信號(hào)x(t)是隨機(jī)信號(hào)時(shí)， 由于隨機(jī)信號(hào)不存在傅立葉變換， 就不能對(duì)時(shí)域卷積做傅立葉變換。所以， 研究隨機(jī)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的任務(wù)就是： 研究輸入和輸出間的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)間的關(guān)系。具體為輸出、 輸入信號(hào)之間自 相關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系、 輸入和輸出間互相關(guān)函數(shù)和互譜， 并把它們和沖激響應(yīng)與頻率特性聯(lián)系起來。h(t)H(ω)x(t)Fx(ω)y(t)Fy(ω) 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理4§ 3.1連續(xù)隨機(jī)信號(hào)通過LTI 系統(tǒng)§ 3.1.1二端LTI 系統(tǒng)一、二端LTI 系統(tǒng)本章所有結(jié)論的適用條件為輸入為平穩(wěn)的， 而系統(tǒng)為穩(wěn)定的LTI 系統(tǒng)。 則輸出為平穩(wěn)輸出信號(hào)。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理51、 輸出均值式中H(0)是系統(tǒng)的頻率特性在ω=0時(shí)的值。輸出信號(hào)的均值等于輸入隨機(jī)信號(hào)均值乘以系統(tǒng)頻率特性的直流分量。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理62、 輸入輸出互相關(guān)函數(shù) 3、 輸出隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)輸出隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)等于輸入輸出互相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的負(fù)卷積， 還等于輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的正負(fù)兩次卷積。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理84、 功率譜 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理9h(τ)Rx(τ)Rxy(τ)h(-τ)Ry(τ)輸入自相關(guān)函數(shù)、 輸出自相關(guān)函數(shù)、輸入輸出互相關(guān)函數(shù)三者之間關(guān)系 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理105、 對(duì)協(xié)方差有類似公式 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理11二、兩個(gè)隨機(jī)過程的相干函數(shù)兩個(gè)隨機(jī)過程x(t)和y(t)的相干函數(shù)定義一為：如果x(t)和y(t)是某一線性系統(tǒng)的輸入和輸出如果x(t)和y(t)不相關(guān) 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理12可見， 相干函數(shù)是從頻域來描述兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)各頻率成分之間互相關(guān)聯(lián)的程度。如果輸入輸出隨機(jī)信號(hào)的相干函數(shù)大于0而小于1，則存在兩種可能：1、 聯(lián)系x(t)和y(t)的系統(tǒng)是非線性的；2、 測(cè)量值中含有外界噪聲， 即x(t)和y(t)是信號(hào)和噪聲的疊加。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理13兩個(gè)隨機(jī)序列x(n)和y(n)的相干函數(shù)定義二為：用rxy(0)、 rxy(m)代入上式得到： 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理14§ 3.1.2多端LTI 系統(tǒng)生理信號(hào)的測(cè)量和處理往往要同時(shí)記錄多通道信號(hào)。 例如， 記錄腦電圖， 商業(yè)腦電圖機(jī)有128導(dǎo)聯(lián)， 記錄心電圖常用3導(dǎo)聯(lián)和12導(dǎo)聯(lián)。處理這些信號(hào)需要考慮各導(dǎo)信號(hào)間的相互作用。這就需要研究多輸入、 多輸出情況。先從二輸入、 二輸出開始。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理15h11，H11x1(t)y11(t) ++∑y1(t)h22，H22+∑+x2(t)y2(t)y21(t)y12(t)y22(t) 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理16輸入信號(hào)的功率譜和互譜所組成的2×2譜陣：輸出信號(hào)的功率譜和互譜所組成的2×2譜陣：輸入、 輸出信號(hào)之間的互譜所組成的2×2譜陣： 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理17系統(tǒng)各端口間各頻率特性所組成的矩陣：則：（2.1） 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理18§ 3.2離散隨機(jī)信號(hào)通過LTI 系統(tǒng)∑−∞=k∞−=∗=knhkxnhnxny)()()()()(LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(n)， 輸入離散隨機(jī)信號(hào)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)取樣序列， 系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出信號(hào)y(n)也是一個(gè)離散隨機(jī)信號(hào)， 它是另一隨機(jī)過程的一個(gè)取樣序列。 對(duì)于系統(tǒng)來講， 輸入、 輸出信號(hào)和系統(tǒng)沖激響應(yīng)存在下列關(guān)系：下面研究輸出隨機(jī)序列的特征參數(shù)，， 以及輸入輸出隨機(jī)序列這些參數(shù)的關(guān)系。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理19∑−∞=k∑−∞=k∞∞−=−==yknxkhEknxkhEnyEm)]()([] )()([)]([xmknxEnxE=−=)]([)]([)()(0 jxxkyeHmmkhm==∑∞−∞=1、 輸出隨機(jī)序列均值H(ej0)為系統(tǒng)的頻率特性在ω =0時(shí)的值由于輸入隨機(jī)過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理20( ,n n)[ ( ) (E y n y n)][( ) (h k x n)( ) (h r x n)]( )h k( ) [ (h r E x n) (k x n)]yykrkrRmmEkm r−m r−∞∞=−∞∑=−∞∑∞∞=−∞∑=−∞∑+=+=−+=−+2、 輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)序列[ () (k x n)]()xxE x nmrRmkr−+−=R+ −m+由于：( ,n n)( )h k( )h r R()yyxxkrmkr∞∞=−∞∑=−∞∑=+−所以： 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理21從上式看出： 輸出隨機(jī)序列的自相關(guān)序列只與時(shí)間差m有關(guān)， 而與時(shí)間起點(diǎn)的選擇（即n的選取） 無關(guān)，故有Ryy(n,n+m)=Ryy(m)， 則上式可化簡(jiǎn)為：( )m( )h k( )h r R()yyxxkrRmkr∞∞=−∞∑=−∞∑=+−( )m()( ) (h k h l)()( )=l( )m( )myyxxlkxxhhxxhhlRRmlkRm l R−RR∞∞=−∞∑=−∞∑∞=−∞∑=−+=∗( )l( ) (h k h l)( )()hhkRkh lhl∞=−∞∑=+=∗−其中，令l = r-k， 可表示為 （可考慮其他方法推導(dǎo)） 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理22結(jié)論： 確定信號(hào)的輸出等于輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的卷積；隨機(jī)信號(hào)的輸出過程的自相關(guān)函數(shù)， 等于輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)的線性卷積；確定性離散時(shí)間信號(hào)作用 于LTI系統(tǒng)與隨機(jī)性離散時(shí)間信號(hào)作用 于LTI系統(tǒng)非常類似。( )m()( )=l( )m( )myyxxhhxxhhlRRml RRR∞=−∞∑=−∗ 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理233、 輸出隨機(jī)過程的功率譜( )m( )m( )myyxxhhRRR=∗上面式子等號(hào)兩端進(jìn)行Z變換， 得到：( )z( )z S( )zyyxxhhSS=Sxx(z)和Syy(z)分別等于Rxx(m)和Ryy(m)的Z變換( )z( )m z( )z( )m zmyyyymmxxxxmSRSR+∞∑−=−∞+∞∑−=−∞== 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理24Shh(z)是Rhh(z)的Z變換， 得到：1( )z( )m z( )()mhhhhmSRH z H z+∞∑−−=−∞==21z( )z( )z H z H( )()( )h n( )z( )z H z( )yyxxyyxxSSSS∗∗==于是， 有：如果為實(shí)序列， 則有：( )1( )h n( )z( )()hhH zSH z Hz∗∗=是系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如果是復(fù)序列， 則( )z( )z S( )zyyxxhhSS=由可得 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理25物理意義： 一個(gè)隨機(jī)信號(hào)通過系統(tǒng)， 從頻域看其輸出功率譜密度等于輸入功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模平方的乘積。1( )z( )()hhSH z H z−=2( )z( )z H z( )yyxxSS=于是得到：|H(z)|為H(z)的模。如果系統(tǒng)穩(wěn)定， 那么Syy(z)的收斂域包含單位圓， 有2()()()jωjωjωyyxxSeSeH e= 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理264、 輸入隨機(jī)過程和輸出隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度( )m[ ( ) (E x n y n)][ ( )E x n( ) (h k x n)]( ) [ ( ) (h k E x n x n)]( )h k R()( )m( )h mxykkxxxxkRmmkmkmkR∞=−∞∑∞=−∞∞∑=−∞=+=+−=+−=−=∗∑系 統(tǒng)的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間的互相關(guān)序列， 等于輸入信號(hào)自 相關(guān)序列與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的線性卷積。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理27( )m( )m()yyxyRRhm=∗−( )l( ) (h k h l)( )h m()hhk===Rkhm∞=−∞∑=+=∗−餛( )m( )m( )m( )m( )xxm( )h m( )h m∗()yyxxhhxxRRRRRhm∗∗∗−( )mxyR∴h(m)Rxx(m)Rxy(m)h(-m)Ryy(m)輸入自相關(guān)函數(shù)、 輸出自相關(guān)函數(shù)、輸入輸出互相關(guān)函數(shù)三者之間關(guān)系 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理28設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在） ， 將式(2.8)與式(2.9)轉(zhuǎn)換到z域有，( )( )xySzH z S=( )(yySzH z=用功率譜表示有( )z( )z( )z( )( )( )( )z( )z( )zxyxyxyxxxxxxSSSH z SH z SH z S===( )zxx1)( )zxyS−( )ω()( )ωjωxyxxSH eS=( )ω()( )ωjωyyxySH eS−= 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理292( )m( )mxxxxRσσ δ=2應(yīng)用舉例：如果輸入為零均值平穩(wěn)白噪聲信號(hào)， 其方差為,自相關(guān)序列為沖激函數(shù)則12x( )m[( )]ω2xσ=1( )mxxxxRFSσ δ=( )h m−=( )mxyR2x()()jωjωxyH eSeσ=結(jié)論： 輸入一個(gè)零均值平穩(wěn)白噪聲， 就可以通過計(jì)算系統(tǒng)輸入輸出之間的互相關(guān)序列或互功率譜， 來求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或頻率特性。求輸入零均值平穩(wěn)白噪聲的LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理30ωaωb1如圖為一理想帶通濾波器的頻率特性H(ejω)， 當(dāng)輸入端作用 一個(gè)功率譜為Sxx(ejω)、 均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)過程，求輸出 響應(yīng)的平均功率。2()()()jωjωjωyyxxSeSeH e=1( )m()2πjωj mωyyyyRSeedωππ−=∫ 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理311(0)()2πjωyyyyRSedωππ−=∫2n1[](0)()2πjωyyyyE yRSedωππ−==∫2a2n20()()1[](0)()2π1=()()1=()bjωjωyyjωyyyyjωjωxxjωxxSeH eE yRSedωSeH edωSedωππ−πωω∫ωππ==∫∫由于和都是的偶函數(shù)， 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理32a2n1[]=()bjωxxE ySedωωωπ∫上面式子等號(hào)右邊積分代表輸入信號(hào)無衰減地通過帶通濾波器的總功率， 該總功率除以π， 代表輸入信號(hào)在該頻帶內(nèi)的平均功率， 式子左邊為輸出信號(hào)的平均功率。 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理332n11[](0)=( )z z dz2π1()2πSyyyycjωyyE yRSjSedωππ−−==∫鷓∫z H z5、 輸出隨機(jī)過程均方值：2( )z( )( )yyxxS=22n11[]( )z H z( )2πxxcE ySz dzj−=∫ 鷓 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理34例題： 有一LTI系 統(tǒng)， 其系統(tǒng)函數(shù)為11( )=10.25H zz−−當(dāng) 輸入端作用 一個(gè)白噪聲w(n)時(shí)， 在其輸出端得到一個(gè)隨機(jī)信號(hào)x(n)。 設(shè)白噪聲 方差等于1， 即機(jī)信號(hào)x(n)的自 相關(guān)序列。=1， 求隨2xσ 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理35解：2w111z1114 /15−11( )z( )()(10.25)(0.25)16 /150.2516 /150.25−10.2516 /1514−1xxSH z H zzzzzzzσ=−−−−−−−−=−−=+−=−將上式進(jìn)行z反變換， 得：16 116( )m( )u m4(1)15 41516 115 4mmxxmRum  =+×−−  = 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理36作業(yè)：1、 令y(t)=x(t-D)+v(t)為接收信號(hào)， 式中D表示信號(hào)x(t)的傳播延時(shí)， 已知x(t)和v(t)是相互獨(dú)立的零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程， 且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為：求互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度( )τ,( )τ( )xvRAeRBδ τβ τ−==( )τxyR( )xyP ω 醫(yī)學(xué)信號(hào)處理37• 2、 將式（2.1） 展開推出的表達(dá)式。)(ω)(ω)(ω)(ω22122111yxyxyxyxssss、、、