在工程與科學計算中,偏微分方程可以用來描述許多的實際問題.然而,大多數(shù)偏微分方程是沒有或很難獲得精確解,只能通過適當?shù)臄?shù)值方法求它的近似解.而數(shù)值計算一般都會存在誤差,因此,不僅近似解很重要,誤差分析也非常重要,即精確解和近似解之間的差的范數(shù).而準確的誤差經(jīng)常是未知的,這就意味著我們只可以獲得一些誤差的估計量.很多情況下,獲得效率高、計算可實現(xiàn)的后驗誤差估計是非常困難的.而自適應算法對后驗誤差估計有很強的依賴性,這類算法是通過后驗誤差估計的計算結(jié)果,選擇最佳離散方法,用盡可能少的計算量來獲得較高精度的解.自適應有限元方法在最近幾十年迅速發(fā)展,因為它可以根據(jù)誤差的大小,找出最大的誤差結(jié)構(gòu)并對其進行網(wǎng)格加密技術處理,有效地提高了計算效率,通過計算所得到的誤差來提高解的精度,因此,得到了工程界的高度認可.本文以具有代表性的橢圓型方程為研究對象,首先,分別給出了基于分層基型與恢復型兩種后驗誤差估計,通過數(shù)值實驗我們發(fā)現(xiàn)任意一種后驗誤差估計的結(jié)果可能會存在偏差進而影響網(wǎng)格的協(xié)調(diào)性,因此,我們把前面所介紹的兩種后驗誤差估計的加權平均值作為新的后驗誤差估計子,充分利用兩種后驗誤差估計所得到的信息,適... 

【文章頁數(shù)】：66 頁

【學位級別】：碩士

【文章目錄】：
摘要
Abstract
1 引言
    1.1 有限元方法
    1.2 后驗誤差估計
    1.3 自適應有限元方法
    1.4 文章的結(jié)構(gòu)安排
2 預備知識
    2.1 Sobolev空間及其范數(shù)
    2.2 常用的定理與不等式
    2.3 網(wǎng)格剖分
        2.3.1 三角剖分
        2.3.2 正則剖分
    2.4 網(wǎng)格的細化和粗化
    2.5 本章小結(jié)
3 有限元理論與后驗誤差估計
    3.1 Galerkin方法及有限元離散格式
    3.2 有限元逼近解
    3.3 有限元空間
    3.4 有限元的基本理論和解題步驟
    3.5 模型問題及其離散化
    3.6 后驗誤差估計
        3.6.1 殘差型后驗誤差估計
        3.6.2 分層基(Hierarchical Base)型后驗誤差估計
        3.6.3 恢復型后驗誤差估計
    3.7 本章小結(jié)
4 自適應有限元算法
    4.1 標記
    4.2 二分法網(wǎng)格調(diào)整
    4.3 最新頂點二分法加密
    4.4 網(wǎng)格粗化算法
        4.4.1 傳統(tǒng)的粗化算法
        4.4.2 相容的二分法與良好的粗化節(jié)點
        4.4.3 相容標記網(wǎng)格上存在良好節(jié)點
    4.5 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
        4.5.1 基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
        4.5.2 排序問題
        4.5.3 輔助的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
    4.6 實例驗證
        4.6.1 算例一:區(qū)域中心有奇性
        4.6.2 算例二:區(qū)域角點有奇性
        4.6.3 算例三:真解已知
        4.6.4 實驗三:真解未知
    4.7 本章小結(jié)
5 總結(jié)與展望
    5.1 總結(jié)
    5.2 展望
致謝
參考文獻
攻讀學位期間主要研究成果


【參考文獻】：
期刊論文
[1]對一維守恒律的一種局部時間步長自適應網(wǎng)格方法(英文)[J]. 譚志軍,黃云清.  湘潭大學自然科學學報. 2003(02)

碩士論文
[1]半線性橢圓方程基于梯度重構(gòu)的后驗誤差估計及自適應有限元方法[D]. 李曉娟.湘潭大學 2019
[2]橢圓方程基于梯度重構(gòu)的后驗誤差估計及自適應有限元方法的收斂性分析[D]. 劉英.湘潭大學 2018
[3]變系數(shù)橢圓問題的后驗誤差估計及自適應有限元方法[D]. 王利強.湘潭大學 2011
[4]一種基于有限元方法的后驗誤差估計[D]. 劉作雄.湖南師范大學 2009
[5]一種基于新的后驗誤差估計的自適應有限元方法及其應用[D]. 潘軍.湘潭大學 2009



本文編號：3657702