本文關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程的分析力學(xué)方法

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【摘要】：分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)的研究是國(guó)際科學(xué)與工程領(lǐng)域的前沿課題,引起各領(lǐng)域科學(xué)家的廣泛關(guān)注.但是,求解分?jǐn)?shù)階微分方程的積分是一個(gè)基礎(chǔ)而又困難的問(wèn)題!1788年以來(lái),伴隨著分析力學(xué)的發(fā)展,分析力學(xué)家提供了一整套求解動(dòng)力學(xué)方程的積分方法,例如尋找守恒量的Poisson方法、Jacobi最終乘子方法、Lie對(duì)稱(chēng)性方法、Mei對(duì)稱(chēng)性方法等等,并且已經(jīng)把這些經(jīng)典的積分方法拓展應(yīng)用于求解整數(shù)階微分方程.最近20年,國(guó)際上科學(xué)家們分別建立了分?jǐn)?shù)階Lagrange方程、分?jǐn)?shù)階Hamilton方程和分?jǐn)?shù)階非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程.2010年以來(lái),Luo帶領(lǐng)的課題組建立了新的分?jǐn)?shù)階Lagrange力學(xué),完整的分?jǐn)?shù)階Hamilton力學(xué),分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton力學(xué),分?jǐn)?shù)階Birkhoff力學(xué)和分?jǐn)?shù)階Nambu動(dòng)力學(xué),進(jìn)而研究了這些系統(tǒng)的梯度表示、代數(shù)結(jié)構(gòu)、Poisson守恒律、變分方程、積分不變量、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等,給出了構(gòu)造實(shí)際分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型的分析力學(xué)方法.問(wèn)題是:基于分?jǐn)?shù)階微分方程的分析力學(xué)表示,能否利用分析力學(xué)經(jīng)典的積分方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程呢?本論文在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Riesz Riemann Liouville定義下,基于分?jǐn)?shù)階微分方程的分?jǐn)?shù)階Lagrange表示、分?jǐn)?shù)階Hamilton表示、分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示、分?jǐn)?shù)階Birkhoff表示和分?jǐn)?shù)階Nambu表示,研究分?jǐn)?shù)階微分方程的分析力學(xué)方法,主要包括分?jǐn)?shù)階微分方程的分?jǐn)?shù)階Jacobi最終乘子方法、分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱(chēng)性方法和分?jǐn)?shù)階Mei對(duì)稱(chēng)性方法,并研究這三種方法在實(shí)際分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型中的應(yīng)用.在理論上,拓寬了分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)理論和分?jǐn)?shù)階微分方程理論;在方法上,提供了求解實(shí)際分?jǐn)?shù)階模型的三種方法;在應(yīng)用上,研究了幾個(gè)典型的實(shí)際分?jǐn)?shù)階模型的分析力學(xué)方法,也為探索其它實(shí)際模型的內(nèi)在性質(zhì)和動(dòng)力學(xué)行為提供了借鑒.這在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和工程中有著重要的理論價(jià)值和寬泛的實(shí)際實(shí)用價(jià)值,也豐富和發(fā)展了分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)以及分?jǐn)?shù)階微分方程的理論與方法.第一章簡(jiǎn)要介紹了分析力學(xué)和分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)研究的歷史與現(xiàn)狀,提出了本論文所要解決的問(wèn)題.第二章首先,分別介紹了Riemann Liouville、Riesz Riemann Liouville、Caputo和Riesz Caputo四種不同分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其主要性質(zhì).然后,基于Riesz Riemann Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,給出了分?jǐn)?shù)階微分方程的分?jǐn)?shù)階Lagrange表示、分?jǐn)?shù)階Hamilton表示、分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示、分?jǐn)?shù)階Birkhoff表示和分?jǐn)?shù)階Nambu表示;并分別提出了構(gòu)造分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange方法、分?jǐn)?shù)階Hamilton方法、分?jǐn)?shù)階廣義hamilton方法、分?jǐn)?shù)階birkhoff方法和分?jǐn)?shù)階nambu方法.第三章本章提出了一個(gè)尋找分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)守恒量的新方法,即分?jǐn)?shù)階jacobi最終乘子方法.在riesz riemann liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義下,研究一般的分?jǐn)?shù)階微分方程,構(gòu)造它的分?jǐn)?shù)階jacobi最終乘子,分別給出最終乘子的確定方程和三個(gè)重要性質(zhì).然后,提出分?jǐn)?shù)階jacobi最終乘子方法,包括尋找分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)守恒量的三個(gè)定理.再者,將分?jǐn)?shù)階jacobi最終乘子方法分別應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階lagrange系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階hamilton系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階廣義hamilton系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階nambu系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階birkhoff系統(tǒng),給出五個(gè)相關(guān)命題.而且,利用分?jǐn)?shù)階微分方程的分析力學(xué)表示和分?jǐn)?shù)階jacobi最終乘子方法,尋找實(shí)際動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的守恒量,分別求得分?jǐn)?shù)階廣義相對(duì)論buchduhl模型、分?jǐn)?shù)階robbins lorenz模型、分?jǐn)?shù)階euler poinsot模型和分?jǐn)?shù)階duffing振子模型的守恒量.第四章本章提出了一個(gè)尋找分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)守恒量的新方法,即分?jǐn)?shù)階lie對(duì)稱(chēng)性方法.在riesz riemann liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下,基于分?jǐn)?shù)階微分方程的分?jǐn)?shù)階lagrange表示、分?jǐn)?shù)階hamilton表示、分?jǐn)?shù)階廣義hamilton表示、分?jǐn)?shù)階birkhoff表示和分?jǐn)?shù)階nambu表示,提出尋找分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)守恒量的分?jǐn)?shù)階lie對(duì)稱(chēng)性方法,包括構(gòu)造一種新的單參數(shù)分?jǐn)?shù)階無(wú)限小變換,在這種變換下,得到分?jǐn)?shù)階lie對(duì)稱(chēng)性的確定方程和求解系統(tǒng)守恒量的定理.而且,利用分?jǐn)?shù)階微分方程的分析力學(xué)表示和分?jǐn)?shù)階lie對(duì)稱(chēng)性方法,尋找實(shí)際動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的守恒量,分別求得分?jǐn)?shù)階hénon heiles模型、分?jǐn)?shù)階emden模型、分?jǐn)?shù)階lotka生化振子模型、分?jǐn)?shù)階duffing振子模型和一個(gè)四維分?jǐn)?shù)階birkhoff模型的守恒量.最后,在分?jǐn)?shù)階框架下探究了lie對(duì)稱(chēng)性方法和jacobi最終乘子方法之間的關(guān)系.第五章本章提出了一個(gè)尋找分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)守恒量的新方法,即分?jǐn)?shù)階mei對(duì)稱(chēng)性方法.在riesz riemann liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下,基于分?jǐn)?shù)階微分方程的分?jǐn)?shù)階lagrange表示、分?jǐn)?shù)階hamilton表示、分?jǐn)?shù)階廣義hamilton表示、分?jǐn)?shù)階birkhoff表示和分?jǐn)?shù)階nambu表示,提出尋找分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)守恒量的分?jǐn)?shù)階mei對(duì)稱(chēng)性方法.在一般的分?jǐn)?shù)階lie變換下,分別得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階mei對(duì)稱(chēng)性確定方程和求解系統(tǒng)守恒量的定理.而且,利用分?jǐn)?shù)階微分方程的分析力學(xué)表示和分?jǐn)?shù)階mei對(duì)稱(chēng)性方法,尋找實(shí)際動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的守恒量,求得分?jǐn)?shù)階kepler模型、分?jǐn)?shù)階hénon heiles模型、分?jǐn)?shù)階相對(duì)論buchduhl模型、分?jǐn)?shù)階相對(duì)論yamaleev振子模型和分?jǐn)?shù)階hojman urrutia模型的守恒量.第六章歸納總結(jié)了本文的主要工作,提出了分?jǐn)?shù)微分方程的分析力學(xué)方法進(jìn)一步研究工作的一些建議.
【學(xué)位授予單位】：浙江理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：O175
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本文編號(hào)：1280905