本文關(guān)鍵詞：非線性偏微分方程精確解的求解研究

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【摘要】：20世紀(jì)70年代以后,鑒于非線性偏微分方程可以更加真實(shí)準(zhǔn)確的描述客觀世界中的廣泛現(xiàn)象,所以研究非線性偏微分方程逐漸成為熱點(diǎn)。在人們不斷探索和解決各種復(fù)雜的非線性問題的過程中,對(duì)自然和社會(huì)的認(rèn)識(shí)也越來越深刻。發(fā)展至今,對(duì)于非線性偏微分方程的探索,已經(jīng)建立起較為完善的理論體系。在非線性偏微分方程的研究領(lǐng)域中,精確解的構(gòu)造是其中一個(gè)重要的分支。近幾十年以來,精確解的發(fā)展不斷有新的突破,科學(xué)家們提出了不少行之有效的方法來構(gòu)造方程的精確解。特別值得一提的是,我國(guó)科學(xué)家在這方面取得了杰出的成就,處于世界領(lǐng)先地位,如王明亮教授創(chuàng)立的齊次平衡法,此方法可以作為很多其他方法的基礎(chǔ)；樓森岳教授創(chuàng)立的多線性分離變量法；范恩貴教授提出的擴(kuò)展tanh法；劉適式教授創(chuàng)立的Jacobi橢圓函數(shù)展開法以及本文將介紹的雙函數(shù)法和G'/G展開法等等。這些開創(chuàng)性工作大大豐富了非線性偏微分方程精確解的求解方法,而且這些方法能夠適用于一大類非線性方程的求解問題,具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值。符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)在求解非線性偏微分方程的精確解中扮演著至關(guān)重要的角色。本文將結(jié)合符號(hào)計(jì)算軟件Maple,構(gòu)造偏微分方程的若干精確解,并畫出其3D圖像,以便易于我們對(duì)解的形狀、性質(zhì)、意義加以分析。本文主要的研究包含以下幾個(gè)方面：第一章引出文章主要研究對(duì)象的背景及意義。第二章首先概述了孤立子的產(chǎn)生及其激發(fā),說明了孤子對(duì)非線性偏微分方程體系的影響。其次介紹了非線性偏微分方程的最新幾種構(gòu)造精確解的方法,最后對(duì)非線性偏微分方程的廣義條件對(duì)稱以及守恒律進(jìn)行闡述。第三章介紹了雙函數(shù)法的基本思想,并給出其具體求解步驟,然后運(yùn)用此方法得到了高階偏微分方程Kawahara新的行波解,豐富了非線性偏微分方程的精確解,且給出的每一個(gè)解都已用Maple驗(yàn)證其正確性,并畫出每個(gè)解的3D圖。第四章首次結(jié)合Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和G'/G展開法求出高階分?jǐn)?shù)階Kawahara方程新的精確解,并分析這些解的意義,最后對(duì)G'/G展開法及其他方法進(jìn)行比較得出它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。第五章總結(jié)全文并對(duì)非線性偏微分方程的研究進(jìn)行展望。
【關(guān)鍵詞】：非線性偏微分方程 精確解 雙函數(shù)法 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) G'/G展開法 Kawahara方程
【學(xué)位授予單位】：陜西師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.29
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-8
• 第1章 緒論8-12
• 1.1 非線性偏微方程的研究背景與意義8
• 1.2 非線性偏微方程的精確解發(fā)展現(xiàn)狀8-9
• 1.3 論文章節(jié)安排9-12
• 第2章 孤立子與非線性偏微分方程12-22
• 2.1 孤立子12-14
• 2.1.1 KdV方程與孤立子12-13
• 2.1.2 孤子的激發(fā)13-14
• 2.2 非線性偏微分方程14-20
• 2.2.1 非線性偏微分方程最新求解方法14-17
• 2.2.2 非線性偏微分方程的廣義條件對(duì)稱17-18
• 2.2.3 非線性偏微分方程守恒律的研究18-20
• 2.3 本章小結(jié)20-22
• 第3章 雙函數(shù)法在求解非線性高階Kawahara方程中的應(yīng)用22-32
• 3.1 雙函數(shù)法22-23
• 3.2 非線性高階Kawahara方程新的精確解23-31
• 3.3 本章小結(jié)31-32
• 第4章 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和G'/G展開法及應(yīng)用32-42
• 4.1 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)32-33
• 4.2 G'/G展開法33-34
• 4.2.1 (1+1)維方程的G'/G展開法33-34
• 4.2.2 高維方程的G'/G展開法34
• 4.3 高階分?jǐn)?shù)階Kawahara方程新的精確解34-40
• 4.4 G'/G展開法及其他方法的比較40
• 4.5 本章小結(jié)40-42
• 第5章 總結(jié)與展望42-44
• 參考文獻(xiàn)44-48
• 致謝48-50
• 攻讀碩士學(xué)位期間的研究成果50

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 姚若俠;基于符號(hào)計(jì)算的非線性微分方程精確解及其可積性研究[D];華東師范大學(xué);2005年

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本文編號(hào)：996749