本文關(guān)鍵詞：雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的幾種數(shù)值解法

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【摘要】：分?jǐn)?shù)階微分方程是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的一類微分方程.與整數(shù)階相比,分?jǐn)?shù)階微分方程最重要的優(yōu)勢(shì)在于它能更好地模擬某些自然物理現(xiàn)象和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)過(guò)程,因此在物理、工程、金融、地下水和環(huán)境問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用.但是,分?jǐn)?shù)階微分方程的求解方法不及整數(shù)階微分方程那樣完善,還沒(méi)有比較系統(tǒng)的求解公式,目前對(duì)它的研究還處于初級(jí)階段.和整數(shù)階微分方程的情況一樣,只有很少類型的分?jǐn)?shù)階微分方程能夠求出解析解.大多數(shù)情況下,只能使用數(shù)值方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算.因此,對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行數(shù)值求解有著十分重要的意義.本文主要研究一維的雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值解法.文中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)均指Riemann-Liouville定義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).主要工作如下：第一章,給出了分?jǐn)?shù)階微積分的歷史簡(jiǎn)介、分?jǐn)?shù)階微分方程的研究意義以及分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀.第二章,給出了一些預(yù)備知識(shí),包括分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣以及相關(guān)定理.第三章,研究了一維的雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的有限差分解法.結(jié)合一些學(xué)者所提出的有限差分法的思想,構(gòu)造出方程在時(shí)間和空間上均可以達(dá)到二階精度的中心加權(quán)C-N格式,并對(duì)格式的穩(wěn)定性及收斂性進(jìn)行了分析.最后給出數(shù)值算例,驗(yàn)證了格式的有效性、精確性和可靠性.但該格式無(wú)法保證其離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),給計(jì)算帶來(lái)一定的困難.第四章,在中心加權(quán)C-N格式的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),提出了一種時(shí)間和空間上均可以達(dá)到二階精度的新型加權(quán)C-N格式,該格式可使離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu).接著分析了格式的解的存在唯一性、穩(wěn)定性及收斂性.最后給出數(shù)值算例，，驗(yàn)證了格式的有效性、精確性和可靠性.第五章,研究了一維的雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的快速的有限差分解法.快速算法在和中心或新型加權(quán)C-N格式保持相同精度的前提下,通過(guò)快速Fourier變換,每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)只需O(K)的存儲(chǔ)量和O(K log2K)的計(jì)算量.最后的數(shù)值算例驗(yàn)證了快速算法的有效性和精確性.
【關(guān)鍵詞】：雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 移位Gr(u|¨)nwald公式 快速有限差分法 Toeplitz和循環(huán)矩陣
【學(xué)位授予單位】：華南理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 緒論10-15
• 1.1 分?jǐn)?shù)階微積分的歷史簡(jiǎn)介10
• 1.2 分?jǐn)?shù)階微分方程的研究意義10-11
• 1.3 分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀11-14
• 1.4 本文主要工作14-15
• 第二章 預(yù)備知識(shí)15-18
• 2.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)15-16
• 2.2 Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣16-18
• 第三章 雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的中心加權(quán)C-N格式18-31
• 3.1 中心加權(quán)C-N格式19-23
• 3.2 穩(wěn)定性分析23-25
• 3.3 收斂性分析25-28
• 3.4 數(shù)值算例28-30
• 3.5 本章小結(jié)30-31
• 第四章 雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的新型加權(quán)C-N格式31-42
• 4.1 新型加權(quán)C-N格式31-33
• 4.2 解的存在唯一性33-34
• 4.3 穩(wěn)定性分析34-37
• 4.4 收斂性分析37-40
• 4.5 數(shù)值算例40-41
• 4.6 本章小結(jié)41-42
• 第五章 一種計(jì)算量為O(Klog~2K)的快速二階隱式有限差分解法42-49
• 5.1 一種O(K)存儲(chǔ)量的有限差分法42-43
• 5.2 基于FFT的一種O(Klog~2K)計(jì)算量的快速有限差分法43-46
• 5.3 數(shù)值算例46-47
• 5.4 本章小結(jié)47-49
• 總結(jié)與展望49-50
• 1.總結(jié)49
• 2.展望49-50
• 參考文獻(xiàn)50-58
• 攻讀碩士學(xué)位期間取得的研究成果58-59
• 致謝59-60
• Ⅳ-2答辯委貢會(huì)對(duì)論文的評(píng)定意見(jiàn)60

本文編號(hào)：784756