本文關(guān)鍵詞：誤差校正和指數(shù)隨機Runge-Kutta方法

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【摘要】：隨機微分方程作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個極為重要的研究方向,在生產(chǎn)生活中占有舉足輕重的地位。由于隨機微分方程自身的復(fù)雜性,通常難以獲得其真解,因而對其進(jìn)行數(shù)值求解就顯得尤為重要。盡管隨機微分方程的顯式數(shù)值方法形式簡單、計算效率高,但是現(xiàn)有的絕大多數(shù)顯式數(shù)值方法穩(wěn)定性差,不能很好的求解剛性隨機微分方程。本文討論了兩類基于顯式隨機Runge-Kutta方法進(jìn)行改進(jìn)的顯式數(shù)值方法。這兩類數(shù)值方法不但保持了原隨機Runge-Kutta方法均方1階收斂的良好收斂性,而且克服原隨機Runge-Kutta方法穩(wěn)定性差的缺陷,表現(xiàn)出了良好的穩(wěn)定性。第一類數(shù)值方法是在隨機Runge-Kutta方法基礎(chǔ)上,添加誤差校正項來實現(xiàn)的,稱為誤差校正隨機Runge-Kutta方法(ECSRK方法)。本文進(jìn)一步證明了該數(shù)值方法的均方收斂階為1.此外,將ECSRK方法應(yīng)用到線性檢驗方程,分析了該數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性,分別給出了均方穩(wěn)定和漸進(jìn)穩(wěn)定的條件,描繪出其穩(wěn)定區(qū)域,并與原隨機Runge-Kutta方法進(jìn)行了比較。研究結(jié)果表明,誤差校正隨機Runge-Kutta方法的均方穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性都遠(yuǎn)優(yōu)于原隨機Runge-Kutta方法。將求解常微分方程的指數(shù)Runge-Kutta方法的思想推廣到求解隨機微分方程中,得到了第二類數(shù)值方法——指數(shù)隨機Runge-Kutta方法。本文應(yīng)用It?公式將隨機微分方程的真解展開,分析了指數(shù)隨機Runge-Kutta方法的誤差余項,證明了該方法是均方1階收斂的。在穩(wěn)定性方面,指數(shù)隨機Runge-Kutta方法是無條件均方穩(wěn)定的,即對任意給定步長h?0,指數(shù)隨機Runge-Kutta方法都是均方穩(wěn)定的。并且,指數(shù)隨機Runge-Kutta方法的漸近穩(wěn)定區(qū)域也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原隨機Runge-Kutta方法。此外,本文的大多數(shù)的理論結(jié)果和結(jié)論都有相應(yīng)的數(shù)值算例支持。
【關(guān)鍵詞】：誤差校正隨機Runge-Kutta方法 指數(shù)隨機Runge-Kutta方法 均方收斂性 均方穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定性
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.8
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-9
• 第1章 緒論9-16
• 1.1 隨機微分方程背景9-10
• 1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及分析10-14
• 1.2.1 隨機微分方程數(shù)值方法的收斂性10-12
• 1.2.2 隨機微分方程數(shù)值方法的穩(wěn)定性12-14
• 1.3 本文的主要研究內(nèi)容14-16
• 第2章 預(yù)備知識16-23
• 2.1 引言16
• 2.2 概率和隨機過程基礎(chǔ)知識16-17
• 2.2.1 基本定義16-17
• 2.2.2 定理和性質(zhì)17
• 2.3 隨機微分方程基本概念17-21
• 2.3.1 解的存在唯一性18
• 2.3.2 平凡解的穩(wěn)定性18-19
• 2.3.3 It?公式和It?-Taylor展開19-21
• 2.4 隨機微分方程數(shù)值解21-22
• 2.5 本章小結(jié)22-23
• 第3章 誤差校正隨機Runge-Kutta方法的收斂性和穩(wěn)定性23-37
• 3.1 引言23
• 3.2 誤差校正隨機Runge-Kutta方法（ECSRK）23-24
• 3.3 ECSRK方法的均方收斂性24-28
• 3.4 ECSRK方法的漸近穩(wěn)定性28-33
• 3.4.1 ECSRK方法的均方穩(wěn)定性28-31
• 3.4.2 ECSRK方法的漸近穩(wěn)定性31-33
• 3.5 數(shù)值算例33-36
• 3.6 本章小結(jié)36-37
• 第4章 指數(shù)隨機Runge-Kutta方法的收斂性和穩(wěn)定性37-48
• 4.1 引言37
• 4.2 指數(shù)隨機Runge-Kutta方法37
• 4.3 均方收斂性分析37-42
• 4.4 穩(wěn)定性分析42-44
• 4.4.1 均方穩(wěn)定性42-43
• 4.4.2 漸近穩(wěn)定性43-44
• 4.5 數(shù)值算例44-47
• 4.6 本章小結(jié)47-48
• 結(jié)論48-49
• 參考文獻(xiàn)49-54
• 致謝54

【參考文獻(xiàn)】

中國博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 王小捷;隨機微分方程數(shù)值算法研究[D];中南大學(xué);2012年

中國碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 前2條

1 周雪;隨機延遲微分方程指數(shù)Euler方法的收斂性和穩(wěn)定性[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2012年

2 周超杰;求解隨機微分方程兩類數(shù)值方法的收斂性[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2014年

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本文編號：774121