本文關(guān)鍵詞：時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性和Hopf分岔分析

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【摘要】：時(shí)滯微分方程一種十分常見(jiàn)且與日常生活密切相關(guān)的動(dòng)力系統(tǒng)。研究時(shí)滯微分方程對(duì)我們能更好地發(fā)展社會(huì)有非常重要的作用。在近年來(lái),時(shí)滯微分方程已經(jīng)是研究者研究的一個(gè)重要課題,同時(shí)越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注時(shí)滯微分方程這一領(lǐng)域。非線性微分方程,存在著由非線性產(chǎn)生的不穩(wěn)定性問(wèn)題,使得微分方程的動(dòng)力學(xué)特性具有復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)方式�？紤]到系統(tǒng)反映滯后由此而引入的時(shí)滯,進(jìn)一步使得微分方程的研究越來(lái)越復(fù)雜。有時(shí)候考慮到不同因數(shù)的影響還要給系統(tǒng)加入效應(yīng)方程,這樣系統(tǒng)將更加復(fù)雜,進(jìn)而需要探究帶有時(shí)滯和效應(yīng)方程的一些新的適合系統(tǒng)的理論方法,去分析它的穩(wěn)定性、分岔、分岔周期方向等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。因此,在理論研究上與常微分方程相比帶時(shí)滯微分方程具有更大的難度。本文首先對(duì)帶有兩個(gè)時(shí)滯的系統(tǒng)進(jìn)行分析。描述新系統(tǒng)與原系統(tǒng)的區(qū)別,計(jì)算得到非負(fù)平衡點(diǎn)存在的條件,結(jié)合雅克比矩陣的特征方程的知識(shí)討論其非負(fù)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性,求證Hopf分岔的存在性,并結(jié)合數(shù)學(xué)計(jì)算推導(dǎo)出Hopf分岔點(diǎn)。根據(jù)中心流形定理和規(guī)范性理論,將二者進(jìn)行結(jié)合可進(jìn)一步求出Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期和周期隨時(shí)滯的變化性。要對(duì)上面求解,首先要利用泰勒公式展開(kāi)式將描述的系統(tǒng)展開(kāi),從而得到線性部分和非線性部分的相關(guān)系數(shù)表達(dá)式。其次是運(yùn)用相關(guān)知識(shí)對(duì)決定Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期的表達(dá)式進(jìn)行求解,對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)在滿(mǎn)足推出的條件下進(jìn)行數(shù)值仿真。根據(jù)仿真所得到系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖和相圖我們可以觀察到,在不同條件下參數(shù)變化改變了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。當(dāng)時(shí)滯不斷增大時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定,并在某一點(diǎn)發(fā)生了Hopf分岔。結(jié)合所推出的理論說(shuō)明時(shí)滯能改變微分方程的動(dòng)力學(xué)特性。接著,在原系統(tǒng)基礎(chǔ)上給其加入時(shí)滯,是第二個(gè)時(shí)滯微分方程。利用相同的理論方法,討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔,及求出分岔點(diǎn),利用泰勒公式展開(kāi)式、中心流形定理和規(guī)范化理論可以得到分岔點(diǎn)的Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期和周期隨時(shí)滯的變化性。最后,將原系統(tǒng)進(jìn)行變化,給其多加入一個(gè)時(shí)滯。我們得到新的系統(tǒng),這就是下面要分析的第三個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)模型。利用基本相同的研究方法和引理,討論其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和正平衡點(diǎn)Hopf分岔的存在性,并確定分岔點(diǎn)的參數(shù)值。利用泰勒公式、中心流形定理和規(guī)范化理論,可以得到分支點(diǎn)的Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期和周期隨時(shí)滯的變換性。
【關(guān)鍵詞】：時(shí)滯 穩(wěn)定性 Hop分岔 周期解
【學(xué)位授予單位】：蘭州交通大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類(lèi)號(hào)】：O175
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 緒論10-13
• 1.1 研究意義10-11
• 1.2 研究情況11-12
• 1.3 本文主要內(nèi)容12-13
• 2 基礎(chǔ)知識(shí)13-17
• 2.1 方程的根13-14
• 2.2 穩(wěn)定性判定14-16
• 2.3 分岔定義16
• 2.4 時(shí)間歷程圖和相圖16-17
• 3 雙時(shí)滯微分方程分析17-35
• 3.1 修正方程17-18
• 3.2 平衡點(diǎn)存在性18
• 3.3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性18-23
• 3.4 正平衡點(diǎn)Hopf分岔性質(zhì)23-32
• 3.5 數(shù)值仿真32-35
• 4 帶比率反應(yīng)函數(shù)的時(shí)滯微分方程分析35-66
• 4.1 修正方程35-36
• 4.2 解有界36-37
• 4.3 平衡點(diǎn)存在性37-43
• 4.4 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性43-54
• 4.5 正平衡點(diǎn)Hopf分岔性質(zhì)54-63
• 4.6 數(shù)值仿真63-66
• 5 Leslie-Gower型時(shí)滯微分方程分析66-86
• 5.1 修正方程66-67
• 5.2 解的正性67
• 5.3 解有界67-68
• 5.4 平衡點(diǎn)存在性68-69
• 5.5 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性69-76
• 5.6 正平衡點(diǎn)Hopf分岔性質(zhì)76-83
• 5.7 數(shù)值仿真83-86
• 結(jié)論86-87
• 參考文獻(xiàn)87-90
• 致謝90-91
• 攻讀學(xué)位期間的研究成果91

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：684963