本文關(guān)鍵詞：半線性非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程解的存在性與吸引子，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：早在300年前數(shù)學(xué)家們就提出了有關(guān)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念,但直到最近幾十年,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)才得到數(shù)學(xué)家及自然學(xué)家的廣泛關(guān)注,原因在于它成功地描述了許多空間非局部和時(shí)間記憶性的現(xiàn)象.在數(shù)學(xué)上,經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程的擴(kuò)散項(xiàng)是通過(guò)Laplace算子來(lái)體現(xiàn)的,但Laplace算子只能反映空間上的局部作用,將方程中的擴(kuò)散項(xiàng)改成非局部算子時(shí),就會(huì)產(chǎn)生反常擴(kuò)散.本文主要考慮一種非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程,將經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程中的Laplace算子用非局部算子Aα來(lái)代替.其中Aα是一個(gè)分?jǐn)?shù)階Laplace算子,它是利用奇異積分來(lái)定義的.對(duì)于經(jīng)典的反應(yīng)擴(kuò)散方程,弱解的存在性,吸引子等問(wèn)題的理論比較完備,而非局部方程有關(guān)于這部分理論還不夠完善,本文主要探討帶有這種非局部算子的反應(yīng)擴(kuò)散方程在某個(gè)Sobolev空間中弱解的存在性,以及其L2(D)全局吸引子的存在性.本文首先回顧和介紹實(shí)指數(shù)Sobolev空間,非局部向量微積分以及Sobolev空間中嵌入定理等相關(guān)預(yù)備知識(shí),然后利用Galerkin逼近方法證明非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程在某個(gè)Sobolev空間中弱解的存在性.進(jìn)一步地,在弱解存在的基礎(chǔ)上,我們考慮了系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為.全局吸引子是刻畫(huà)耗散動(dòng)力系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)合適概念,它表明系統(tǒng)最終會(huì)趨向于某個(gè)緊的不變集.本文針對(duì)此類非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程的一個(gè)具體模型,證明其L2(D)全局吸引子的存在性.
【關(guān)鍵詞】：非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程 分?jǐn)?shù)階Laplace算子 非局部向量微積分 嵌入定理 吸引子
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-7
• 1 緒論7-14
• 1.1 選題背景與意義7-9
• 1.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀9-11
• 1.3 研究方法11-12
• 1.4 研究?jī)?nèi)容和主要結(jié)果12-14
• 2 預(yù)備知識(shí)14-23
• 2.1 實(shí)指數(shù)Sobolev空間H s14-15
• 2.2 非局部向量微積分15-20
• 2.3 Sobolev嵌入定理20-21
• 2.4 一些收斂定理21-23
• 3 弱解的存在性23-36
• 3.1 弱解23-24
• 3.2 弱解的存在性證明24-36
• 4 L~2(D) 上吸引子的存在性36-43
• 4.1 吸引子存在性定理36-37
• 4.2 原問(wèn)題在L~2(D) 上吸引子存在的證明37-43
• 5 一些展望43-44
• 致謝44-45
• 參考文獻(xiàn)45-47

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