本文關鍵詞：分數(shù)階積分微分方程的數(shù)值方法研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：分數(shù)階積分微分理論是數(shù)學分析的一個重要的分支,是專門研究任意階積分和微分的數(shù)學性質(zhì)及其應用的重要領域。分數(shù)階微分方程可以應用到記憶材料、粘彈性力學、地震分析以及分數(shù)電容理論等領域。分數(shù)階微分方程因其內(nèi)部的導數(shù)具有非局部性,能有效描述某些物質(zhì)的記憶和遺傳性的材料。另外,脈沖微分方程能夠很好的用來刻畫某些瞬間改變原有狀態(tài)的物理模型。因此,對他們的研究具有十分重要的意義。目前,許多學者已對其進行了理論研究,但是對數(shù)值計算方面的研究較少。本文從數(shù)值計算方面對分數(shù)階常微分方程、二維分數(shù)階Volterra積分方程和脈沖微分方程進行了研究,具體內(nèi)容如下:首先,針對分數(shù)階常微分方程的數(shù)值解。從block-by-block方法的思想出發(fā),提出了一種構(gòu)造更高階數(shù)值格式的方法,借助修正的block-by-block方法的思想對分數(shù)階常微分方程構(gòu)造并分析了一個新的高階數(shù)值格式,該格式的優(yōu)點在于除了前三層外,其余的未知量不需要耦合求解,最后通過數(shù)值算例證明了該方法的有效性。其次,基于經(jīng)典block-by-block方法的思想對二維分數(shù)階Volterra積分方程構(gòu)造了一個修正block-by-block數(shù)值格式。該方法的優(yōu)點在于除了u(x_1,y),u(x_2,y),u(x,y_1)和u(x,y_2)外,其余未知量都不需要耦合求解,本文通過數(shù)值算例表明了該格式具有較好的逼近性。最后,針對脈沖微分方程初值問題,首先將脈沖微分方程轉(zhuǎn)化為等價積分方程,然后對等價的積分方程利用利用經(jīng)典的block-by-block方法和修正的block-by-block方法,構(gòu)造了一個高階數(shù)值格式,并分析了該數(shù)值格式的收斂性和穩(wěn)定性,最后通過數(shù)值算例驗證了理論的正確性和有效性。
【關鍵詞】：高階數(shù)值格式 分數(shù)階Volterra積分方程 微分方程 收斂性穩(wěn)定性
【學位授予單位】：貴州民族大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.8
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-8
• 1 緒論8-15
• 1.1 分數(shù)階積分微分的研究背景8-10
• 1.2 脈沖微分方程的研究背景10
• 1.3 分數(shù)階積分微分方程和脈沖微分方程的數(shù)值解法的研究現(xiàn)狀10-13
• 1.4 本文的主要工作13-14
• 1.5 本文的創(chuàng)新點14-15
• 2 預備知識15-18
• 2.1 Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)的基本定義15
• 2.2 分數(shù)階積分微分的一些常見的基本定義15-17
• 2.3 脈沖微分方程的一些基本定義17-18
• 3 分數(shù)階微分方程的一個高階數(shù)值格式18-26
• 3.1 高階格式構(gòu)造18-23
• 3.2 截斷誤差估計23-24
• 3.3 數(shù)值算例24-25
• 3.4 本章結(jié)論25-26
• 4 二維分數(shù)階Volterra積分方程的修正block-by-block方法26-34
• 4.1 數(shù)值格式的構(gòu)造26-32
• 4.2 數(shù)值算例32-33
• 4.3 本章結(jié)論33-34
• 5 脈沖微分方程的block-by-block方法34-44
• 5.1 數(shù)值格式34-36
• 5.2 收斂性分析36-39
• 5.3 穩(wěn)定性分析39-41
• 5.4 數(shù)值算例41-43
• 5.5 本章結(jié)論43-44
• 6 脈沖微分方程的一個修正block-by-block數(shù)值格式44-52
• 6.1 數(shù)值格式的構(gòu)造44-46
• 6.2 收斂性分析46-49
• 6.3 數(shù)值算例49-51
• 6.4 本章結(jié)論51-52
• 7 結(jié)論與展望52-53
• 7.1 結(jié)論52
• 7.2 展望52-53
• 參考文獻53-57
• 致謝57-58
• 個人簡歷58

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