發(fā)布時(shí)間：2017-06-07 07:04

  本文關(guān)鍵詞：求解一類非線性拋物型方程的局部一維化方法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：偏微分方程數(shù)值解的理論和方法是計(jì)算數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中非常具有挑戰(zhàn)性的課題,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的日益發(fā)展,通過數(shù)值計(jì)算求解實(shí)際物理過程中的數(shù)學(xué)模型,越來越成為國內(nèi)外科研發(fā)展的前沿。而拋物型方程作為一類重要的偏微分方程,其理論研究和解法近年來逐漸趨于成熟,這使得其在各大學(xué)科領(lǐng)域的研究和應(yīng)用更為廣泛。目前求解此類方程,常采用有限差分法進(jìn)行離散,由于其簡(jiǎn)單直觀、易于操作等優(yōu)點(diǎn),在眾多方法中占有十分關(guān)鍵的地位。其中,顯格式計(jì)算方便且容易實(shí)現(xiàn),但精度低且不能保證穩(wěn)定性；隱格式雖與顯格式相比穩(wěn)定性更好,但在實(shí)際數(shù)值模擬過程中,往往需要計(jì)算高維或非線性方程,其在處理高維問題時(shí)導(dǎo)致計(jì)算量較大。本文主要考慮如下的非線性拋物型方程(組)：對(duì)于此方程(組)的初邊值問題,在多數(shù)情況下解決的是a≠a(u)的情形,即a與u無關(guān),但在本文主要討論a=a(u)的情形,即a與u相關(guān)。本文主要采用由Dyakonov和Yanenko提出的局部一維化方法(簡(jiǎn)稱LOD),此方法主要用于求解高維方程,但由于非線性問題的固有特性,非線性項(xiàng)難以處理且其過渡層的值是難以確定的,使得求解過程困難,即使給出一些簡(jiǎn)化方法,計(jì)算精度也會(huì)受到影響。針對(duì)上述的一系列問題,本文在已有的LOD方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改造,提出了對(duì)于非線性項(xiàng)a(u)的兩種處理方法,相比以往文獻(xiàn)中所給的方法,本文所構(gòu)造出的差分格式具有計(jì)算量較少,誤差易于掌握,程序不難實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。文章的主要內(nèi)容安排如下：第一部分,介紹非線性拋物型方程的研究背景及意義,以及現(xiàn)有的求解此類方程的理論和方法。第二部分,介紹一些關(guān)于幾種差分格式的相關(guān)內(nèi)容。第三部分,介紹局部一維化格式,給出了其離散過程,并針對(duì)線性拋物型方程進(jìn)行了截?cái)嗾`差與穩(wěn)定性分析,數(shù)值計(jì)算的結(jié)果也表明了方法的有效性。第四部分,介紹針對(duì)非線性拋物型方程的非線性項(xiàng)a(u)的兩種處理方法,此部分是對(duì)上一部分的結(jié)果做了進(jìn)一步的改進(jìn),并給出兩組數(shù)值實(shí)驗(yàn)。最后,給出總結(jié)與展望。
【關(guān)鍵詞】：三維非線性拋物方程 非線性項(xiàng) 有限差分 局部一維格式 誤差估計(jì)
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 1 緒論8-13
• 1.1 非線性拋物型方程研究背景及意義8-10
• 1.2 非線性拋物型方程國內(nèi)外研究現(xiàn)狀10-11
• 1.3 本文主要的研究?jī)?nèi)容11-13
• 2 傳統(tǒng)有限差分格式13-19
• 2.1 引言13
• 2.2 古典顯式差分格式13-15
• 2.3 古典隱式差分格式15-16
• 2.4 Crank-Nicholson隱式差分格式16-18
• 2.5 本章小結(jié)18-19
• 3 線性拋物型方程的局部一維化方法19-25
• 3.1 引言19
• 3.2 差分格式的建立19-20
• 3.3 收斂性分析20-22
• 3.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)22-24
• 3.5 本章小結(jié)24-25
• 4 非線性拋物型方程的局部一維化方法25-39
• 4.1 引言25
• 4.2 一維非線性拋物型方程差分格式的建立25-29
• 4.3 三維非線性拋物型方程差分格式的建立29-36
• 4.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)36-38
• 4.5 本章小結(jié)38-39
• 結(jié)論39-40
• 參考文獻(xiàn)40-43
• 攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表學(xué)術(shù)論文情況43-44
• 致謝44-45

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