以時(shí)滯τ作為分支參數(shù),研究了具有時(shí)滯和線性收獲項(xiàng)的偏利合作系統(tǒng)的動力學(xué)行為.首先,利用Cooke等人給出的關(guān)于超越函數(shù)的零點(diǎn)分布定理,分析了系統(tǒng)唯一正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及局部Hopf分支的存在性,找到了使系統(tǒng)產(chǎn)生局部Hopf分支的分支值;其次,運(yùn)用Hassard的規(guī)范型理論和中心流形定理,得到了確定Hopf分支方向與分支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式;最后,使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的可行性.

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圖1當(dāng)τ=0.9<1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

圖1和圖2分別給出了系統(tǒng)(24)在τ<τ0和τ>τ0時(shí)的模擬結(jié)果.圖1當(dāng)τ=0.9<1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

圖1當(dāng)τ=0.9<1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

圖1當(dāng)τ=0.9<1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖由圖1可見,當(dāng)τ=0.9<1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的正平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的;由圖2可見,當(dāng)τ=1.15>1.1099=τ0時(shí),正平衡點(diǎn)E*失去穩(wěn)定性.由定理2知Hopf分支....

圖2當(dāng)τ=1.15>1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

由圖1可見,當(dāng)τ=0.9<1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的正平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的;由圖2可見,當(dāng)τ=1.15>1.1099=τ0時(shí),正平衡點(diǎn)E*失去穩(wěn)定性.由定理2知Hopf分支是超臨界分支,在τ>τ0時(shí),分支周期解存在且周期解不穩(wěn)定.圖2當(dāng)....

圖2當(dāng)τ=1.15>1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

圖2當(dāng)τ=1.15>1.1099=τ0時(shí),系統(tǒng)(24)的波圖與相圖4結(jié)論

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