本論文主要研究有界區(qū)域中非線性偏微分方程的間斷有限元方法。我們首先證明了 Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程局部間斷有限元方法的能量穩(wěn)定性和最優(yōu)誤差估計(jì)。其次,基于Karush-Kuhn-Tucker(KKT)限制器,我們通過(guò)拉格朗日乘子分別構(gòu)造了反應(yīng)歐拉方程和非線性退化拋物方程高階保界的隱式時(shí)間離散的間斷有限元和局部間斷有限元格式。論文的第一部分,我們研究了 Allen-Cahn方程二階和三階半隱式譜延遲校正(SDC)時(shí)間離散的局部間斷有限元格式的能量穩(wěn)定性和最優(yōu)誤差估計(jì)。由于SDC方法是基于一階凸分裂格式,因此時(shí)間離散方法對(duì)非線性項(xiàng)的隱式處理會(huì)導(dǎo)致每個(gè)時(shí)間層的方程組都是非線性的,增加了理論分析的難度。對(duì)于結(jié)合二階和三階SDC方法的局部間斷有限元離散格式,我們利用有限維空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理證明了數(shù)值解的存在唯一性。同時(shí)半隱式SDC格式中所涉及的迭代和積分也增加了理論分析的難度。與不包括最左端點(diǎn)的龍格庫(kù)塔型半隱式格式相比,這里的SDC格式將最左端點(diǎn)作為正交節(jié)點(diǎn)。這使得SDC格式測(cè)試函數(shù)的選取更加復(fù)雜,能量方程的構(gòu)建更加困難。我們提供了兩種不同的方法來(lái)克服非線性項(xiàng)帶來(lái)...

【文章頁(yè)數(shù)】：141 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：博士

【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第1章 簡(jiǎn)介
    1.1 間斷有限元方法
    1.2 KKT限制器
    1.3 本文工作
第2章 預(yù)備知識(shí)
    2.1 常用記號(hào)和內(nèi)積空間
    2.2 有限元空間
    2.3 投影及其相關(guān)性質(zhì)
    2.4 時(shí)間離散方法
        2.4.1 譜延遲修正方法
        2.4.2 對(duì)角隱式龍格庫(kù)塔方法
    2.5 半光滑牛頓方法
第3章 Allen-Cahn方程高階隱式時(shí)間離散的局部間斷有限元方法的穩(wěn)定性及誤差分析
    3.1 研究背景
    3.2 二階SDC-LDG格式
        3.2.1 全離散數(shù)值格式
        3.2.2 解的存在唯一性
        3.2.3 穩(wěn)定性
        3.2.4 誤差分析
    3.3 三階SDC-LDG格式
        3.3.1 全離散數(shù)值格式
        3.3.2 解的存在唯一性
        3.3.3 穩(wěn)定性
        3.3.4 誤差分析
    3.4 數(shù)值結(jié)果
        3.4.1 精度測(cè)試
        3.4.2 格式穩(wěn)定性需要的時(shí)間步長(zhǎng)與ε滿足的關(guān)系
    3.5 本章總結(jié)
第4章 Cahn-Hilliard方程無(wú)條件穩(wěn)定的局部間斷有限元方法的誤差分析
    4.1 研究背景
    4.2 全離散LDG格式
        4.2.1 線性化的間斷有限元格式
        4.2.2 無(wú)條件能量穩(wěn)定性
    4.3 初始條件的誤差估計(jì)
    4.4 主要結(jié)果
        4.4.1 誤差估計(jì)
        4.4.2 誤差方程
        4.4.3 輔助結(jié)果
        4.4.4 定理4.4的證明
    4.5 數(shù)值結(jié)果
    4.6 本章小節(jié)
第5章 反應(yīng)歐拉方程高精度保界隱式時(shí)間離散格式
    5.1 研究背景
    5.2 隱式時(shí)間離散的DG方法
        5.2.1 分步法
        5.2.2 半離散DG格式
        5.2.3 全離散DIRK-DG格式
    5.3 保界DG離散格式
        5.3.1 具有保界約束條件的DG格式
        5.3.2 齊次方程的限制條件
        5.3.3 反應(yīng)方程使用Harten's SR技術(shù)的高階隱式格式
    5.4 求解半光滑KKT方程的牛頓方法
    5.5 剛性多物種爆炸問(wèn)題的算法
    5.6 數(shù)值算例
        5.6.1 歐拉方程
        5.6.2 反應(yīng)歐拉方程
    5.7 本章小結(jié)
第6章 非線性退化拋物方程的熵耗散高階隱式時(shí)間離散格式
    6.1 研究背景
    6.2 半離散LDG格式
        6.2.1 空間上的LDG離散
        6.2.2 熵耗散性
    6.3 隱式時(shí)間離散的LDG格式
        6.3.1 向后歐拉LDG格式
        6.3.2 穩(wěn)定狀態(tài)的保持
        6.3.3 高階DIRK-LDG離散格式
    6.4 高階保正的DIRK-LDG格式
    6.5 數(shù)值算例
        6.5.1 精度測(cè)試
        6.5.2 雙勢(shì)阱非線性擴(kuò)散方程
        6.5.3 多孔介質(zhì)方程
        6.5.4 費(fèi)米子氣體的非線性Fokker-Plank方程
        6.5.5 玻色子氣體的非線性Fokker-Plank方程
    6.6 本章小節(jié)
第7章 總結(jié)與展望
參考文獻(xiàn)
致謝
在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的研究成果



本文編號(hào)：3921934