世界各國數(shù)學競賽發(fā)展至今已逐漸趨于成熟,數(shù)學競賽試題更是浩如煙海,而這些數(shù)學競賽試題在一定程度上代表的是一種特殊的數(shù)學——競賽數(shù)學,其內(nèi)容大致穩(wěn)定在代數(shù)、平面幾何、數(shù)論、組合等四個方面.差分算子是算子理論中的一種較為具體化、初等化的線性算子,它在代數(shù)學、分析學、組合數(shù)學以及特殊函數(shù)等方面有著重要的應用.同時,在各類數(shù)學競賽的命題和解題中時有涉及高等數(shù)學中的差分算子,而有限差分方法也是解數(shù)學競賽題的一種重要方法.本文旨在通過將高等數(shù)學中的差分算子“下放”到初等數(shù)學中,尤其是應用到競賽數(shù)學試題的命制和解題之中.本文的研究工作主要包括以下幾個方面:1.通過引入差分算子的定義、有關的定理與性質,系統(tǒng)闡述差分算子方法在數(shù)學競賽中的數(shù)列、概率、多項式、組合恒等式及組合序列中的應用;2.對兩道經(jīng)典的數(shù)學競賽試題的命題背景做了較為深入的分析,介紹了三種常見的數(shù)學競賽試題的命題方法,并依此嘗試編擬了一些數(shù)學競賽試題,提供了相應的算子方法;3.以案例研究的形式對一道代數(shù)幾何題、若干組合恒等式、兩道與數(shù)論有關的奧林匹克試題進行推廣,得到了一些新的結論,從而為數(shù)學競賽的命題與解題工作提供一定的參考,對于促進競...

【文章頁數(shù)】：123 頁

【學位級別】：碩士

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中文摘要
Abstract
1 引言
    1.1 研究背景與現(xiàn)狀
    1.2 研究目的與意義
    1.3 預備知識
        1.3.1 相關的記號
        1.3.2 相關的定義、定理
2 高階等差數(shù)列的通項與求和
    2.1 高階等差數(shù)列的定義與通項
    2.2 高階等差數(shù)列的前n項和
3 利用差分算子求概率問題
    3.1 利用差分算子求分布列、期望與方差
    3.2 利用差分算子求r階原點矩
4 利用差分算子解多項式問題
    4.1 差分算子公式的應用
    4.2 差分多項式的性質及應用
    4.3 Lagrange插值與差分插值的幾點注記
        4.3.1 Lagrange插值多項式及其幾何內(nèi)涵
        4.3.2 Lagrange插值與差分插值的比較分析
5 利用差分算子推演組合恒等式
    5.1 運用零的差分推演組合恒等式
    5.2 利用差分公式推演組合恒等式
    5.3 借助組合變換推演組合恒等式
    5.4 有關Abel恒等式及其衍生恒等式
6 利用差分算子證明組合序列的性質
    6.1 Stirling數(shù)的性質及算子證明
    6.2 Bell數(shù)及其算子恒等式
7 數(shù)學競賽試題的分析與編擬
    7.1 數(shù)學競賽試題的背景分析
        7.1.1 一道全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題的背景分析
        7.1.2 一道羅馬尼亞國家隊選拔考試題的背景分析
    7.2 數(shù)學競賽試題的命制與編擬
        7.2.1 直接移用算子定義命制新賽題
        7.2.2 演繹深化命題條件編擬新賽題
        7.2.3 引申拓展已知結論生成新賽題
8 數(shù)學競賽試題的推廣
    8.1 案例1代數(shù)幾何題的推廣
    8.2 案例2組合恒等式的推廣
        8.2.1 一道中國國家隊選拔考試題的推廣
        8.2.2 對本文第五章中組合恒等式的推廣
        8.2.3 利用組合變換進一步推導恒等式
    8.3 案例3與數(shù)論有關的競賽試題的推廣
        8.3.1 一道羅馬尼亞國家隊選拔考試題的推廣
        8.3.2 一道中國數(shù)學奧林匹克題的推廣
9 總結與展望
參考文獻
攻讀碩士學位期間完成的學術論文及獲獎情況
致謝



本文編號：3736030