發(fā)布時(shí)間：2023-02-06 12:49

　　世界各國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽發(fā)展至今已逐漸趨于成熟,數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題更是浩如煙海,而這些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題在一定程度上代表的是一種特殊的數(shù)學(xué)——競(jìng)賽數(shù)學(xué),其內(nèi)容大致穩(wěn)定在代數(shù)、平面幾何、數(shù)論、組合等四個(gè)方面.差分算子是算子理論中的一種較為具體化、初等化的線性算子,它在代數(shù)學(xué)、分析學(xué)、組合數(shù)學(xué)以及特殊函數(shù)等方面有著重要的應(yīng)用.同時(shí),在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題和解題中時(shí)有涉及高等數(shù)學(xué)中的差分算子,而有限差分方法也是解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的一種重要方法.本文旨在通過將高等數(shù)學(xué)中的差分算子“下放”到初等數(shù)學(xué)中,尤其是應(yīng)用到競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題的命制和解題之中.本文的研究工作主要包括以下幾個(gè)方面:1.通過引入差分算子的定義、有關(guān)的定理與性質(zhì),系統(tǒng)闡述差分算子方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)列、概率、多項(xiàng)式、組合恒等式及組合序列中的應(yīng)用;2.對(duì)兩道經(jīng)典的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的命題背景做了較為深入的分析,介紹了三種常見的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的命題方法,并依此嘗試編擬了一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題,提供了相應(yīng)的算子方法;3.以案例研究的形式對(duì)一道代數(shù)幾何題、若干組合恒等式、兩道與數(shù)論有關(guān)的奧林匹克試題進(jìn)行推廣,得到了一些新的結(jié)論,從而為數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題與解題工作提供一定的參考,對(duì)于促進(jìn)競(jìng)...

【文章頁數(shù)】：123 頁

【學(xué)位級(jí)別】：碩士

【文章目錄】：
中文摘要
Abstract
1 引言
    1.1 研究背景與現(xiàn)狀
    1.2 研究目的與意義
    1.3 預(yù)備知識(shí)
        1.3.1 相關(guān)的記號(hào)
        1.3.2 相關(guān)的定義、定理
2 高階等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和
    2.1 高階等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)
    2.2 高階等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
3 利用差分算子求概率問題
    3.1 利用差分算子求分布列、期望與方差
    3.2 利用差分算子求r階原點(diǎn)矩
4 利用差分算子解多項(xiàng)式問題
    4.1 差分算子公式的應(yīng)用
    4.2 差分多項(xiàng)式的性質(zhì)及應(yīng)用
    4.3 Lagrange插值與差分插值的幾點(diǎn)注記
        4.3.1 Lagrange插值多項(xiàng)式及其幾何內(nèi)涵
        4.3.2 Lagrange插值與差分插值的比較分析
5 利用差分算子推演組合恒等式
    5.1 運(yùn)用零的差分推演組合恒等式
    5.2 利用差分公式推演組合恒等式
    5.3 借助組合變換推演組合恒等式
    5.4 有關(guān)Abel恒等式及其衍生恒等式
6 利用差分算子證明組合序列的性質(zhì)
    6.1 Stirling數(shù)的性質(zhì)及算子證明
    6.2 Bell數(shù)及其算子恒等式
7 數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的分析與編擬
    7.1 數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的背景分析
        7.1.1 一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的背景分析
        7.1.2 一道羅馬尼亞國(guó)家隊(duì)選拔考試題的背景分析
    7.2 數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的命制與編擬
        7.2.1 直接移用算子定義命制新賽題
        7.2.2 演繹深化命題條件編擬新賽題
        7.2.3 引申拓展已知結(jié)論生成新賽題
8 數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的推廣
    8.1 案例1代數(shù)幾何題的推廣
    8.2 案例2組合恒等式的推廣
        8.2.1 一道中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試題的推廣
        8.2.2 對(duì)本文第五章中組合恒等式的推廣
        8.2.3 利用組合變換進(jìn)一步推導(dǎo)恒等式
    8.3 案例3與數(shù)論有關(guān)的競(jìng)賽試題的推廣
        8.3.1 一道羅馬尼亞國(guó)家隊(duì)選拔考試題的推廣
        8.3.2 一道中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題的推廣
9 總結(jié)與展望
參考文獻(xiàn)
攻讀碩士學(xué)位期間完成的學(xué)術(shù)論文及獲獎(jiǎng)情況
致謝



本文編號(hào)：3736030