比例邊界有限元法是一種線性偏微分方程的半解析的數(shù)值求解方法,它結(jié)合了有限元法和邊界元法的優(yōu)點。比例邊界有限元法與邊界元法一樣,只需要對（環(huán)向）邊界進行離散,使計算維度降低一維,但比例邊界有限元法不需要事先給出研究域的可行解,同時在環(huán)向（邊界）的離散化與有限元法類似且具有有限元法的精度,在徑向是解析的,相比常規(guī)有限元法更有優(yōu)勢。本文將八叉樹網(wǎng)格剖分算法與三維比例邊界有限元相結(jié)合求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。八叉樹網(wǎng)格算法基于層次樹的算法思想,從根單元格開始,按照2:1的平衡分割原則遞歸地進行等分,可以快速地實現(xiàn)粗網(wǎng)格到細(xì)網(wǎng)格的過渡。為適應(yīng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的邊界幾何形狀,給出了空間多面體裁剪及網(wǎng)格生成技術(shù),根據(jù)帶符號的距離函數(shù)數(shù)值判斷被裁剪的結(jié)點與多面體的位置關(guān)系。論文給出了三維比例邊界有限元的有關(guān)列式,并對邊界單元的裁剪方法進行了討論。最后首先采用八叉樹網(wǎng)格剖分單元,運用三維比例邊界有限元法對結(jié)構(gòu)靜力荷載作用下的響應(yīng)進行分析。結(jié)果表明,三維比例邊界有限元與八叉樹網(wǎng)格相結(jié)合計算具有良好的精確性,并且收斂較快,能夠在不損失精度的前提下大大提高計算效率,節(jié)約計算成本。 

【文章來源】：粉煤灰綜合利用. 2020,34(03)

【文章頁數(shù)】：10 頁

【部分圖文】：

比例邊界有限元子域示意圖

首先,根據(jù)結(jié)構(gòu)邊界所包含的問題域生成一個大小合適的八叉樹單元格,該單元格稱為根單元格。根據(jù)邊界上的種子點位置,根單元格有目的性地在相應(yīng)位置進行分裂。網(wǎng)格生成的八叉樹算法是基于層次樹的算法思想,從根單元格開始,按照2:1的平衡分割原則遞歸地進行等分,新生成的單元格命名為父單元格的子單元格。在三維空間中,當(dāng)分割第n次時,根單元的體積是最高分割層次的子單元的2n倍。圖2為一個分割層次為3的八叉樹單元格模型。然后定義單元格分裂停止條件,即單元格的最大尺寸amax和最小尺寸amin,以及最小單元格內(nèi)的種子點允許最大數(shù)量,當(dāng)最小單元格的尺寸不大于amin或者其內(nèi)部的種子點數(shù)小于λ時,停止分裂。2.3 多面體裁剪技術(shù)

(4)6條邊被裁剪時,如圖3(g)在被裁剪面和右側(cè)面1上添加結(jié)點進行三角化處理。由粗網(wǎng)格(單元格F)向細(xì)網(wǎng)格(單元格D)過渡時會出現(xiàn)如圖4(a)所示的懸掛結(jié)點,懸掛結(jié)點的存在使單元格表面上的邊數(shù)大于4。例如單元格前表面1(圖4(b))含有5條邊,在面中心添加結(jié)點并連接懸掛結(jié)點與邊上結(jié)點使前表面1三角化,面2、面3和面4的處理方式與面1相同。圖4(a)可以看出在由粗網(wǎng)格(例如單元格F)向細(xì)網(wǎng)格(例如單元格D)過渡時沒有改變單元格F和單元格D(見圖4(e)),也沒有改變類似存在懸掛結(jié)點的單元格A、單元格B和單元格C的內(nèi)部形狀。而僅僅改變單元格A和單元格B上的前表面1、單元格B的前表面2、右側(cè)面4的形狀和單元格C的上表面3的表面幾何形狀。

【參考文獻】：
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