Helmholtz方程常用來描述波傳播和散射問題,在聲學、光學、電磁學以及地震學等科學技術領域有著廣泛應用.因此,研究其高性能數(shù)值解法具有重要的理論意義和應用價值.對于高波數(shù)問題,數(shù)值求解Helmholtz方程時,計算精度會隨著波數(shù)的增加而降低.同時,波數(shù)增大時,必須充分加細離散區(qū)間才能獲得較好的數(shù)值解.此時Helmholtz方程離散得到的是一個不定且高度病態(tài)的大規(guī)模線性系統(tǒng).直接法由于內(nèi)存需求難以求解大規(guī)模的線性系統(tǒng).因此,本文針對三維Helmholtz方程主要解決以下兩個問題:1構造高精度差分格式;2建立高效求解算法.全文共分為五章.第一章為緒論,簡要介紹Helmholtz方程的物理背景,回顧目前已有的數(shù)值求解方法,并簡述本文的主要構造思想及結構框架.第二章提出三維Helmholtz方程的優(yōu)化緊致差分法.首先,建立常波數(shù)情況下Helmholtz方程的緊致差分格式.同時,給出該格式的收斂性分析,證明其為四階格式.其次,給出數(shù)值波數(shù)與真實波數(shù)之間的誤差分析.基于極小化數(shù)值頻散的思想,提出了差分格式優(yōu)化系數(shù)的加細選取策略.最后,建立變波數(shù)Helmholtz方程的優(yōu)化緊致差分格式.第三章為... 

【文章來源】：山東師范大學山東省

【文章頁數(shù)】：57 頁

【學位級別】：碩士

【部分圖文】：

二十七點差分格式的模板.

山東師范大學碩士學位論文(a)(b)圖4.5:算例1(a)=1,=3,=4;(b)=5,=0,=8時的C模誤差.的Helmholtz方程(4.1.1).函數(shù)依賴于變量,,具體形式如下:(,,)=(3)(1+2),if(,,)∈Γ1:=(0,1)×(0,1)×(0,0),(+3)(1+2+3),if(,,)∈Γ2:=(0,1)×(0,1)×(1,1),(2)(11+3),if(,,)∈Γ3:=(0,1)×(0,0)×(0,1),(+2)(1+2+3),if(,,)∈Γ4:=(0,1)×(1,1)×(0,1),(1)(2+3),if(,,)∈Γ5:=(0,0)×(0,1)×(0,1),(+1)(1+2+3),if(,,)∈Γ6:=(1,1)×(0,1)×(0,1),其中1,2,3與算例1的定義一致.表4.6和表4.7展示了對于不同節(jié)點數(shù)下=15,=3,=4和=20,=0,=8兩種差分格式的誤差.容易看出,optim.compact27p相對于theG.Sscheme來說,數(shù)值精度有很大改進.進一步,圖4.6說明這兩種差分格式均為四階格式,與前面的理論分析一致.為進一步比較這兩種格式,表4.8給出了=0.5,=3,=8時的誤差,其中波數(shù)由5增加到25.可以看出,當單位波長內(nèi)節(jié)點數(shù)G固定時,隨著波數(shù)增大,optim.compact27p的誤差增加的比theG.Sscheme緩慢的多.特別是對于大波數(shù)38

山東師范大學碩士學位論文(a)(b)圖4.6:算例2(a)=15,=3,=4;(b)=20,=0,=8時的C模誤差.假設為正數(shù).上述問題的解析解為(,,):=sin()sin()sin()2,(,,)∈[0,1]×[0,1]×[0,1].對于源函數(shù):=22sin()sin()sin(),利用文獻[27]中對的表達形式,對,做同樣處理.因此,我們用下式代替差分方程(2.1.21)的右端項.,,+(),,→(12212),,+13(+12,,+12,,+,+12,+,12,++,,+12+,,12).在本算例中,我們用上述技巧處理源函數(shù).表4.9和表4.10給出了兩種差分格式在不同節(jié)點數(shù)下=和=2時的誤差情況.可以看到,optim.compact27p的數(shù)值精度比theG.Sscheme高得多.從表4.10中還可看出,optim.compact27p在=56時便可達到theG.Sscheme在=112時的數(shù)值精度.這說明,當采用optim.compact27p時,可用較少的網(wǎng)格點數(shù)達到較高的數(shù)值精度.同時,圖4.7表明這兩種差分格式均為四階格式,與理論分析結果一致.因此,在計算中,optim.compact27p有著顯著的優(yōu)勢.40

【參考文獻】：
期刊論文
[1]弱嚴格對角占優(yōu)矩陣非奇異的判定條件[J]. 張成毅,李耀堂.  工程數(shù)學學報. 2006(03)



本文編號：3492795