利用首次積分法,得到了改進的Boussinesq方程的所有有界精確行波解。根據(jù)平面動力系統(tǒng)理論,分析得到這些解中只有一個解是鐘狀孤波解,其他都是周期波解。進一步探討方程的行波解波形隨波速的演化關(guān)系。 

【文章來源】：臺州學院學報. 2020,42(03)

【文章頁數(shù)】：7 頁

【部分圖文】：

當v2→V-時的u6（ξ）

第42卷臺州學院學報示當p>0時的方程（1）的解隨參數(shù)q的演化過程。當|q|<1時，周期波解u6(ξ)當q=1時，鐘狀孤波解u3(ξ)圖2解隨Hamilton能量q演化的圖形2.2解隨波速v的演化進一步的，我們發(fā)現(xiàn)了這些解（式（17））隨行波速v變化的相關(guān)特性。以q>0為例。根據(jù)p3和q2之間的關(guān)系和式（6）中p的表達形式，我們得到如下關(guān)系式(1-9q23)v4-2v2+1+2ac=0。（18）如果1-9q23≠0，1-()1-9q23(1+2ac)≥0條件滿足，則記V±1±1-()1-9q23(1+2ac)1-9q23；（19）如果1-9q23=0,1+2ac≥0條件滿足，則記V012+ac。（20）根據(jù)情況1～情況4的參數(shù)條件，我們分析得到如下結(jié)論：1）當q=127,1+2ac≥0時，若v2<V0，方程（1）的解為u6(ξ)和u7(ξ)；若v2=V0，方程（1）的解為u3(ξ)和u4(ξ)；而若v2>V0，方程（1）的解為u5(ξ)。2）當q>127,1+2ac≥0時，若v2<V-，方程（1）的解為u6(ξ)和u7(ξ)；若v2=V-，方程（1）的解為u3(ξ)和u4(ξ)；而若v2>V-，方程（1）的解為u5(ξ)。3）當q<127時，在滿足0<1+2ac≤11-9q23的條件下，若v2<V-或v2>V+，方程（1）的解為u6(ξ)和u7(ξ)；若v2=V±，方程（1）的解為u3(

第42卷臺州學院學報做變量替換，令u(ξ)=-3v2aU(ξ)+v2-1a，（5）可將方程（4）轉(zhuǎn)化為U""=32(U2-p)，（6）其中p=(v2-1)2+2ac9v4。將方程（6）化成等價的平面動力系統(tǒng)ìíX"=YY"=32(X2-p)。（7）根據(jù)平面動力系統(tǒng)理論，我們得到系統(tǒng)（7）相圖，如圖1所示，當p>0時當p=0時當p<0時圖1系統(tǒng)（7）的相圖系統(tǒng)（7）是一個保守的Hamilton系統(tǒng)，其Hamiltonian能量為H(X),Y=12Y2-12X3+32pX=q。（8）利用首次積分法，我們可以得到±(ξ)-ξ0=∫dXf(X)，（9）其中f(X)=X3-3pX+2q。通過分類討論，可以得到了系統(tǒng)（7）相應的四類行波解：情況1：當p=q=0時，f(X)=X3。根據(jù)（9）式，有X1(ξ)=4(ξ-ξ0)2。（10）情況2：當p3=q2≠0時，f(X)=(X)-λ2(X+2λ)（其中λ=±p)�？傻萌缦陆Y(jié)果：當λ=-p時，X>2p，有X2(ξ)=p()3tan2()324p(ξ-ξ0)+2；（11）當λ=p時，-2p<X<p，有X3(ξ)=p()3tanh2()324p(ξ-ξ0)-2；（12）2


本文編號：3395885