近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程等相關(guān)問題因其重要的實(shí)際應(yīng)用背景變成數(shù)學(xué)界專家學(xué)者們探討的重點(diǎn)。然而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有時(shí)間層數(shù)和空間長度依賴性,通常情況下此類方程的精確解必須使用十分復(fù)雜的級數(shù)才能表示,因此深入探索合理可行的數(shù)值處理辦法解決相關(guān)問題的現(xiàn)實(shí)意義十分重大。文章深入探究一維和二維具有可變系數(shù)的單邊空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程,此類問題出現(xiàn)的實(shí)際背景是粒子等在物理系統(tǒng)里的一種反常擴(kuò)散現(xiàn)象。我們考慮Riemann-Liouville（RL）定義的分?jǐn)?shù)算子,在相關(guān)有限差分方法的現(xiàn)存文獻(xiàn)中,針對這種定義的處理方式大多是基于經(jīng)典和移位的r（5）（5）Letnikov-nwaldu G公式,其他算法比較少見。于是本文基于線性樣條插值推導(dǎo)出在時(shí)間和空間上均具有二階精度的有限差分方法。與此同時(shí),本文也首次用一種無網(wǎng)格算法,也就是光滑粒子流體動力學(xué)（SPH）方法對單邊空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,現(xiàn)有文獻(xiàn)中,還沒有出現(xiàn)用SPH方法處理這類方程的。本文的主要工作:首先基于線性樣條插值進(jìn)行半離散,給出具有二階精度的RL空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值離散化,再考慮Crank-Nicolson（CN）思想處理時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到全離... 

【文章來源】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)黑龍江省 211工程院校 985工程院校

【文章頁數(shù)】：60 頁

【學(xué)位級別】：碩士

【部分圖文】：

SCN方法的數(shù)值解與精確解

哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文24ijijjijiWTTnpp1（3-27）iijijijjiqfWpnptT1（3-28）3.5數(shù)值算例本節(jié)將通過三個(gè)不同的一維空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程來研究SCN方法在數(shù)值精度、收斂性、穩(wěn)定性等方面的表現(xiàn)。對于存在解析解的數(shù)值算例，將計(jì)算SCN方法和SPH方法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與解析解之間的差別；對于不存在解析解的算例，用SCN方法模擬其方程擴(kuò)散。例3.1模擬如下方程10,,,1,0,010,,00,10,,10,,2,,,1tetutuxxuxuxtxxetxxutxuDtttxxt該方程的解析解為1,xetxut.令1.8,空間步長x025.0,時(shí)間步長t001.0.1)如圖3-1，計(jì)算從ts1.0開始到ts9.0,每隔0.2s，SCN方法計(jì)算得到的數(shù)值解（點(diǎn)表示）與其精確解（線表示）之間的關(guān)系。2)如圖3-2，計(jì)算出當(dāng)ts1時(shí)刻SCN方法和SPH方法得到的數(shù)值解與精確解的三個(gè)對應(yīng)點(diǎn)。圖3-1SCN方法的數(shù)值解與精確解圖3-2SCN方法、SPH方法的數(shù)值解與精確解

哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文26初值條件421022exp20.0110,-xxu邊界條件,4,0tutu給出不同下的擴(kuò)散過程。如圖3-3，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)2時(shí)反常擴(kuò)散逐漸消失，與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，同時(shí)也證明SCN方法的有效性。1.31.51.71.99圖3-3不同下擴(kuò)散方程的變化情況將SCN思路擴(kuò)展到問題中存在左右RL導(dǎo)數(shù)的情況，如下式


本文編號：3299472