本文主要研究了單純復(fù)形的Hodge-Laplacian算子的熱核估計、量子隨機(jī)游走和無符號1-Laplacian算子的一些幾何性質(zhì).1945年,B.Eckmann把圖上的Laplacian算子推至單純復(fù)形,給出了單純復(fù)形的Hodge-Laplacian算子的定義,并證明了離散形式的Hodge定理.本文研究了Hodge-Laplacian算子的熱核估計,證明了單純復(fù)形的Davies-Gaffney-Grigor’yan引理.量子隨機(jī)游走是譜分析和譜幾何中的重要研究對象,也是構(gòu)造量子算法的重要工具.對應(yīng)于經(jīng)典隨機(jī)游走的中心極限定理,N.Konno證明了直線上量子游走的弱極限定理,與經(jīng)典隨機(jī)游走的概率分布在一點(diǎn)處取得最大值不同,量子游走的Konno分布在1和-1兩處達(dá)到高峰.本文利用代數(shù)拓?fù)涞墓ぞ呓o出單純復(fù)形上量子隨機(jī)游走的一種定義,該定義與單純復(fù)形的Hodge-Laplacian算子有著密切的聯(lián)系.我們刻畫了其相應(yīng)的判別算子的譜與單純復(fù)形的幾何拓?fù)涞年P(guān)系,并探討了量子隨機(jī)游走的轉(zhuǎn)移概率和穩(wěn)定測度.圖的1-Laplacian算子始于M.Hein,T.Buhler和K.C.Chang的研究.本... 

【文章來源】：湖南大學(xué)湖南省 211工程院校 985工程院校 教育部直屬院校

【文章頁數(shù)】：89 頁

【學(xué)位級別】：博士

【部分圖文】：

圖３．１三角形??

事實(shí)上，如果Ｔｌ５ｒ２?Ｇ?是９＋１－下鄰接，那么它們也是ｑ－１－下鄰接．??我們通過一個簡單的例子來具體說明上部圖和下部圖是如何構(gòu)造的．比如??圖３．１中的２維單純復(fù)形：考慮１維單純形的上部圖和下部圖．??〇??▲??圖３．１三角形??令ｎ?＝?（０１），ｆＴ＝?（１０），ｒ２?＝?（０２）萬＝（２０），ｒ３?＝?（１２），石＝（２１），這個例子中，??１維單純形的上部圖和下部圖是一樣的，都如圖３．２所示．??下面我們定義上部和下部圖上的Ｇｒｏｖｅｒ游走．在定義上部和下部Ｇ?ｒｏｗｉ？游走??之前，我們先進(jìn)一步了解一下符號函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．??假設(shè)［Ｔｉ］．［ｒ２］?ｅ?４是ｑ＋１－上鄰接．那么存在唯一一個丨（Ｔ９＋１（Ｌ?￡?５＾＋１使??得［ｎ］?Ｃ?［Ｏｇ＋１（ｒ〗，Ｔ２）］并且［Ｔ２］?ｃ?［（７ｇ＋ｌ（Ｔｌ，ｒ２）］？盡管ｈ＋Ｈｍ）］有兩個定向，我??們有??ｓｇｎ（ｃｒ９＋１（ｒｉ，?ｒ２），?ｎ）?ｓｇｉ＾＾＋＾ｒ！，?ｒ２），?ｒ２）?＝?ｓｇｎ（ｃｒｇ＋ｉ（ｒ］，ｒ２），?ｎ）?ｓｇｎ（ｆｒｇ＋１（ｒｉ，?ｒ２），?ｒ２）．??（３－Ｇ）??２９??

圖３．３有限圓柱??３．５．１有限圓柱??對于有限的圓柱體有如圖３．３所示的三角剖分時，考慮其二維的下部Ｇｒｏｖｅｒ游??走，那么的特征值關(guān)于原點(diǎn)對稱．??如果降丨＝２ｍ，即該三角剖分中含有２ｍ個二維面．根據(jù)［９］中的定理４．３，??的特征值集合等于??｛—ｃｏｓ（—）＼ｊ?＝?０，１，２ｍ?—?１｝?Ｕ?｛０｝．??其中０相應(yīng)的特征函數(shù)空間是事實(shí)上，其相應(yīng)的下部圖是二部圖．可以??發(fā)現(xiàn)在圖３．３中有兩種三角形，我們分別稱之為上部和下部三角形，如圖３．４．我們??ｕｐ?ｔｒｉａｎｇｌｅ??圖３．４上部和下部三角??可以將所有的二維面分成兩部分：％包含所有的上部三角形，％包含所有的下部??三角形．??為了完整性，我們給出該例中具體的計算．在計算中．將主要用到下面的引理，??見［６８］．??引理３．５．２．丨６８１對于任何兩個矩陣乂和尸


本文編號：3130681