由于Caputo導(dǎo)數(shù)包含歷史信息,用傳統(tǒng)的數(shù)值方法直接計算時間分數(shù)階方程時,需要的存儲量和計算量分別為O（MN）和O（MN2）的量級,其中M和N分別表示空間和時間的網(wǎng)格剖分數(shù)目。因而在長時間的數(shù)值模擬中,其計算量和儲存量是巨大的。為了克服這個困難,我們通過使用指數(shù)和函數(shù)（sum of exponentials）逼近Caputo導(dǎo)數(shù)的核函數(shù),得到快速算法。當(dāng)快速算法應(yīng)用到求解次擴散方程時,所需要的存儲量和計算量分別降為O（MNexp）和O（MNNexp）的量級,其中Nexp為指數(shù)函數(shù)數(shù)量。由于長時間模擬中,Nexp<<N,因此新的數(shù)值格式大大提高了計算效率。另一方面,對于反應(yīng)擴散方程或者非線性擴散方程,它的解不但在初始時刻具有奇異性,而且在遠離初始時刻時解可能會增長得很快。為了得到最優(yōu)時間收斂階,通常需要在一般非均勻時間網(wǎng)格下進行數(shù)值求解,這給理論分析帶來極大困難。對反應(yīng)次擴散問題,利用離散的分數(shù)階Gronwall不等式,我們證明在一般非均勻時間網(wǎng)格下,新的數(shù)值格式均是無條件穩(wěn)定的。通過對全局相容誤差的估計,我們對數(shù)值格式的收斂性進行了分析。對非線性次擴散問題,我們用牛頓法將... 

【文章來源】：中國工程物理研究院北京市

【文章頁數(shù)】：51 頁

【學(xué)位級別】：碩士

【部分圖文】：

圖６．１例６．２?（左）當(dāng)ａ?＝?０．５，ｒ＝ｌ時，凡２－ｌＣＴ格式在不同時間步長和不同空間下的誤差，表明??該格式的無條件穩(wěn)定性；（右）當(dāng)《?＝?０．５，／１（１）?＝?／７（２）＝１／１０，７＇＝１時，計算所需的卩１］時間，表??＝－

??這一節(jié)的所有表格表明Ｌ２七格式和ＦＬ２七格式的收斂階均為０（ｒ２?＋?／ｚ２），與前一??章的理論分析結(jié)果相同。從圖６．１的左圖和圖６．２的左圖，可知／＾２－ｂ格式是無條件??穩(wěn)定的。從圖６．１的右圖和圖６．２的右圖，可知與Ｌ２－ｌ（ｒ格式相比，凡２－１＜＾格式確實??可以節(jié)省很多的計算時間。特別地，Ｌ２－１Ｃ格式和／＝１２－１１格式計算所用的ＣＰＵ時間??關(guān)于時間步長數(shù)／Ｖ在取對數(shù)后分別是斜率為２和１的直線。因此我們可以得到結(jié)論，??與Ｌ２－Ｕ格式相比，ＦＬ２－Ｌ格式不僅可以達到相同的計算精度，還極大減少了計算??所用的時間和存儲空間，這一優(yōu)勢在長時間模擬或者在空間為多維的情況下更加明??顯。??６．２非均勻時間網(wǎng)格下ＦＬ１格式對非線性次擴散問題的數(shù)值逼近結(jié)果??這一節(jié)我們給出非均勻時間網(wǎng)格下ＦＬ１格式對Ｃａｐｕｔｏ分數(shù)階非線性次擴散方程求??解的數(shù)值算例。我們考慮二維空間變量Ｗ?＝?２，；ｃ?＝?Ｕ（ｌ），ｘ（２））?ｅ?Ｄ?ｃ?Ｒ２）的分數(shù)階Ｆｉｓｈｅｒ??方程??＾ｕ（ｘ，?ｔ）?＝?Ａｕ（ｘ，?／）?＋?ｗ（?１?－?ｕ）?＋?ｇ（ｘ，?／），?ａ：?ｅ?ｒ?ｅ?（０，７＂］，?（６－１）??ｕ（ｘ

例‘.4在a=0.4,y=1(左)和y=3(之


本文編號：2975936