微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具,它在幾何、力學(xué)、物理、化學(xué)、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.在定量地研究某些實(shí)際問題的變化規(guī)律時(shí),往往要對所研究的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè),建立數(shù)學(xué)模型.當(dāng)問題中涉及變量的變化率問題時(shí),所建立的模型就是一個(gè)微分方程,例如鐳的衰變、熱傳導(dǎo)、彈簧振動(dòng)、自由落體等問題.實(shí)際上,幾乎所有涉及變量變化率的問題,都可以由微分方程來描述的.可積性問題是微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)基本問題,主要關(guān)心的是尋找方程的足夠多的首次積分或守恒律,從而將它的通解形式地表示出來.多年來,包括著名數(shù)學(xué)家Poincar′e在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家建立和發(fā)展了許多研究可積性的理論和方法,如Noether對稱、Darboux積分、Lie對稱、Painlev’e分析、Lax對、Carlemann嵌入法、Darboux可積性理論和擬齊次系統(tǒng)理等,并得到了一系列重要的成果.本篇論文主要研究三類出現(xiàn)于化學(xué)和物理學(xué)中動(dòng)力學(xué)模型的可積性問題.本文結(jié)構(gòu)如下:第一章簡要介紹首次積分和研究首次積分的方法;第二章是預(yù)備知識(shí),主要介紹Poincar′e不可積性理論與推廣的相關(guān)結(jié)果,以及擬齊次和半擬齊次系統(tǒng)理論;第三章是本文主要結(jié)果及證明.主要結(jié)果歸納敘述如下:1.考慮描述如下化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型的微分系統(tǒng)我們得到如下的結(jié)果.定理0.1如果存在m,n∈C,使得A其中A =-(c1m2+ c3 n + c2+ c4),B=c2m4-2c3c1m2n+2c1(c2-c4)m2+c23n2+2c3(c2-c4)n+c2(c2-2c4+1),則系統(tǒng)(1)至多有3個(gè)解析首次積分.定理0.2如果存在m,n∈C,使得則系統(tǒng)(1)至多有3個(gè)解析的首次積分.2.對如下Einstein-Yang-Mills方程:我們得到如下結(jié)論.定理0.3如果存在m,n∈C使得(?),則系統(tǒng)(2)至多有4個(gè)函數(shù)獨(dú)立的解析首次積分.3.對Szekeres系統(tǒng)我們利用擬齊次和半擬齊次系統(tǒng)理論得到下面定理.定理0.4 Szekeres系統(tǒng)(3)不存在任何非平凡的多項(xiàng)式首次積分.
【學(xué)位單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2017
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 引言
    1.2 化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)
    1.3 主要結(jié)果
第二章 預(yù)備知識(shí)
    2.1 Poincaré不可積性理論及推廣
    2.2 擬齊次和半擬齊次系統(tǒng)
第三章 主要結(jié)果及證明
    3.1 化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)
    3.2 Einstein-Yang-Mills方程
    3.3 Szekeres系統(tǒng)
    3.4 總結(jié)與展望
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