發(fā)布時間：2020-11-12 09:50

　　 時滯微分方程多應(yīng)用于化學(xué)、生物學(xué)、電路系統(tǒng)、機(jī)械控制等領(lǐng)域的建模中,通常這類問題在理論求解上十分困難,這制約了理論研究的發(fā)展,也給實際問題的處理帶來了不便.在這種情況下,鑒于數(shù)值解既能幫助揭示理論性質(zhì),又能直接應(yīng)用到實際問題,因此,無論從理論研究上考慮,還是站在實際應(yīng)用的角度出發(fā),時滯微分方程的數(shù)值解都是值得研究的內(nèi)容.眾所周知,在計算時滯微分方程時需要存儲多個時間層的數(shù)值解,高精度算法可降低存儲量,但同時也增大了計算量.所以,在計算量沒有顯著增加的前提下構(gòu)造高精度算法是很有必要的工作.本文重點介紹了幾類時滯微分方程譜方法的構(gòu)造以及相應(yīng)的理論分析. 在第二章,基于Legendre-Gauss-Radau插值和區(qū)域分解的思想,對帶有分段常時滯的中立型微分方程構(gòu)造了一類多域譜配置法.通過收斂性分析證明了該算法具有高精度,用兩個數(shù)值算例驗證了理論結(jié)果,并與部分現(xiàn)有算法在計算效率上進(jìn)行了比較. 在第三章,針對二維非線性時滯對流-擴(kuò)散-反應(yīng)問題,先通過指數(shù)變換將其轉(zhuǎn)化為等價的非線性時滯反應(yīng)-擴(kuò)散問題,再結(jié)合Crank-Nicholson格式與具有稀疏結(jié)構(gòu)的Legendre譜Galerkin方法進(jìn)行求解.從理論上分別對理論解和數(shù)值解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,并給出了L2-范數(shù)意義下的收斂性結(jié)果,之后用兩個數(shù)值算例檢驗了算法的高精度與高效性. 在第四章,給出了非線性非Fickian型時滯反應(yīng)-擴(kuò)散問題的半離散有限元解,借助帶記憶項的橢圓投影算子對半離散解進(jìn)行了誤差估計,然后分別通過一維和二維的數(shù)值算例來驗證了有限元解的收斂階. 在第五章,Fourier譜方法被應(yīng)用于求解Swift-Hohenberg方程.一種適用于譜方法的二階隱顯式時間離散格式被構(gòu)造.這類新的算法被證明是保能量穩(wěn)定且數(shù)值收斂的.最后,借助于兩個數(shù)值算例對算法的能量穩(wěn)定性和收斂階進(jìn)行了驗證. 在第六章,對本文的主要工作進(jìn)行了一個簡要的總結(jié),并對未來的研究內(nèi)容做了簡短的展望.
【學(xué)位單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
Abstract
目錄
1 緒論
    1.1 研究背景
    1.2 研究現(xiàn)狀
    1.3 本文研究內(nèi)容
2 中立型微分方程的多域譜配置法
    2.1 引言
    2.2 多域譜配置法的構(gòu)造
    2.3 收斂性分析
    2.4 數(shù)值實驗
3 非線性時滯對流-擴(kuò)散-反應(yīng)方程的譜Galerkin法
    3.1 引言
    3.2 譜Galerkin法的構(gòu)造
    3.3 數(shù)值穩(wěn)定性
    3.4 收斂性
    3.5 數(shù)值實驗
4 非線性非Fickian型時滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的有限元解
    4.1 引言
    4.2 有限元方法
    4.3 收斂性分析
    4.4 數(shù)值實驗
5 一類相場模型的保能量穩(wěn)定譜方法
    5.1 引言
    5.2 能量穩(wěn)定的譜方法構(gòu)造
    5.3 能量穩(wěn)定性分析
    5.4 收斂性分析
    5.5 數(shù)值實驗
6 總結(jié)與展望
致謝
參考文獻(xiàn)
附錄1 攻讀學(xué)位期間已發(fā)表和完成的學(xué)術(shù)論文目錄
附錄2 科研項目

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本文編號：2880599