本博士學(xué)位論文主要討論了涉及偏微分方程廣義解正則性的六個(gè)問題:一是非散度型線性橢圓方程強(qiáng)解的Lorentz正則性和Orlicz正則性;二是非散度型線性拋物方程強(qiáng)解的Lp(x,t)正則性;三是完全非線性橢圓方程粘性解的Lorentz和Lorentz-Morrey正則性;四是完全非線性拋物方程強(qiáng)解的Lorentz正則性;五是漸近正則的完全非線性拋物方程強(qiáng)解的Lorentz正則性;六是散度型線性拋物方程弱解的Holder連續(xù)性.具體內(nèi)容如下:第1章與第2章分別主要介紹了本文的選題背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀以及本文所用到的一些空間的基本概念和基本性質(zhì),第3章證明了當(dāng)系數(shù)aij(x)滿足一致橢圓條件和小的部分BMO條件時(shí),非散度型線性橢圓方程aij(x)Diju=f(x)的強(qiáng)解具有內(nèi)部加權(quán)Lorentz正則性和內(nèi)部Orlictz正則性.主要思想基于經(jīng)典的“擾動(dòng)”方法、推廣的Vitali覆蓋引理,Hardy-Littlewood極大算子的Lorentz有界性和Orlicz有界性,以及Lorentz范數(shù)和Orlicz范數(shù)的等價(jià)水平集測(cè)度表示形式.第4章利用大M不等式原理證明了非散度型線性拋物方程ut-aij(x,t)Diju=f(x,t)的強(qiáng)解具有內(nèi)部Lp(x,t)正則性.這里,我們假設(shè)系數(shù)aij(x,t)滿足一致拋物條件和小的部分BMO條件,以及變指標(biāo)p(x,t)滿足log-Holder連續(xù)性條件.此外,我們還論證了該結(jié)果對(duì)非散度型線性橢圓方程aij(x)Diju=f(x)也成立.第5章研究了完全非線性橢圓方程F(D2u,x)=f(x)在有界C1.1區(qū)域上Dirichlet問題的粘性解.當(dāng)F(M,x)關(guān)于M是凸的且滿足一致橢圓條件和(δ,R)-消失條件時(shí),基于Caffarelli內(nèi)部W2.p(1p∞)估計(jì)和Winter邊界W2.p(1p∞)估計(jì),我們用粘性方法和有限覆蓋定理證明了粘性解具有全局加權(quán)Lorentz正則性,并且通過選取恰當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)進(jìn)一步證明了粘性解的 Lorentz-Morrey 正則性.第6章研究了完全非線性拋物方程ut,+F(D2u,x,t)=f(x,t)在有界C1,1區(qū)域上Cauchy-Dirichlet問題的強(qiáng)解.當(dāng)F(M,x,t)是M的一次齊次凸函數(shù)且滿足一致拋物條件和(δ,R)-消失條件時(shí),我們用大M不等式原理證明了強(qiáng)解具有全局Lorentz正則性,并且此結(jié)論對(duì)橢圓情形也成立.第7章主要討論了漸近正則的完全非線性拋物方程ut(x,t)+F(D2u,x,t)=f(x,t)在有界C1,1區(qū)域上Cauchy-Dirichlet問題的強(qiáng)解.我們先定義一個(gè)恰當(dāng)?shù)腜oisson公式將該漸近正則方程轉(zhuǎn)化為滿足第6章中假設(shè)條件的完全非線性拋物方程,然后基于第6章的結(jié)果推導(dǎo)出該漸近正則方程的強(qiáng)解具有全局Lorentz正則性,最后論證了此結(jié)果對(duì)橢圓情形也成立.第8章研究了系數(shù)與時(shí)間變量無關(guān)且滿足VMO條件的散度型線性拋物方程的弱解在Ho1der連續(xù)性空間的局部正則性.我們的方法是利用Green函數(shù)的自然增長(zhǎng)性質(zhì),hole-filling技巧先證明方程弱解的局部Morrey正則性,再利用Morrey引理進(jìn)一步證明我們想要的結(jié)果.
【學(xué)位單位】：北京交通大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175.2
【文章目錄】：
致謝
摘要
ABSTRACT
1 緒論
    1.1 選題背景及意義
    1.2 研究現(xiàn)狀
        1.2.1 非散度型線性方程解的正則性研究現(xiàn)狀
        1.2.2 完全非線性方程解的正則性研究現(xiàn)狀
        1.2.3 散度型算子的Green函數(shù)的研究現(xiàn)狀
    1.3 本文研究?jī)?nèi)容
2 預(yù)備知識(shí)
    2.1 基本符號(hào)
    2.2 加權(quán)Lorentz空間和Lorentz-Morrey空間
    2.3 Orlicz空間
p（·）空間'>    2.4 L^p（·）空間
3 非散度型線性橢圓方程強(qiáng)解的加權(quán)Lorentz正則性
    3.1 相關(guān)引理
    3.2 主要定理的證明
    3.3 拓展結(jié)果
    3.4 本章小結(jié)
p（x,t）正則性'>4 非散度型線性拋物方程強(qiáng)解的L^p（x,t）正則性
    4.1 相關(guān)引理
    4.2 主要定理的證明
    4.3 橢圓情形
    4.4 本章小結(jié)
5 完全非線性橢圓方程粘性解的正則性
    5.1 相關(guān)定義和引理
    5.2 粘性解的加權(quán)Lorentz正則性證明
    5.3 粘性解的Lorentz-Morrey正則性證明
    5.4 本章小結(jié)
6 完全非線性拋物方程強(qiáng)解的Lorentz正則性
    6.1 相關(guān)引理
    6.2 強(qiáng)解的內(nèi)部Lorentz正則性證明
    6.3 強(qiáng)解的全局Lorentz正則性證明
    6.4 橢圓情形
    6.5 本章小結(jié)
7 漸近正則的完全非線性拋物方程強(qiáng)解的Lorentz正則性
    7.1 初邊值為零的強(qiáng)解的Lorentz正則性證明
    7.2 初邊值非零的強(qiáng)解的Lorentz正則性證明
    7.3 拓展結(jié)果
    7.4 本章小結(jié)
8 散度型線性拋物方程解Holder連續(xù)性的Green函數(shù)方法
    8.1 相關(guān)定義和引理
    8.2 主要定理的證明
    8.3 本章小結(jié)
9 總結(jié)與展望
參考文獻(xiàn)
附錄
作者簡(jiǎn)歷及攻讀博士學(xué)位期間取得的研究成果
學(xué)位論文數(shù)據(jù)集

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本文編號(hào)：2880569