發(fā)布時間：2020-11-09 19:10

　　 本文主要研究一些經(jīng)典系統(tǒng)與超系統(tǒng)的可積性.首先,利用對稱方法,我們研究了 0-齊次的2階,3階,5階標量發(fā)展型超對稱方程,給出具有高階廣義對稱的所有方程.在超對稱互反變換和因變量變換下,絕大部分方程變?yōu)槲覀兪煜さ姆匠?它們是勢(potential)超對稱Modified Korteweg-de Vries(MKdV)方程,勢超對稱三階Burgers方程,勢超對稱五階MKdV方程,勢超對稱Fordy-Gibbons方程,超對稱Kawamoto方程.另外,我們還得到了 一個新的超對稱三階Harry Dym方程和一個新的超對稱五階Harry Dym方程,它經(jīng)超對稱互反變換后與勢超對稱五階MKdV方程相聯(lián)系.其次,我們討論了廣義Riemann方程的守恒律.尋找非線性偏微分方程的守恒律一直以來都是數(shù)學物理研究中的重要議題.構造了 N = 2的廣義Rieman-n方程的兩類包含任意函數(shù)的守恒律.通過特定的約化將這些結果推廣到著名的Gurevich-Zybin系統(tǒng),Monge-Ampere系統(tǒng),兩分量Hunter-Saxton方程以及超對稱Hunter-Saxton方程.我們將研究N = 2的方法推廣到一般情況,得到廣義Riemann方程的兩類包含任意函數(shù)的守恒密度.最后,基于Kupershmidt長波擴展方程的雙Hamilton結構,利用平方特征函數(shù)方法得到其譜問題.不同于一般的譜問題,它對譜參數(shù)的依賴并不是線性的.這種譜問題可以嵌入到依賴于能量的Schrodinger譜問題中.進一步,得到了長波擴展方程的Mirua變換以及修正系統(tǒng).通過三哈密頓對偶方法我們構造了兩個Camassa-Holm型系統(tǒng).
【學位單位】：中國礦業(yè)大學(北京)
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 引言
    1.1 選題背景及意義
    1.2 文章各部分的主要內容
第二章 基礎知識
    2.1 互反變換
    2.2 對稱及其性質
    2.3 雙Hamilton結構
    2.4 Miura變換
    2.5 超對稱發(fā)展型方程的對稱
        2.5.1 超對稱變換
        2.5.2 超對稱可積系統(tǒng)的對稱
    2.6 超對稱可積系統(tǒng)的互反變換
第三章 0-齊次標量發(fā)展型超對稱可積方程的分類
    3.1 背景介紹
    3.2 具有高階對稱的超對稱方程
        3.2.1 二階超對稱方程
        3.2.2 三階和五階方程的分類結果
    3.3 簡化分類結果
        3.3.1 半線性方程
        3.3.2 擬線性方程
第四章 廣義Riemann方程的守恒律
    4.1 背景介紹
    4.2 N=2的廣義Riemann方程
    4.3 與N=2情形相關的系統(tǒng)
        4.3.1 Gurevich-Zybin系統(tǒng)和Monge-Ampere方程
        4.3.2 兩分量Hunter-Saxton方程
        4.3.3 超對稱Hunter-Saxton方程
    4.4 一般情形的守恒律
第五章 Kupershmidt長波擴展方程
    5.1 長波擴展方程的譜問題
    5.2 Miura變換及其修正系統(tǒng)
    5.3 對偶系統(tǒng)
第六章 結論和展望
參考文獻
致謝
作者簡介
附錄

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