樣條函數(shù)在計算幾何、數(shù)值逼近、計算機(jī)圖形學(xué)、計算機(jī)輔助幾何設(shè)計等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。1946年,I.J.Schoenberg系統(tǒng)地建立了一元樣條函數(shù)的相關(guān)理論基礎(chǔ)。隨著科技日新月異的發(fā)展,許多問題已不能用簡單的一元樣條函數(shù)來刻畫。然而多元樣條并不是一元樣條的簡單推廣,兩者之間存在著本質(zhì)的差別。1975年,王仁宏提出了光滑余因子協(xié)調(diào)法,建立了任意剖分下多元樣條函數(shù)的理論框架,解決了貫穿剖分,擬貫穿剖分,1型三角剖分和2型三角剖分上的樣條函數(shù)的維數(shù)和基函數(shù)的問題,并且也在應(yīng)用方面取得了一些成果。由于高維空間的復(fù)雜性,二元樣條還有很多問題并未得到很好地解決。鑒于此,開展二元樣條函數(shù)的研究工作十分必要。利用光滑余因子協(xié)調(diào)法,本文對二元樣條的維數(shù)和基底問題進(jìn)行了深入研究,全文分為四章,具體安排如下:1.第一章,介紹樣條函數(shù)的基本理論框架,樣條基函數(shù)穩(wěn)定性的發(fā)展歷程,和可局部加細(xì)的樣條函數(shù)的研究進(jìn)展。2.第二章,利用光滑余因子方法討論三角剖分上樣條空間的維數(shù)。我們討論了Morgan-Scott三角剖分上的樣條空間Sk2(△MS)(k ≥ 4)的維數(shù)和S42(△MS)維數(shù)不穩(wěn)定的幾何特征。我們證明了當(dāng)非退化三角剖分△的任意內(nèi)點的度不小于6,那么S2rr(△)(r≥1)的維數(shù)是穩(wěn)定的并僅由剖分邊界點的個數(shù)決定,并通過一個例子說明對于剖分非退化的限定是必要的。3.第三章,考察了 B樣條基和截斷分層B樣條基關(guān)于Lp范數(shù)的穩(wěn)定性,即對于截斷誤差的敏感性。張量積型的截斷分層B樣條具有單位分解性和較小的支集,在諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。Giannelli等人在2014年討論了這種樣條關(guān)于L∞范數(shù)的穩(wěn)定性,但關(guān)于Lp(1 ≤ p∞)范數(shù)的穩(wěn)定性并不十分明朗。我們通過考察樣條系數(shù)變化和函數(shù)值變化之間的聯(lián)系來討論B樣條基和截斷分層B樣條基關(guān)于Lp范數(shù)的穩(wěn)定性。其中截斷分層B樣條基是Lp弱穩(wěn)定的,這意味著截斷分層B樣條基的Lp穩(wěn)定性是依賴于分層的層數(shù)的。4.第四章,研究了基于三角剖分的分層樣條空間。三角剖分上的樣條函數(shù)對于相同的連續(xù)性比張量積樣條具有更低的多項式次數(shù),并且不像張量積樣條那樣僅局限于矩形區(qū)域。我們給出了基于任意的三角剖分的截斷分層B樣條的構(gòu)造方法以及一些性質(zhì)的證明,這種截斷分層B樣條滿足單位分解性并具有較小的支集,將其應(yīng)用在擬插值中也得到了比較好的效果。
【學(xué)位單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O241.5
【部分圖文】：

?口??２．３?Ｍｏｒｇａｎ－Ｓｃｏｔｔ三角剖分上樣條空間４）的維數(shù)??Ｍｏｒｇａｎ－Ｓｃｏｔｔ三角剖分ＡＭｓ如圖２．７所７Ｋ，其中ａ，６，?ｃ是內(nèi)點，Ａ，?Ｓ，（７是邊界??點。下面我們討論當(dāng)Ａ：?２?４時珣（Ａｍｓ）的維數(shù)ｄｉｍ頊（Ａｍｓ）。??２．３．１樣條空間與（ＡＭＳ）（Ａ：?＞句的維數(shù)??由光滑余因子方法可知Ｖｓ（ｚ，ｙ）?ｅ咼（Ａ）均可由一組光滑余因子唯一確定，并滿足??相應(yīng)的全局協(xié)調(diào)條件。從光滑余因子方法的角度來看，計算二元樣條空間的維數(shù)就等價??于確定相應(yīng)的二元樣條空間的整體協(xié)調(diào)條件對應(yīng)的線性系統(tǒng)的解空間。??－２６?—??

圖２．１１解剖三角剖分??Ｆｉｇｕｒｅ?２．１１?Ｄｉｓｓｅｃｔｉｎｇ?ａ?ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ．??典型例子。令Ａ＇是樣條空間另（Ａ＇）的全局協(xié)調(diào)條件對應(yīng)的線性系統(tǒng)（２．４６），４是樣條空間勻（Ａ）的全局協(xié)調(diào)條件對應(yīng)的線性系統(tǒng)（２．４６）中的矩陣。）?＝?Ｗ（ＺＶ）?＋?１，１／ｂ（Ａ）＝Ｖ＾（Ａ＇），那么矩陣４可以由矩陣如下得到??ｆ?Ａ＇?０?＼??＾?＝?，?（Ｖ?Ｂ２?）??（ａ？?、??Ｂ２?＝?２ａｉＰｉ?２ａ２／３２?２ａ３／３３?，?（Ｖ?＾?Ｐｉ?Ｐｉ?／???／＾ｙ?＋?７）?＝?０分別是內(nèi)邊而Ｊ（１?Ｓ?ｊ＇仝３）上的直線方程。因為｛７＾，ｒ２｝是一填充，所以三條內(nèi)邊研７１，而＾和而Ｊ具有不同的斜率。從而矩陣氏可以

?（ｂ）?（ｃ）乃與?ｒ２??圖２．１１解剖三角剖分??Ｆｉｇｕｒｅ?２．１１?Ｄｉｓｓｅｃｔｉｎｇ?ａ?ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ．??的一個典型例子。令Ａ＇是樣條空間另（Ａ＇）的全局協(xié)調(diào)條件對應(yīng)的線性系統(tǒng)（２．４６）中的??矩陣，４是樣條空間勻（Ａ）的全局協(xié)調(diào)條件對應(yīng)的線性系統(tǒng)（２．４６）中的矩陣。注意到??Ｒ（Ａ）?＝?Ｗ（ＺＶ）?＋?１，１／ｂ（Ａ）＝Ｖ＾（Ａ＇），那么矩陣４可以由矩陣如下得到??ｆ?Ａ＇?０?＼??＾?＝?，?（２．６５）??Ｖ?Ｂ２?）??其中??（ａ？?、??Ｂ２?＝?２ａｉＰｉ?２ａ２／３２?２ａ３／３３?，?（２．６６）??Ｖ?＾?Ｐｉ?Ｐｉ?／??％：￡?＋?／＾ｙ?＋?７）?＝?０分別是內(nèi)邊而Ｊ（１?Ｓ?ｊ＇仝３）上的直線方程。因為｛７＾，ｒ２｝是一個非退??化２－填充，所以三條內(nèi)邊研７１，而＾和而Ｊ具有不同的斜率。從而矩陣氏可以看做某??個三角剖分上的樣條空間勻（Ａ〃）的全局協(xié)調(diào)條件對應(yīng)的線性系統(tǒng)（２．４６）中的矩陣，??其中三角剖分Ａ＂有一個內(nèi)點ｔ；
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本文編號：2876886